2025-2026学年上海市浦东新区某中学高三（上）期中数学试卷

20252026学年上海市浦东新区南汇中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1・6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.（4分）设全集U={・1,0,1,2,4},若集合A={-1,2,4},则彳=.

2.（4分）函数f（x）=<?-3（〃>0且。WI）的图象必过定点尸，则P点坐标为.

3.（4分）设i为虚数单位，若复数z满足z=4+2i,则团=.

4.（4分）己矢41sina=4cosa,贝Ijtan2a=.

5.（4分）己知/g2=a,lg3=b,用〃，〃表示k）gi86=.

6.（4分）已知向量2=（1,-2）,分=（3,4）,则向量之在向量了方向上的数量投影为.

7.（5分）已知函数/（x）=?-2x,则其图象在点（1,/（I））处的切线方程为.

8.15分）若对任意的xWR,不等式k+l|+Li-a|25恒成立，则实数〃的取值范围是.

9.（5分）已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9n和15m则该圆锥的体积为

10.（5分）设函数/（x）=cos（（JD.V+（P）（其中3>0,|（p|V*）,若函数y=/（x）图像的对称轴工=/与其

对称中心的最小距离为；则f（2=___________________.

8

11.（5分）已知函数/'（%）=（"+2）'"一0,若f（X）=4有四个不同的解XI，X2，X3，抽，且

k\log2x\,x>0

Vx3Vx4，则“4（%1+%2）+*2的最小值为.

卬4

12.（5分）已知平面向量a,b,c满足|a|=2,|b|=4,a2=a-b,2c=b-c,则|c一+|c—b『的

最小值为.

二、选择题（本题共有4题，满分18分，13・14题每题4分，15・16题每题5分）

13.（4分）已如实数a,b满足a>b,则下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b1B.«3>/?C.间>|例D.a'l>b1

14.（4分）已知向量a=（-2,-3,1）,b=（2,0,4）,c=（-4,-6,2）,则下列结论1E确的是（）

A.ale,b1cB.a//btale

C.a//c,albD.以上都不对

1

15.（5分）如图，正方体ABC。-4由CQ的棱长为I,线段Si上有两个动点石，F,且所=:点P,

。分别为AI8I，BBi的中点，G在侧面CQGCi上运动，且满足BiG〃平面COiPQ,以下命题错误的

笫1页（共14页）

是（)

A.AB\LEF

B.多面体AE五囱的体积为定值

C.侧面上存在点G,使得-GJ_CDi

D.直线8]G与直线8c所成的角可能为J

6

16.（5分）已知函数y=/（x）的导函数为（%）,.隹R,且），=/（x）在R上为严格增函数，关于

下列两个命题的判断，说法正确的是（）

①“X[>X2”是Uf（X|+1）+f（X2）>f（X|）+f（X2+1）”的充要条件；

②“对任意XVO都有/（%）<7（0）”是“y=/（x）在R上为严格增函数”的充要条件.

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

三、解答题（第17・19题每题14分，第20・21题每题18分，共78分）

17.（14分）ZXA△。的内角4,B,。的对边分别为a,b,c,已知次-32=〃。一°2.

（1）求&

（2）若人=5,cosC=求c.

18.（14分）在校长为4的正方体ABCQ-A阳CiQi中，点夕在棱CCi上且CCi=4CP.

（1）求4P与8G所成角的大小；

（2）求点Ai到平面APDi的距离.

19.（14分）已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该

第2页（共14页）

公司一年内共生产X万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为R（X）万元，且已知宠（X）=

400-6x,0<r<40,10000%GZ

740040000、心U

-.............2-，x>40,1i0n0n0n0n%GZ

（l）求一年的总利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式;

（2）当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大？并求出最大总利润.（总

利润=总销售收入-固定成本-额外投入）

20.（18分）对于函数/（x）,若存在实数“使得-fGn）为R上的奇函数，则称/（x）是位

差值为小的“位差奇函数”.

（I）判断函数/'（X）=2x+l和g（x）是否是位差奇函数，并说明理由；

（2）若/（x）=sin（x+（p）是位差值为TT的位差奇函数，求年的值；

（3）若对于任意加日I,+8）,/（外=2J/・2”都是位差值为/〃的位差奇函数，求实数/的取值范围.

21.（18分）已知/（x）="-or-l,加R,e是自然对数的底数.

（1）当。=1时，求函数），=/（%）的单调区间、极值以及对应的极值点；

（2）若关于x的方程/（%）+1=。有两个不等实根，求〃的取值范围：

（3）当a>0时,若满足/（xi）=/（xi）（xi<x2）»求证：x\+xi<2lna.

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20252026学年上海市浦东新区南汇中学高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共4小题）

题号13141516

答案BCDC

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7・12题每题5分）

I.（4分）设全集U={-1,0,1,2,4},若集合A={-1,2,4},则彳={0,1}.

【解答】解：因为全集U={-1,0,1,2,4},若集合A={-1,2,4）,

所以彳={0,1}.

故答案为：{0,I}.

2.（4分）函数/（x）="・3（〃>0且。云1）的图象必过定点P,则尸点坐标为（0,-2）.

【解答】解：当尸0时，"0）=/-3=-2,・••函数/（X）="-3的图象一定经过定点（0,-2）.

故答案为：（0,-2）.

3.（4分）设i为虚数单位，若复数z满足z=4+2i,则回=，而—.

【解答】解：，为虚数单位，复数z满足z=4+2i,

则团=|4-2z|=J42+（-2）2=2V5.

故答案为：2遍.

O

4.（4分）已知sina=4cosa,贝han2a=一T？.

【解答】解:因为sina=4cosa,

所以tana=4,

i,nir2tana2x48

则t4an2a=­—=——o=-7R-

1-tan^a1-4’15

故答案为：一盘.

5.（4分）已知/g2=a,lg3=b,用小b表示]og]g6=

【解答】解：lg2=a,lg3=b,

故即6-皿-胴2+磔_a+b_

故10gi80018_2lg3+lg2a+2b-

,.i»、，a+匕

故答案为：—.

a+2b

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6.(4分)已知向量a=(L-2),b=(3,4),则向量a在向量方方向上的数量投影为7.

【解答】解：向量之=(1,-2),b=(3,4),

TTTt

则向量2在向量b方向上的投影为：|a|cos<a,b>=^=r-=.38=-1.

\b\及+42

故答案为：・1

7.(5分)已知函数/(x)-2》，则其图象在点(1,/(1))处的切线方程为x-v-2=0.

【解答】解：=/・2-(x)=3』-2,

：.f(1)=1,

V/(1)=1-2=-I,

••・函数/(x)=r-2x的图象在点处的切线方程为>1=(A-1),即y=x-2.

故答案为：A-y-2=0.

8.(5分)若对任意的XWR,不等式氏+1|+卜・。|25恒成立，则实数a的取值范围是(--、・6]U[4,

+8).

【解答]解:令y=|x+l|+|x-aI，

因为不等式W+1I+W-。|25恒成立，

则有加加25成立，

由三角绝对值不等式可得Li+l|+k-a|N|(x+1)-(x-a)|=|l+a|,

所以|a+l|25,

所以a+125或a+1W-5,

解得a24或aW-6,

所以实数”的取值范围为(-8,-6]U[4,+8).

故答案为：(-8,-6]U[4,+8).

9.(5分)已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9TT和15m则该圆锥的体积为127T

【解答】解：设圆锥的底面半径为八母线长为/，高为小

■意叱之落,解得忆机

/.//=V/2—r2=V52—32=4.

，该圆锥的体积为V=17TX32X4=^=12TT.

故答案为：12m

第5页(共14页)

10.(5分)设函数/⑴=COS(3t+(p)(其中3>o,kpivg),若函数y=f(x)图像的对称轴x=看与其

对称中心的最小距离为J则f(x)=cos(4不+孕.

【解答】解：:,函数/(x)=COS(O)x+(p)(其中3>0,|<p|V])，

函数y=/(x)图像的对称轴户?与其对称中心的最小距离为今

.127r7Tjjr.冗

A-X—=—,o)X6+(p=E,k£Z,••3=4,<p=>

则f(x)=cos(4A+5),

故答案为：cos(4x+.

（Y+2）2vV0

11.（5分）已知函数/'（%）='一，若/（x）=4有四个不同的解X|,X2，X3，X4，且XI<X2

\\log2x\,x>0

Vx3Vx4，则%4（%1+%2）+的最小值为-63.

X3X4

又因为XI,X2关于x=-2对称，

所以Xl+X2=-4,

又因^j|logw|=|log2X4|，

即Tog"3=log>4，

所以l0g»3+10g以4=log2X3A-4=0，

所以W4=1，且1〈gW16,

[61A

所以乃4（工1+%2）^---7=—4X4+1〈工4<16,

X3X4"4

易知函数）,一-4x+单在（1,16]上单调递减，

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所以(…+茎)〃山尸-4X16+11=-63.

即工4(/+%2)+J%的最小值为-63.

故答案为：-63.

12.(5分)已知平面向量Q,b,c满足|。|=2,|b|=4,a2=a-b,2之=b•c,则一Q『+?一的

最小值为14一4百.

【解答】解：因为|。|=2,|b|=4,a2=a-b,所以4=8co解a,b),

即cos(a,b)=则&b)=

不妨将薪攵在平面直角坐标系的x轴正半轴上，

取]=(4,0),则；可取(1,V3),设K=(x,y),

因为22=;)•",所以2^+2)^=4.\,即(x-1)2+)2=],

可知"的终点在圆心为(1,0),半径为1的圆上，

设之的参数方程为沈然+1,

yy—Ot/CL€

则|c-a|2+|c-b\2=(x—l)2+(y—V3)24-(x—4)2+y2

=cos2a+(sina—V3)2+(cosa-3)2+sin2a

=14-(2\[3sina+6cosa)

=14—4\[3sin{a+j),

因为s为(a+$e[—1,1],

所以14-4V3sin(a+刍的最小值为14-4百，

即日-a|2+|c-&2的最小值为14_473.

故答案为：14—48.

二、选择题(本题共有4题，满分18分，13・14题每题4分，15・16题每题5分)

13.(4分)已知实数①〃满足则下列不等式恒成立的是()

A.a2>lrB.a3>b3C.|a|>|臼D.a'x>bx

【解答】解：因为/(x)=?.f(x)=困是定义在R上的偶函数，

所以当实数。，力满足时，同》|例不一定成立，故A，C不符合题意;

笫7页(共14页)

因为/(x)=/是定义在R上单调递增的奇函数，

所以当实数小〃满足人时，则〃3>/,故B符合题意：

因为/(X)在(・8,0),(0,+8)上单调递减，

所以当实数小〃满足加>人时，不一定成立，不符合题意.

故选：B.

14.(4分)已知向量2=(-2,-3,1),b=(2,0,4),?=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()

—>—♦-TTT—>—>

A.ale,b1cB.allb,ale

C.a//~cyalbD.以上都不对

【解答】解：Va=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),

TTTT

/.a-b=-4+4=0,c=2a,

TTTr

/.aIIc,alb.

故选：C.

1

15.(5分)如图，正方体人8€7)-4阳。。的棱长为1,线段CD上有两个动点区F,且£7三3点P,

。分别为4小，8历的中点，G在侧面CQDCi上运动，且满足81G〃平面COiPQ,以下命题错误的

是()

A.ABilEF

B.多面体AKPSi的体积为定值

C.侧面C。。］。上存在点G,使得/3iG_LC。］

D.直线BiG与直线BC所成的角可能为?

6

【解答】解:对于A,正方体中，A\B//CD\,E、『是线段CQ|上有两

个动点，・・・ABi_LEF,故4正确；

1

对于8,•・•£下=',小到石尸的距离为定值，.•・$△/£「是定值，

第8页(共14页)

•・•点A到平面的距离为定值，，多面体AEFBi的体积为定值，故B正确;

对于C,'：B\C=B\D\,・••当G为。£>i中点时，BiG_LCOi,故C正确；

对于。，取。。|中点M,CG中点M当G与M或N重合时，

BC

直线B\G与直线BC所成的角NM8C1最大，

tanZA/BiCi=；V与=tan^»故D错误.

故选：D.

16.(5分)已知函数y=/(x)的导函数为y=/(x),XGR,且(x)在R上为严格增函数，关于

下列两个命题的判断，说法正确的是()

①“Xl>X2”是“/(.叫+1)+f(X2)>f(X|)+/(X2+1)”的充要条件；

②“对任意XVO都有/(X)</(0)"是((y=f(x)在R上为严格增函数”的充要条件.

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

【解答】解：对于①，设8(x)=/(.v+l)-f(“)，XGR,则/(x)=/(A-+1)-/(X),

因为y=f(X)在R上为严格增函数，故/(A-+I)>/(X),

即景(x)=f(x+1)-f(x)>0,则g(x)=/(x+l)-/(x)在R上单调递增，

由于X1>X2，故g(XI)>g(X2)，即/(M+1)-/(XI)>/(X2+I)-/(X2).

即/(xi+1)(X2)>/(xi)+f(X2+1)：

当/(xi+1)4/(x2)>f(XI)+f(X2+1)成立时，即/(Al+1)-f(X|)>f(X2+1)(A2)，

因为g(A)=/(A-+1)-f(x')在R上单调递增，所以用>应，

所以“X1>X2”是“/(X1+1)4/(12)>/(X!)4/(0+1)”的充要条件，①为真命题：

对于②，当y=/(x)在R上为严格增函数时，由对任意x<0,则都有/⑴</(0)成立；

当对任意XV。都有.f(x)</(0)时，假设y=/(x)在R上不为严格增函数，

即/(x)不恒大于等于0,即%，使得/(a)<0,

因为)，=/(x)在R上为严格增函数，所以在(-oo,用时，/(x)<0,

此时/(外在(-8,可上单倜递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，

第9页(共14页)

所以当X趋近于负无穷时，/(X)的值将趋近于正无穷大，

这与对任意XVO都有/(X)</(0)矛盾，

则假设不成立，即“〉，=/("在R上为严格增函数”成立，

即“对任意工<0都有/(x)</(())”是“)，=/(外在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题,

故选：C.

三、解答题(第17・19题每题14分，第20・21题每题18分，共78分)

17.(14分)AABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知Md.

(1)求8

(2)若/?=5,cosC=求C.

【解答】解：(I)-tr=ac-(T变形为：a2+(r-b2=ac,

因此cosB=°~~—=i,由于8E(0,TT),因此B=当；

ZacL3

(2)由于cosC=^,且C€(0,n),因此sEC=—cos2c=彳系,

be5c7Z

根据正弦定理得：—-=-即一J=彳亏,解得：c=

sinBsinCsin-Idl3

31n

I8.(14分)在棱长为4的正方体A8CO-AI8ICIQI中，点P在棱CG上且CCi=4CR

(1)求AP与BG所成角的大小；

(2)求点4到平面APDi的距离.

【解答】解：(1)如图，设M为8。上的点，且8C=4cM,连接PM,AM,GB,且=4企,

又因为CG=4C尸，故且PM=18G=&,则NAPM即为AP与8。所成角,

在△APM中，AP=VCP2+AC2=I24-(4V2)2=V33,AM=y/AB2+BM2=V16+9=5,

AP2+PM2-AM25766

故cosNAPM=

2APPM~66~,

5V66

故所求的角为arccos-

66

第10页(共14页)

iii32

（2）连接A\P,易知V四棱推p_AA[Di=3X2X^X^X^=T,

在△APQI中，D/=JGP2+GQ2=5,AQ=4让，AP=V33,

故cosNDAP=*2=焉故sin/DAP=舞'

S^ApDl=34Di•AP•s\nZD\AP=2741,

11OQ

再设Ai到平面APDi的距离为d,则勿液海一切％=^APDi•d=可x2V41•d二寸,

解得d="四，即4到平面APG的距离为"i.

19.（14分）已知某公司生产某款产品的年固定成本为30万元，每万件产品还需另外投入16万元，设该

公司一年内共生产x万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为RG）万元，且已知R（x）=

（400—6%,0<r<40,10000%GZ

）740040000、gic仁人

---------------5—，x>40,10000%6Z

Ix/

（I）求一年的总利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大？并求出最大总利润.（总

利润=总销售收入-固定成本-额外投入）

【解答】解：（I）由题意，一年的总利润W（万元）关于年产量工（万件）的函数解析式为：

fx（400-6%）-30-16%,0<r<40

W=x/?（x）-30-16x=<740040000.“..

/x（—--------^2-）-30OA-16%,x>40A

-6/+384%-30,0<x<40,10000%eZ

；

=（-16%--4^00^004-7370,x>40,lOOOOxGZ

X

（2）当0VxW40时,W=・67+384x-30=・6（x-32）2+6114,

所以x=32时，Wmax=W（32）=6114：

当x>40时，W=-16%-+7370=-16（%++7370<-16x272500+7370=5770,

人人

当且仅当工=缪5,即X-50时取等号，W„l（lx-W（50）-5770；

第11页（共14页）

因为6114>5770,

故当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大，最大总利润为6114万元.

20.(18分)对于函数/(x),若存在实数〃?，使得/(x+〃力-/(〃])为R上的奇函数，则称/(公是位

差值为〃，的“位差奇函数”.

(1)判断函数/(x)=公+1和g(x)=/是否是位差奇函数，并说明理由；

(2)若/(x)=sin(x+(p)是位差值为TT的位差奇函数，求中的值；

(3)若对于任意相曰1,+8),八幻=#-f・27都是位差值为小的位差奇函数，求实数/的取值范围.

【解答】解：(1)由/(、)=2x+\,

所以-/(/〃)=2(x+M+1-(2/〃+1)=2x为奇函数.

故对于任意机有/(幻=2x+l为位差奇函数.

又g(x)=f,设G(x)=g(x+m)-g(m)=(x+in)2-nr=]?+2mx.

此时G(-x)=(-x)2-2侬=了-2〃tr,

假设存在机，G(A)为奇函数，则，-2/以+/+2/心=0恒成立，即/=0恒成立，矛盾，

故不存在〃?有g(x)=/为位差奇函数.

(2)由/(x)=sin(x+(p)是位差值为IT的位差奇函数，

可得/(x+n)-/(7T)为R上的奇函数.

f(A+K)-f(TC)=sin(x+iH(p)-sin(ir+(p)=-sin(x+甲)+sin(p为奇函数.

HP-sin(x+(p)+sin<p-sin(-,v+(p)+sin(p=O,化简得2sin(p(cos.r-1)=0,

因为对于任意xER恒成立，所以sin(p=0,所以(p=Kr,蛇Z.

(3)h(x)=/(x+W-/'(〃?)=2A+w-r2-rw-=2W(2A-1)-r-2w(2A-1).

由题意/?(x)+h(-x)=0对任意的阳W[l,+°°)均不恒成立.

此时〃(x)+h(-x)=2,n(2V-1)-rl'mC2X-1)+2m(2X-1)-flm(2V-1)=0,

即2'"(2'-1+2*・1)=r*2w(2r-1+2x-1)=2〃'="2'〃对任意的加日1,+8)均不恒成立，故/

=22"'在〃七[1,十8)无解.

又22M222=4,故又4,故任(-8,4).

21.(18分)已知/(x)="-or-1,aER,e是自然对数的底数.

(1)当。=1时，求函数)，=/(%)的单调区间、极值以及对应的极值点：

(2)若关于x的方程/G)+1=0有两个不等实根，求。的取值范围：

(3)当a>0时，若满足/(xi)=f(X2)(Ai<X2)，求证：x\