等腰三角形复习题

等腰三角形复习题等腰三角形作为平面几何中的基本图形之一，其性质与判定不仅是学习后续复杂几何知识的基础，也在各类实际问题中有着广泛的应用。本次复习，我们将通过梳理核心知识点，并结合典型例题与练习题，帮助同学们巩固所学，提升综合运用能力。一、核心知识回顾与梳理在着手解决问题之前，让我们先简要回顾等腰三角形的定义、性质及判定方法，这是我们解题的“利器”。1.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边称为腰，另一边称为底边，两腰的夹角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角。2.性质：*等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。3.判定：*定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。*如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。二、典型例题分析与思路拓展1.等腰三角形的识别与角度计算例1：已知等腰三角形的一个内角为某个角度，求其他两个内角的度数。（*说明：此处为引导，实际例题会给出具体角度，请见下文具体例题设置*）例1.1：已知等腰三角形的一个内角为70°，求其他两个内角的度数。思路分析：等腰三角形的内角分为顶角和底角两种。题目中只给出“一个内角”，并未明确是顶角还是底角，因此需要分情况讨论，这是解决此类问题的关键。同时，要注意三角形内角和为180°，确保每种情况得到的三个角度数之和符合这一条件。解答过程：情况一：若已知的70°角为顶角，则两个底角的度数相等。设底角的度数为x，则有：70°+2x=180°解得：x=(180°-70°)/2=55°因此，其他两个内角均为55°。情况二：若已知的70°角为底角，则另一个底角也为70°，顶角的度数为：180°-70°-70°=40°因此，其他两个内角分别为70°和40°。综上，该等腰三角形其他两个内角的度数为55°、55°或70°、40°。2.“三线合一”性质的应用例2：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=50°。求∠BAD的度数。（*此处应有示意图：一个等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC，AD为底边中线*）思路分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的中线同时也是顶角的平分线和底边上的高。因此，AD既是BC边上的中线，也是∠BAC的平分线。我们可以先求出顶角∠BAC的度数，再利用角平分线的性质求出∠BAD。解答过程：∵AB=AC（已知）∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=50°（等边对等角）∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°又∵AD是BC边上的中线（已知）∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）∴∠BAD=∠BAC/2=80°/2=40°3.等腰三角形的判定例3：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：△ADE是等腰三角形。（*此处应有示意图：△ABC，∠B=∠C，D在AB上，E在AC上，AD=AE*）思路分析：要证明△ADE是等腰三角形，根据定义或判定定理，可尝试证明其有两边相等或有两角相等。已知AD=AE，这本身就是两边相等，似乎可以直接得出结论。但我们还是按照严格的逻辑进行推导，也可以从角的关系入手，若能证明∠ADE=∠AED，同样可以判定。解答过程：方法一：∵AD=AE（已知）∴△ADE是等腰三角形（等腰三角形定义）方法二（从角的关系入手，更能体现判定定理的应用思路）：∵∠B=∠C（已知）∴AB=AC（等角对等边）∵AD=AE（已知）∴∠ADE=∠AED（等边对等角）∴△ADE是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形）（*注：方法一直接利用已知条件，更为简洁。方法二展示了判定定理的应用，供理解参考。实际解题中，选择最直接的方法即可。*）4.涉及等腰三角形的多解问题（分类讨论思想）例4：已知一个等腰三角形的两边长分别为5和6，求其周长。思路分析：等腰三角形的两边长给出，但未明确哪一条是腰，哪一条是底边。因此，需要分两种情况讨论：当5为腰长时，6为底边长；当6为腰长时，5为底边长。同时，要验证每种情况下三条线段能否构成三角形，即任意两边之和大于第三边。解答过程：情况一：当腰长为5，底边长为6时。三边长分别为5，5，6。验证三角形三边关系：5+5>6，5+6>5，5+6>5，均成立。此时周长为：5+5+6=16。情况二：当腰长为6，底边长为5时。三边长分别为6，6，5。验证三角形三边关系：6+6>5，6+5>6，6+5>6，均成立。此时周长为：6+6+5=17。综上，该等腰三角形的周长为16或17。三、巩固练习题1.等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数是多少？2.如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，∠ABD=25°，求∠C的度数。（*此处应有示意图：等腰△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D*）3.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB交AC于点E。求证：△ADE是等腰三角形。（*此处应有示意图：△ABC，AD平分∠BAC，DE平行AB交AC于E*）4.一个等腰三角形的周长为20，其中一边长为4，求其他两边的长。5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC。求∠B的度数。（*此处应有示意图：等腰△ABC，AB=AC，D在BC上，BD=AD，DC=AC*）四、复习总结与注意事项通过以上的例题分析和练习，我们可以看出，等腰三角形的复习不仅要掌握其定义、性质和判定这些基础知识点，更重要的是学会灵活运用这些知识解决实际问题，并在解题过程中培养严谨的逻辑思维和分类讨论的意识。1.深刻理解概念：准确把握等腰三角形的定义、性质（特别是“三线合一”）和判定定理，这是解决一切相关问题的基础。2.注重数形结合：几何问题离不开图形，画图、识图、用图是学好几何的关键。在解题时，应尽量画出规范的图形，帮助分析已知条件和所求结论之间的关系。3.强化分类讨论意识：涉及等腰三角形的边、角、顶点位置等问题时，常常需要进行分类讨论，如“已知边是腰还是底？”“已知角是顶角还是底角？”“三角形的形状是否唯一？”等，以避免漏解或错解。4.灵活运用性质与判定：在证明线段相等或角相等时