高一数学必修一函数讲义

高一数学必修一函数讲义引言：从变化的世界到函数同学们，我们生活在一个不断变化的世界中。日月交替，四季更迭，气温会随时间波动，物体运动的路程会随速度和时间而改变，购买商品的总价会随数量多少而增减。在这些纷繁复杂的变化现象背后，往往隐藏着变量之间的依赖关系。数学作为研究现实世界数量关系和空间形式的科学，如何刻画和描述这些变量之间的关系呢？这就引入了我们将要学习的核心概念——函数。函数是高中数学的基石，贯穿于整个高中乃至大学的数学学习。它不仅是解决实际问题的有力工具，更是一种重要的数学思想方法。学好函数，能帮助我们更深刻地理解周围的世界，培养抽象思维和逻辑推理能力。本章我们将从映射的概念入手，逐步深入理解函数的定义、三要素、表示方法以及函数的基本性质。一、映射与函数的概念1.1映射在日常生活中，我们经常会遇到一些对应关系。比如，每一个学生都有一个唯一的学号；每一个公民都有一个唯一的身份证号码；教室里的每一个座位都对应着一个具体的位置。这些例子都体现了两个集合元素之间的一种特殊对应关系。定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。在映射的定义中，有几个关键点需要我们仔细体会：*“A、B是非空集合”：这是映射的前提，我们不讨论空集之间的映射。*“任意一个元素x”：集合A中的每一个元素都要参与对应，不能有“剩余”的元素。*“唯一确定的元素y”：对于A中的一个x，在B中只能找到一个y与之对应，不能有两个或多个。但B中的元素可以不被A中的元素对应到，也可以被多个元素对应到。*“对应关系f”：这是映射的核心，它规定了A中的元素如何对应到B中的元素。我们把集合A中的元素x称为原像，集合B中与x对应的元素y称为x在映射f下的像，记作f(x)=y。思考与辨析：判断下列对应关系是否构成从集合A到集合B的映射：1.A={1,2,3},B={4,5,6}，对应关系f：x→x+3。2.A={三角形},B={圆}，对应关系f：每一个三角形对应它的外接圆。3.A={1,2,3},B={-1,0,1,2}，对应关系f：x→x-2。4.A={1,2,3},B={1,4,9}，对应关系f：x→y，其中y是x的平方根。（请同学们先自行思考，我们稍后在课堂上共同分析）1.2函数的定义在初中阶段，我们已经接触过函数的概念：“在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。”这个定义侧重于描述变化过程中的变量关系。现在，我们可以用映射的观点来重新定义函数，使其更加严谨和一般化。定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）。显然，值域是集合B的子集。对函数定义的理解：*函数是特殊的映射：函数与映射的区别在于，函数要求A、B必须是非空数集。也就是说，函数是从数集到数集的映射。*三要素：函数的定义域、对应关系和值域，称为函数的三要素。其中，定义域和对应关系是“核心要素”，因为一旦定义域和对应关系确定，值域也就随之确定。*符号y=f(x)：“f”代表对应关系，对于自变量x在定义域内的每一个值，通过f的作用，得到y。f(x)是一个整体，表示“x对应的函数值”，而不是f乘以x。在不同的函数中，f的具体含义不同。有时，为了区分不同的函数，也会用g(x)、h(x)等符号。例1：已知函数f(x)=2x+1，(1)求f(0)，f(1)，f(a)的值；(2)若f(x)=5，求x的值。分析：(1)f(0)表示当x=0时的函数值，将x=0代入函数表达式即可。同理可求f(1)和f(a)。(2)即求解方程2x+1=5。二、函数的三要素：定义域、对应关系与值域2.1函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，它是函数的“灵魂”，研究函数必须首先考虑定义域。如果定义域不明确，函数就失去了意义。确定函数定义域的主要依据：1.分式函数：分母不能为零。例如，函数f(x)=1/(x-1)的定义域是x≠1。2.偶次根式函数：被开方数必须大于或等于零。例如，函数f(x)=√(x+2)的定义域是x+2≥0，即x≥-2。3.零次幂或负指数幂函数：底数不能为零。例如，函数f(x)=x⁰的定义域是x≠0；f(x)=x⁻²=1/x²，定义域也是x≠0。4.实际问题：如果函数是描述实际问题的，那么定义域不仅要使解析式有意义，还要符合实际意义。例如，用函数表示圆的面积S与半径r的关系时，r必须大于0。在数学问题中，如果没有特别说明，函数的定义域就是指使这个函数表达式有意义的所有实数x的集合，也称为自然定义域。例2：求下列函数的定义域：(1)f(x)=√(3x-1)+1/(x-2)(2)g(x)=√(x+1)/(|x|-3)分析：对于(1)，要同时满足根号内非负和分母不为零。对于(2)，要同时满足根号内非负和分母不为零。2.2函数的对应关系对应关系是函数的核心，它决定了输入（自变量）如何转化为输出（函数值）。常用的表示对应关系的方法有解析法（函数表达式）、图像法和列表法。我们重点研究用解析法表示的函数。例如，函数f(x)=2x²+3x-1，其对应关系f就是“自变量x先平方乘以2，再加上x的3倍，再减去1”。判断两个函数是否为同一个函数，需要同时满足两个条件：定义域相同且对应关系完全一致。这两者缺一不可。如果两个函数的定义域不同，即使表达式形式相同，它们也不是同一个函数；如果定义域相同，但对应关系不同，它们也不是同一个函数。例3：判断下列各组函数是否为同一个函数：(1)f(x)=x与g(x)=(√x)²(2)f(x)=x²与g(x)=(x+1)²(3)f(x)=|x|与g(x)=√(x²)分析：(1)先看定义域，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是x≥0，定义域不同，所以不是同一函数。(2)定义域都是R，但对应关系不同，一个是平方，一个是“加1后平方”，所以不是同一函数。(3)定义域都是R，对应关系：对于任意x，|x|和√(x²)的结果都是一样的，所以是同一函数。2.3函数的值域函数的值域是函数值的集合，即{f(x)|x∈A}，其中A是定义域。求函数的值域是一个比较灵活的问题，需要根据函数的具体形式和定义域来确定。常见函数的值域求法：1.观察法：对于一些简单的函数，如一次函数、常数函数等，可以通过观察直接得到值域。例如，f(x)=2x+1，定义域为R，值域也为R；f(x)=3，定义域为R，值域为{3}。2.配方法：对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，可以通过配方成顶点式y=a(x-h)²+k，结合开口方向和定义域来求值域。这是求二次函数值域的基本方法。3.反表示法（解方程法）：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)(c≠0)的分式函数，可以尝试用y把x表示出来，然后根据x的定义域求出y的取值范围。4.换元法：对于一些结构较为复杂的函数，可以通过引入新的变量（换元），将其转化为我们熟悉的函数类型来求值域。例4：求下列函数的值域：(1)f(x)=x²-2x+3，x∈[-1,4](2)f(x)=(2x+1)/(x-1)(x≠1)(3)f(x)=x+√(x-1)分析：(1)这是一个二次函数，给定了定义域，我们可以通过配方，结合二次函数图像的对称轴与定义域的关系来求值域。(2)可以尝试用反表示法，或者将分子进行变形，分离出常数项。(3)根号下有x-1，可以设t=√(x-1)(t≥0)，将原函数转化为关于t的二次函数。三、函数的表示方法函数的表示方法是我们刻画函数对应关系的具体手段。常用的有三种：解析法、图像法和列表法。3.1解析法解析法，也称为公式法，就是用数学表达式（等式）来表示两个变量之间的对应关系。例如，y=3x-2，S=πr²，f(x)=√x+1等。优点：简洁明了，能够准确地反映函数的对应关系，便于进行理论分析、计算和推导。缺点：不够直观，有些函数关系难以用解析式表示。3.2图像法图像法是指用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系。对于函数y=f(x)，在其定义域内，每一个x值都对应一个y值，以(x,y)为坐标在平面上描点，所有这些点组成的集合（或曲线）就是函数的图像。优点：直观形象，能清晰地展示函数的变化趋势、最值等性质。缺点：所表示的函数关系不够精确，只能得到近似值。绘制函数图像的基本步骤是：列表、描点、连线。对于一些基本初等函数，我们需要熟悉它们的图像特征。函数图像的基本特征：由函数定义可知，在函数的图像上，过定义域内任意一个x对应的横坐标作垂直于x轴的直线，该直线与函数图像有且只有一个交点。这是判断一个图像是否为某个函数图像的重要依据，通常称为“垂直于x轴的直线与图像至多有一个交点”。3.3列表法列表法是指通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。表格中通常有两列，一列是自变量的取值，另一列是对应的函数值。例如，数学用表中的平方表、平方根表，银行的利率表等。优点：可以直接读出函数值，使用方便，无需计算。缺点：只能表示有限个自变量对应的函数值，不便于进行连续变化的分析。在实际应用中，我们常常会根据问题的需要，灵活选择或综合运用这三种表示方法。3.4分段函数在我们的学习中，还会遇到一种特殊的函数——分段函数。有些函数，在其定义域的不同子集上，对应关系的表达式不同，这样的函数通常称为分段函数。例如，绝对值函数y=|x|可以表示为：y=x,当x≥0时；y=-x,当x<0时。分段函数是一个函数，而不是几个函数。它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。处理分段函数问题时，要特别注意自变量所在的区间，选择对应的表达式进行计算或分析。例5：已知函数f(x)={x+2,x≤-1,{x²,-1<x<2,{2x,x≥2.(1)求f(-2)，f(1)，f(3)的值；(2)若f(a)=3，求a的值。分析：对于分段函数，求函数值时，关键是判断自变量a属于哪一段定义域，然后代入相应的解析式。四、函数的基本性质函数的性质是函数特征的具体体现，研究函数的性质有助于我们更深入地理解函数的行为和变化规律。我们首先学习函数的单调性和奇偶性。4.1函数的单调性我们观察一次函数y=2x+1的图像，它是一条从左到右上升的直线，函数值y随x的增大而增大；而函数y=-2x+1的图像是一条从左到右下降的直线，函数值y随x的增大而减小。二次函数y=x²的图像，在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。这种函数值随自变量变化而变化的趋势，就是函数的单调性。定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂：*当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction），区间D称为函数y=f(x)的单调递增区间。*当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数（decreasingfunction），区间D称为函数y=f(x)的单调递减区间。如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间。对单调性定义的理解：*“定义域I内某个区间D”：单调性是函数在某个区间上的局部性质，而不是整体性质。一个函数可能在定义域的不同区间上有不同的单调性。*“任意两个自变量的值x₁，x₂”：这里的“任意”二字非常关键，不能用特殊值代替。也就是说，不能仅通过两个特定的点来判断函数的单调性。*“当x₁<x₂时”：比较的是自变量的大小。*“都有f(x₁)<f(x₂)(或f(x₁)