2025-2026学年浙江省台州十校联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省台州十校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直线过，两点，可得不存在，所以直线方程为，倾斜角为.故选：C.2.已知圆C的方程为，则圆C的半径为（）A. B.2 C. D.8【答案】C【解析】由圆C的半径得，所以圆C的半径为，故选：C3.如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为在平行六面体中，是的中点，所以.故选：A.4.圆和圆的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.内切 D.内含【答案】B【解析】由的圆心为，半径为，由的圆心为，半径为3，所以圆心距为，即两圆外切.故选：B5.平面四边形中，若，则实数组可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由四点共面，且它们构成平面四边形，由共面向量定理的推论得，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：A.6.经过两点的直线的一个方向向量为，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由条件可得，解得.故选：D.7.下列说法中，错误的是（）A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B.点关于直线的对称点为C.直线经过定点D.经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程只有【答案】D【解析】对于A，直线与两坐标轴交于，，所以围成的三角形面积为，故A正确；对于B，点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；对于C，令，解得，可得直线经过定点，故C正确；对于D，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为，故D错误.故选：D.8.若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】曲线即，即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分，直线即恒过定点，作出直线与半圆的图象，如图，考查临界情况：当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点，当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且，即，解得：，舍去）．据此可得，实数的取值范围是．故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为10 B.椭圆的一个顶点为C.椭圆的焦距为8 D.椭圆的离心率为【答案】ACD【解析】由题意可得，对于A，椭圆的长轴长为10，故A正确；对于B，椭圆的顶点为或，故B错误；对于C，椭圆的焦距为8，故C正确；对于D，椭圆的离心率为，故D正确.故选：ACD.10.给出以下命题，其中正确的是（）A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直B.直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C.平面的法向量分别为，则D.平面经过三个点，向量是平面的法向量，则【答案】AD【解析】对于A，，则，所以l与m垂直，故A正确；对于B，，则，所以或，故B错误；对于C，若，则，此方程组无解，所以不成立，故C错误；对于D，，，因为向量是平面的法向量，所以，得，，，故D正确.故选AD11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（）A.满足平面的点的轨迹长度为B.满足的点的轨迹长度为C.存在唯一的点满足D.存在点满足【答案】ABC【解析】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，由正方体的性质知，平面，平面.所以平面，同理平面，，平面，所以平面平面，又平面，平面，故点的轨迹为线段，故A正确；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，设且，，，，，对于B，，即，又，，则点的轨迹为线段，，且，故B正确；对于C，，显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确；对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，故，故不存在点满足，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行线和的距离为_____.【答案】【解析】两条平行线和间的距离为.故答案为：.13.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________.【答案】【解析】由已知，，则，则，故答案为：.14.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是________．【答案】【解析】根据题意设椭圆的标准方程为，如图所示则有，直线方程为，代入方程可得，所以，又，所以，即，整理可得；所以，即，即可得椭圆的离心率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.15.已知的三个顶点，，，求：（1）边所在直线的方程；（2）过点且与直线平行的直线方程；（3）过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）边所在直线的方程为，即.（2）设与直线平行的直线方程为，因为直线过点，所以，所以过点且与直线平行的直线方程为.（3）与直线垂直的直线的斜率为，因为直线过点，所以，即.16.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是，的中点，若，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：取中点，连接，分别为中点，，；四边形为矩形，为中点，，；且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）解：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；，即直线与平面所成角的正弦值为.17.在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线轨迹方程；（2）若直线与曲线交于A，B两点，求；解：（1）设，因为，满足，即，即，整理得，所以曲线的轨迹方程为.（2）圆心到直线的距离，所以.18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，．（1）求证：；（2）求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值；（3）线段上EC上是否存在点，使平面平面BDF？若存在，求出的值.若不存在，请说明理由．（1）证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为，又，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）解：由（1）可得，，又，如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量,,，因为，则，令，则，所以,,．设平面与平面所成角的大小为，则．所以平面与平面所角的余弦值是．（3）解：设，由（1）得，则，又，设平面的一个法向量为，则，当时，与重合，则平面即为平面，易知平面与平面不垂直，故不符合题意。当时，令，则，故平面的一个法向量为若平面平面，则，即，解得，故，即.故线段上上存在点，使平面平面，且.19.已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为.（1）求椭圆标准方程；（2）如图，已知、是椭圆上的两点，且满足，求面积的最大值.解：（1）由椭圆的定义得，所以，因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程得，，设、，则，，由，得，得，所以，即，即，所以或.原点到直线的距离为，①当时，则，此时，当且仅当，即时等号成立；②当时，，此时；当直线的斜率不存在时，设，则，由，得，又，所以，.不妨取，，则.综上可知，面积的最大值是.浙江省台州十校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直线过，两点，可得不存在，所以直线方程为，倾斜角为.故选：C.2.已知圆C的方程为，则圆C的半径为（）A. B.2 C. D.8【答案】C【解析】由圆C的半径得，所以圆C的半径为，故选：C3.如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为在平行六面体中，是的中点，所以.故选：A.4.圆和圆的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.内切 D.内含【答案】B【解析】由的圆心为，半径为，由的圆心为，半径为3，所以圆心距为，即两圆外切.故选：B5.平面四边形中，若，则实数组可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由四点共面，且它们构成平面四边形，由共面向量定理的推论得，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：A.6.经过两点的直线的一个方向向量为，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由条件可得，解得.故选：D.7.下列说法中，错误的是（）A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B.点关于直线的对称点为C.直线经过定点D.经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程只有【答案】D【解析】对于A，直线与两坐标轴交于，，所以围成的三角形面积为，故A正确；对于B，点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；对于C，令，解得，可得直线经过定点，故C正确；对于D，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为，故D错误.故选：D.8.若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】曲线即，即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分，直线即恒过定点，作出直线与半圆的图象，如图，考查临界情况：当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点，当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且，即，解得：，舍去）．据此可得，实数的取值范围是．故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为10 B.椭圆的一个顶点为C.椭圆的焦距为8 D.椭圆的离心率为【答案】ACD【解析】由题意可得，对于A，椭圆的长轴长为10，故A正确；对于B，椭圆的顶点为或，故B错误；对于C，椭圆的焦距为8，故C正确；对于D，椭圆的离心率为，故D正确.故选：ACD.10.给出以下命题，其中正确的是（）A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直B.直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C.平面的法向量分别为，则D.平面经过三个点，向量是平面的法向量，则【答案】AD【解析】对于A，，则，所以l与m垂直，故A正确；对于B，，则，所以或，故B错误；对于C，若，则，此方程组无解，所以不成立，故C错误；对于D，，，因为向量是平面的法向量，所以，得，，，故D正确.故选AD11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（）A.满足平面的点的轨迹长度为B.满足的点的轨迹长度为C.存在唯一的点满足D.存在点满足【答案】ABC【解析】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，由正方体的性质知，平面，平面.所以平面，同理平面，，平面，所以平面平面，又平面，平面，故点的轨迹为线段，故A正确；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，设且，，，，，对于B，，即，又，，则点的轨迹为线段，，且，故B正确；对于C，，显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确；对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，故，故不存在点满足，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行线和的距离为_____.【答案】【解析】两条平行线和间的距离为.故答案为：.13.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________.【答案】【解析】由已知，，则，则，故答案为：.14.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是________．【答案】【解析】根据题意设椭圆的标准方程为，如图所示则有，直线方程为，代入方程可得，所以，又，所以，即，整理可得；所以，即，即可得椭圆的离心率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.15.已知的三个顶点，，，求：（1）边所在直线的方程；（2）过点且与直线平行的直线方程；（3）过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）边所在直线的方程为，即.（2）设与直线平行的直线方程为，因为直线过点，所以，所以过点且与直线平行的直线方程为.（3）与直线垂直的直线的斜率为，因为直线过点，所以，即.16.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是，的中点，若，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：取中点，连接，分别为中点，，；四边形为矩形，为中点，，；且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）解：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；，即直线与平面所成角的正弦值为.17.在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线轨迹方程；（2）若直线与曲线交于A，B两点，求；解：（1）设，因为，满足，即，即，整理得，所以曲线的轨迹方程为.（2）圆心到直线的距离，所以.18.如图