2025-2026学年江苏省南京市高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.2.已知向量．若，则实数（）A.-4 B.-1 C.1 D.4【答案】B【解析】由，得，得，得，故选：B.3.在正方体中，异面直线与所成的角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】连接．因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角．又,可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，故选：C.4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆.则必有，解可得：.即m的取值范围是.故选：A.5.甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则密码被破译的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】设甲译出密码为事件，则，甲没有译出密码为事件，，设乙译出密码为事件，则，乙没有译出密码为事件，，设密码被破译为事件，则密码未被破译为事件，，，，，.故选：C.6.若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（）A.-1 B. C.1 D.2【答案】C【解析】依题意，直线斜率存在，设直线方程为，与抛物线联立得：，设，，由韦达定理得：，又因为线段中点的横坐标为2，得，所以，故选：C.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】如图所示，由已知得，且，，则.又由双曲线定义可知，即，而，可得，即，解得（舍）或，所以离心率，故选：B.8.若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆关于轴的对称圆为圆，其方程为，根据题意，圆与圆有交点，又圆与圆的圆心距为，要满足题意，只需，解得.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.给定一组数据：1，2，4，4，5，6，6，则这组数据的（）A.中位数为4 B.平均数为5C.方差为 D.60百分位数为4【答案】AC【解析】由题知：中位数为4，故A正确，平均数，故B错误，方差，故C正确，，第60百分位数为5，故D错误.故选：AC.10.已知为锐角，，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A、B，，则，，故A错误，B正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以，由，所以，所以，故D正确.故选：BCD.11.已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（）A.曲线的方程为B.曲线与直线没有公共点C.点到点距离的最小值为D.过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为【答案】ABD【解析】对于A，由，由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支，且，则，，所以，所以曲线C的方程为，故A正确；对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确；对于C，设，则，点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确；对于D，因为，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，所以的周长为.故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.两条直线与间的距离为___________．【答案】【解析】.故答案为：.13.已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________．【答案】【解析】由题知：，则，，则，解得，将代入得到，所以的面积为.故答案为：.14.已知正方体的棱长为2，则以为球心，2为半径的球面与正方体的截面的交线长为___________【答案】【解析】由对称性可知，以为球心，2为半径的球面与棱长为2的正方体的截面的交线为以为直径的半圆，该半圆的半径,因此交线长.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求．解：（1），所以，又，所以.（2），，，，因为，.16.已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为．（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程．解：（1），则的中垂线方程为，，.则圆（2）如图所示：因为，所以在线段的中垂线上，又因为线段的中垂线过，，则，，整理得：17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．（1）证明：平面；（2）若平面，且，求点到平面的距离．（1）证明：取的中点，连结，因为是中点，所以，且，因四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，所以，因此四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）解：作于，由（1）知平面即为平面，因为平面，平面，所以.又因为，，所以平面.因为平面，所以.又因为，，平面，所以平面，所以即为点到平面的距离.因为平面，平面，所以在中，，所以，所以.18.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1．（1）求的方程；（2）设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记．①求的值；②证明：平分．（1）解：当轴时，，代入，可得，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）①解：由（1）知，的方程为,因为在抛物线上，即，所以因为，所以，解得，所以,由的方程为，得令，可得，所以.②证明：记直线与轴交点为，由①可知为的中点.由抛物线的定义可得，在直线中，令，可得于是，所以平分.19.已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点．（1）求的方程；（2）当时，求的方程；（3）设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）由题知：，即：.（2）设直线，，，则，方程的判别式，，，因为，所以，即.解得，即.所以直线或.（3）如图所示：，，令，则，即.，，因为，所以.即为定值2.江苏省南京市2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.2.已知向量．若，则实数（）A.-4 B.-1 C.1 D.4【答案】B【解析】由，得，得，得，故选：B.3.在正方体中，异面直线与所成的角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】连接．因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角．又,可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，故选：C.4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆.则必有，解可得：.即m的取值范围是.故选：A.5.甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则密码被破译的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】设甲译出密码为事件，则，甲没有译出密码为事件，，设乙译出密码为事件，则，乙没有译出密码为事件，，设密码被破译为事件，则密码未被破译为事件，，，，，.故选：C.6.若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（）A.-1 B. C.1 D.2【答案】C【解析】依题意，直线斜率存在，设直线方程为，与抛物线联立得：，设，，由韦达定理得：，又因为线段中点的横坐标为2，得，所以，故选：C.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】如图所示，由已知得，且，，则.又由双曲线定义可知，即，而，可得，即，解得（舍）或，所以离心率，故选：B.8.若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆关于轴的对称圆为圆，其方程为，根据题意，圆与圆有交点，又圆与圆的圆心距为，要满足题意，只需，解得.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.给定一组数据：1，2，4，4，5，6，6，则这组数据的（）A.中位数为4 B.平均数为5C.方差为 D.60百分位数为4【答案】AC【解析】由题知：中位数为4，故A正确，平均数，故B错误，方差，故C正确，，第60百分位数为5，故D错误.故选：AC.10.已知为锐角，，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A、B，，则，，故A错误，B正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以，由，所以，所以，故D正确.故选：BCD.11.已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（）A.曲线的方程为B.曲线与直线没有公共点C.点到点距离的最小值为D.过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为【答案】ABD【解析】对于A，由，由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支，且，则，，所以，所以曲线C的方程为，故A正确；对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确；对于C，设，则，点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确；对于D，因为，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，所以的周长为.故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.两条直线与间的距离为___________．【答案】【解析】.故答案为：.13.已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________．【答案】【解析】由题知：，则，，则，解得，将代入得到，所以的面积为.故答案为：.14.已知正方体的棱长为2，则以为球心，2为半径的球面与正方体的截面的交线长为___________【答案】【解析】由对称性可知，以为球心，2为半径的球面与棱长为2的正方体的截面的交线为以为直径的半圆，该半圆的半径,因此交线长.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求．解：（1），所以，又，所以.（2），，，，因为，.16.已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为．（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程．解：（1），则的中垂线方程为，，.则圆（2）如图所示：因为，所以在线段的中垂线上，又因为线段的中垂线过，，则，，整理得：17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．（1）证明：平面；（2）若平面，且，求点到平面的距离．（1）证明：取的中点，连结，因为是中点，所以，且，因四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，所以，因此四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）解：作于，由（1）知平面即为平面，因为平面，平面，所以.又因为，，所以平面.因为平面，所以.又因为，，平面，所以平面，所以即为点到平面的距离.因为平面，平面，所以在中，，所以，所以.18.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1．（1）求的方程；（2）设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记．①求的值；②证明：平分．（1）解：当轴时，，代入，可得，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）①解：由（1）知，的方程为,因为在抛物线上，即，所以