《小数乘法竖式计算（蚕丝中的数学）-北师大版小学数学四年级下册导学案》

《小数乘法竖式计算（蚕丝中的数学）——北师大版小学数学四年级下册导学案》一、教学内容分析  本课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域“数与运算”主题，核心在于理解小数乘法的算理并掌握其竖式算法，是整数乘法意义与算法向小数域的自然扩展与关键迁移。从知识技能图谱看，学生已牢固掌握整数乘法的竖式计算、小数意义及小数点移动规律，本课需在此基础上，建构“将小数乘法转化为整数乘法计算，再依据因数小数位数确定积的小数点位置”这一核心认知模型，为后续学习小数混合运算及解决更复杂实际问题奠定基石。过程方法路径上，本课旨在引导学生经历“情境感知—算法探究—算理阐释—应用巩固”的完整数学化过程，渗透转化、推理、建模等核心数学思想。例如，通过“蚕丝”这一具体情境，抽象出数学问题；在探究算法时，将未知的小数乘法转化为已知的整数乘法，体会转化思想的价值。素养价值渗透方面，本课不仅培养运算能力这一核心，更着力发展学生的推理意识（解释为什么可以这样算）和模型意识（概括算法模型），并在解决与“蚕丝”相关的实际问题中，初步感悟数学与自然、科技及生活的广泛联系，增强应用意识。  学情诊断方面，四年级学生具备较强的整数计算能力和初步的小数加减法经验，但小数乘法的算理（尤其是小数点定位的合理性）对他们而言是认知的跃迁点，易出现“列竖式时小数点对齐”或“点错积的小数点位置”等典型错误。其思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，需要直观模型（如面积模型）和已有知识（如积的变化规律）作为脚手架。教学过程中，将通过“估算先行”激活数感，通过“追问为什么”暴露思维过程，通过对比错例深化理解。针对不同层次学生，将提供差异化的学习支架：对于理解较快的学生，引导其探究因数位数多于两位或末尾有零的复杂情况；对于需要更多支持的学生，则提供直观的方格图辅助理解算理，并设置分步提示的练习任务，确保所有学生都能在“最近发展区”内获得成功体验。二、教学目标  知识目标：学生能结合“蚕丝产量”等具体情境，理解小数乘法的意义。能够正确表述小数乘法竖式计算（以两位小数乘一位整数/小数为主）的步骤，并能清晰解释其算理——即先将小数视为整数相乘，再依据两个因数的小数位数之和来确定积的小数位数。  能力目标：学生能够独立、规范地完成小数乘法竖式计算，并具备初步的估算意识，能通过估算判断积的大致范围，以检验计算结果的合理性。在探究算理的过程中，提升运用已有知识（如积的变化规律）进行合情推理和数学表达的能力。  情感态度与价值观目标：在解决“一条春蚕吐丝长度”、“丝巾重量”等系列问题的过程中，激发对自然界与生活中数学现象的好奇心。通过小组合作探究算理，培养乐于分享、认真倾听、敢于质疑的科学交流态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的转化思想与模型思想。通过任务驱动，引导学生主动将新问题（小数乘法）转化为已解决的问题（整数乘法），并从中抽象概括出普适性的算法模型，实现从具体操作到形式化表达的思维进阶。  评价与元认知目标：引导学生建立自我监控的学习习惯。例如，在计算后能主动反问自己：“我的估算结果和精确结果接近吗？”“我点小数点时，数清楚两个因数共有几位小数了吗？”通过设计错例分析环节，培养学生批判性审视计算过程、诊断错误根源并自主修正的能力。三、教学重点与难点  教学重点是掌握小数乘法的竖式计算方法，并能正确确定积的小数点位置。其确立依据在于，这是小数乘法运算规则的核心，是后续学习小数除法、四则混合运算乃至中学学习科学计数法的基础。从素养导向看，准确、熟练的运算能力是数学核心素养的重要组成部分，而正确运用竖式算法是达成此目标的技能保障。  教学难点在于理解小数乘法竖式计算的算理，即“为什么计算时不用考虑小数点，而最后却要根据小数位数来确定积的小数点”。预设的成因是学生的思维需要跨越两个层次：一是算法操作层面（如何算），二是算理理解层面（为何这样算）。常见错误如“数位对齐”正是前概念（小数加减法）的负迁移所致。突破方向在于充分利用直观模型（如将小数乘法与长方形面积相联系）和严谨推理（运用积的变化规律进行演绎说明），架起算理与算法之间的桥梁。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：教学课件（含情境图、动画演示算理过程、分层练习题）；实物投影仪。  1.2学习材料：设计并印制《学习任务单》（包含探究记录区、分层练习区、自我评价区）。2.学生准备  2.1知识准备：复习整数乘法竖式计算及积的变化规律。  2.2学具准备：草稿本、铅笔、直尺。3.环境准备  3.1座位安排：四人小组围坐，便于合作探究。  3.2板书规划：左侧呈现核心问题与算法模型，中部留作算理探究过程展示，右侧作为练习反馈区。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，提出问题：同学们，你们知道吗？一条春蚕吐出的丝大约有1.2千米长，是不是很神奇？如果我们养了3条这样的春蚕，一共能吐出多长的丝呢？怎么列式？（预设：1.2×3）好，1.2乘3等于多少？请大家先别急着算，我们先猜一猜，估一估，结果大概在哪个范围？比3大还是比3小？  1.1唤醒旧知，明确路径：有同学说比3大，因为1.2比1大。嗯，用估算帮我们把握了方向。但到底是多少千米呢？这就是我们今天要解决的核心问题——小数乘法的计算。之前我们学过整数乘法竖式，那么小数乘法竖式该怎么列、怎么算？它的道理又是什么？这节课，我们就化身“小小数学家”，通过“蚕丝中的数学”这个线索，一起探究小数乘法竖式的奥秘。第二、新授环节  任务一：初步尝试，暴露思维冲突  教师活动：首先，请大家独立尝试用自己喜欢的方法计算1.2×3，可以将想法记录在任务单上。教师巡视，有目的地选取几种典型方法：①连加法（1.2+1.2+1.2）；②化为元角计算（1.2元=12角，12×3=36角=3.6元）；③直接列竖式但将小数点对齐（错误范例）；④列整数乘法竖式（12×3）。然后，通过实物投影展示这些方法。我们先来听听这些同学的想法，好吗？尤其关注列竖式的同学，你是怎么想的？  学生活动：独立思考并尝试计算。观看同学分享的多种方法，进行比较和思考。可能对“小数点对齐”的竖式产生疑问或认同。  即时评价标准：1.能否运用已有知识（如加法、单位换算）尝试解决问题。2.能否清晰表达自己的计算思路。3.在倾听他人方法时，能否关注算法的差异并进行初步思考。  形成知识、思维、方法清单：★1.小数乘法的意义：1.2×3表示3个1.2相加或1.2的3倍是多少。▲2.算法的多样性：解决一个新问题时，可以将其转化为学过的知识（如加法、整数乘法）来解决，这是一种重要的转化思想。★3.认知冲突点：直接列竖式时，小数点是否应该对齐？这与小数加减法的竖式规则不同，引发探究需求。  任务二：聚焦算理，探究“转化”之道  教师活动：同学们，刚才用“元角模型”和“连加”都算出了3.6，结果肯定是正确的。那竖式能不能直接算出3.6呢？我们聚焦看这个把1.2看作12的竖式（展示12×3=36）。咦，算出是36，可正确答案是3.6，这个36和3.6是什么关系？大家以小组为单位讨论一下：为什么可以把1.2当成12来乘？乘得的结果36，又该如何变回正确的积3.6呢？试着用我们学过的数学知识来解释。  学生活动：小组合作讨论。可能联想到“积的变化规律”：一个因数1.2扩大到原来的10倍变成12，另一个因数3不变，积就扩大到原来的10倍是36。所以，要使积正确，就需要把36再缩小到原来的1/10，即3.6。  即时评价标准：1.小组讨论时，能否围绕核心问题（“为什么”和“如何变”）展开。2.能否调用“积的变化规律”这一旧知来论证算理的合理性。3.小组代表汇报时，表达是否条理清晰，逻辑严谨。  形成知识、思维、方法清单：★4.核心算理（转化与还原）：计算1.2×3时，先将1.2（看作×10）转化为整数12，按12×3计算得36；因为因数扩大了10倍，所以积也扩大了10倍，要得到原来的积，就必须将36（÷10）还原为3.6。★5.算理支撑：这一过程的严密逻辑依据是“积的变化规律”。▲6.直观模型辅助：可利用面积模型解释（1.2看作12个0.1，乘3得36个0.1，即3.6）。  任务三：抽象概括，初建算法模型  教师活动：真棒！大家用“积的变化规律”把这个道理说透了。现在，谁能把这个“先转化—再计算—最后还原”的过程，更简洁地概括成我们竖式计算的操作步骤？教师引导学生共同梳理：第一步，列竖式时，末位数字对齐（像整数乘法一样），先不管小数点。第二步，按整数乘法法则算出积。第三步，再看因数中的小数，1.2是一位小数，那么，就从积的右边起数出一位，点上小数点。来，我们一起把这个过程规范地写一遍（板书规范竖式过程）。注意哦，这个小数点可要点得又圆又清楚！  学生活动：跟随教师的引导，尝试用自己的语言概括计算步骤。观察教师板演，在任务单上模仿书写规范竖式，并口述计算步骤。  即时评价标准：1.能否从算理理解中抽象出“末位对齐”、“按整数乘”、“数位点小数点”三个关键操作步骤。2.竖式书写格式是否规范（数位间距、小数点形态）。3.能否边操作边用数学语言复述过程。  形成知识、思维、方法清单：★7.竖式算法三步曲：①末位对齐（与加减法的小数点对齐相区分）；②按整数乘法计算；③点小数点：看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。★8.格式规范：竖式中数位之间适当留空，小数点应为实心圆点，位置要精确。  任务四：深化理解，突破位数拓展与末尾零处理  教师活动：挑战升级！如果一条秋蚕吐的丝长约1.25米，织一条丝巾大约需要1.2条秋蚕吐的丝，这条丝巾的用丝长度怎么列式？（1.25×1.2）这是个两位小数乘一位小数。请大家先估一估，结果大约是多少？再用我们刚总结的方法尝试列竖式计算。算完的同学思考两个问题：第一，因数中共有几位小数？你的积应该是几位小数？第二，你乘得的积末尾有零吗？这个零怎么处理？  学生活动：先估算（如1.25≈1.3，1.2≈1，积约1.3；或1.25×1>1.25，1.25×1.2结果应比1.25大）。独立尝试竖式计算1.25×1.2。思考并讨论教师提出的问题，特别是如何处理乘得的整数积“1500”与确定小数点位置的关系。  即时评价标准：1.能否在计算前进行合理估算，为结果提供范围参照。2.能否正确计算整数部分（125×12），并准确数出因数中小数位数的和（3位）。3.能否正确处理积末尾的0，即先点小数点，再根据小数的性质化简（去掉末尾的0）。  形成知识、思维、方法清单：★9.算法推广：乘数是两位及以上小数时，算法模型不变。关键是“看因数中一共有几位小数”来确定积的小数位数。★10.难点突破（积的位数不够与末尾有0）：若积的位数少于需要点出的小数位数，要用0补足；若乘得的积末尾有0，要先确定小数点位置，再根据小数的性质化简，去掉末尾的0。例如1.25×1.2=1.500=1.5。▲11.估算的监控价值：估算不仅能预判结果范围，还能用于检验最终结果的合理性，是计算中不可或缺的好习惯。  任务五：对比归纳，形成结构化认知  教师活动：我们一起来回顾一下探索之路。从1.2×3到1.25×1.2，小数乘法竖式计算最核心的要点是什么？它和我们之前学的小数加减法竖式最根本的区别在哪？请大家完成这个对比表格（课件出示：对比项目：目的、列式对齐方式、计算依据、小数点处理方式）。  学生活动：在教师引导下，系统回顾本课核心内容。通过填写对比表格，从算理和算法两个层面，清晰地区分小数乘法与加减法竖式的异同，形成结构化、网络化的知识体系。  即时评价标准：1.能否准确提炼小数乘法竖式的核心（转化思想、按整数算、按小数位数点积的小数点）。2.能否从本质上说明乘法与加减法竖式对齐方式不同的原因（计数单位不同）。3.归纳总结的语言是否准确、有条理。  形成知识、思维、方法清单：★12.核心要点总览：小数乘法竖式计算基于“转化”思想，关键在于“按整数乘法算，按小数位数点”。★13.本质对比：小数加减法对齐小数点是为了相同计数单位相加减；小数乘法末位对齐是为了按整数乘法规则进行运算，其计数单位的处理隐含在后续的点小数点步骤中。▲14.结构化认知：将新知识（小数乘法）与旧知识（整数乘法、小数加减法、积的变化规律、小数的性质）主动关联，构建知识网络，理解才能深刻。第三、当堂巩固训练  1.基础层（全员通关）：完成学习任务单上的“基础乐园”。包括直接写得数（如0.8×4）、简单竖式计算（如2.6×3，1.35×4）等，强调格式规范与一步到位点对小数点。完成即进行同桌互查，重点检查小数点位置和化简情况。教师巡视，收集典型正确范例与共性错误。  2.综合层（情境应用）：出示“蚕丝被”情境：制作一条蚕丝被需要用到1.8千克的蚕丝茧，已知每千克蚕丝茧售价是42.5元，购买材料大约需要多少钱？学生独立列式并计算。此题为两步应用埋下伏笔，并检验学生在稍复杂情境中提取信息并正确计算的能力。教师选取不同答案进行投影对比，引导学生讨论：“1.8×42.5的积有几位小数？为什么最后的结果通常表示成两位小数（元角分）？”  3.挑战层（思维拓展）：设计“数字谜”或开放题。如：不计算，请判断下面各算式中，积比第一个因数大还是小？为什么？（0.8×1.2，2.4×0.7，1.5×1）以此深化对“一个数（0除外）乘大于1、小于1、等于1的数，积与原数大小关系”的理解，为后续学习铺垫。或在“蚕丝长度”背景下，设计“1.25×0.08”这类积的小数位数需要补0的题目，进行强化。第四、课堂小结  今天我们围绕“蚕丝”中的数学问题，共同探索了小数乘法竖式的奥秘。现在，请大家闭上眼睛回顾一下，这节课你的思维爬了哪些“坡”？跨越了哪些“坎”？你可以用简单的思维导图或几个关键词在任务单的“收获园地”里记录下来。分享环节：我学会了…，我明白了…的道理，我以后计算时要注意…。作业布置：必做（基础+拓展）：1.完成课本对应练习，着重规范书写。2.寻找一个生活中用到小数乘法的例子，记录下来并尝试计算。选做（探究）：研究一下“0.25×0.4”的竖式计算过程，思考积的小数位数与因数小数位数之和的关系，为什么结果是0.1而不是0.100？下节课我们分享你的发现。六、作业设计  基础性作业：  1.竖式计算：4.7×5=？2.08×6=？1.25×0.8=？（强调过程规范）。  2.改错题：出示两道典型错误竖式（如小数点对齐、点错位置、未化简），请学生诊断错误并改正。  拓展性作业：  3.应用题：妈妈买了一块丝绸面料，每米售价32.8元，她买了2.5米，应付多少元？请先估算，再精确计算。  4.编题与计算：仿照课本“蚕丝”的情境，自己编一道涉及小数乘法的实际问题并解答。  探究性/创造性作业：  5.探究记录：计算0.3×0.2，0.03×0.2，0.3×0.02，观察因数和积的小数位数，你能发现什么规律？尝试用面积模型（画格子图）解释0.3×0.2=0.06。  6.数学小论文（提纲）：以“小数乘法竖式背后的‘为什么’”为题，梳理算理，要求至少运用两种方式（如积的变化规律、面积模型）进行说明。七、本节知识清单及拓展  ★1.小数乘法意义：与整数乘法相同，求几个相同小数加数的和的简便运算，或求一个小数的几倍是多少。  ★2.核心算理（转化思想）：计算小数乘法时，先将小数转化为整数，按整数乘法计算，再根据因数的变化情况，对积进行反向调整。其理论根基是“积的变化规律”。  ★3.竖式算法三步曲：①末位对齐：将小数看成整数，末尾数字对齐。②整数乘法：按照整数乘法的计算方法算出积。③点小数点：看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。  ★4.确定积的小数位数法则：因数中一共有几位小数，积就有几位小数。（注意补0和化简的情况）  ★5.积的末尾有0的处理：要先根据小数位数点好小数点，再根据小数的基本性质，去掉小数部分末尾的0，进行化简。例如：1.25×1.2=1.500=1.5。  ★6.位数不够需补0：如果乘得的积的位数少于需要点出的小数位数，要在积的前面用0补足，再点小数点。例如：0.25×0.04=0.0100=0.01。  ▲7.估算的运用：计算前先估算积的大致范围（如判断是否大于或小于某个因数），可用于快速检验计算结果的合理性，是重要的计算策略和数感体现。  ▲8.与小数加减法竖式的对比：根本区别在于“计数单位运算方式”不同。加减法必须相同计数单位相加减，故需小数点对齐；乘法的本质是“倍数关系”，转化为整数后按计数单位个数相乘，故需末位对齐（即整数数位对齐）。  ▲9.一个数乘纯小数的直观理解：一个数（大于0）乘小于1的数，积比原来的数小。例如：2×0.5=1，因为0.5表示一半，所以结果是原数的一半。  ▲10.面积模型解释算理：可将两个一位小数（如0.3和0.2）的乘法，想象成一个长为0.3、宽为0.2的长方形面积。用百格图表示，0.3米即3分米，0.2米即2分米，面积是6平方分米，即0.06平方米。直观显示了位数关系。八、教学反思  一、目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标达成度较高，绝大多数学生能规范完成基础竖式计算。通过课堂巡视、随堂练习反馈及小结分享，可以观察到学生经历了从困惑（小数点对齐？）到明晰（末位对齐—转化）的思维过程。能力目标方面，学生在教师引导下能运用积的变化规律解释算理，但自主、完整地进行数学表达的能力仍有差异，部分学生停留在“会做但说不清”的阶段。估算意识的培养在课堂中多次强化，但在独立练习时部分学生仍会忽略，需长期渗透。素养层面的转化思想、模型思想在探究环节得到较好落实，学生能感受到“转化”这一策略的力量。  （一）环节有效性评估导入环节的“蚕丝”情境与估算提问迅速激发了兴趣，并锚定了学习起点。任务一“暴露思维冲突”至关重要，它真实展现了学生的前概念，使教学有的放矢。任务二“聚焦算理”是突破难点的核心，小组讨论与旧知（积的变化规律）的联结搭建了关键脚手架。这里我追问了一句：“为什么偏偏是扩大10倍，不是100倍？你是怎么想的？”促使思考更精准。任务四“深化理解”中，1.25×1.2的例子设计精当，自然引出了“位数和”与“末尾0处理”两大难点，学生在此处的争论和辨析是最有效的学习时刻。巩固训练的分层设计基本满足了不同学生的需求，但挑战层题目的反馈时间稍显仓促。  （二）学生表现深度剖析课堂中呈现出明显的层次性：约70%的学生能紧跟节奏，顺利完成从理解到应用的过渡；约20%的学优生不满足于算法掌握，在探究算理和挑战题中表现出浓厚兴趣，提出了“如果是0.001乘0.001呢？”等深入问题；另有约10%的学生在算