广西钦州市第三中学2026届高三下学期第一次诊断考试数学试题含解析

广西钦州市第三中学2026届高三下学期第一次诊断考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数且的图象是（）A． B．C． D．2．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．4．设等差数列的前项和为，若，则（）A．23 B．25 C．28 D．295．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A． B． C． D．7．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．9．若θ是第二象限角且sinθ=，则=A． B． C． D．10．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（）．A．1 B．1 C．3 D．411．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．已知实数满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量服从正态分布，，则__________．14．已知，则满足的的取值范围为_______．15．若，则____.16．在中，，，，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设为实数,在极坐标系中,已知圆（）与直线相切,求的值．18．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.19．（12分）记为数列的前项和，已知，等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.20．（12分）对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)21．（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．22．（10分）已知正项数列的前项和.（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值；（2）设正项数列的前项和为，若，且.①求数列的通项公式；②求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.【详解】由题可知定义域为，，是偶函数，关于轴对称，排除C，D.又，，在必有零点，排除A.故选：B.本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.2．D【解析】

通过列举法可求解，如两角分别为时【详解】当时，，但，故充分条件推不出；当时，，但，故必要条件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题3．C【解析】

分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解.【详解】解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以=，所以当时，的最小值为.故选：C.本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.4．D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【详解】解：是等差数列，又，公差为，，故选：D考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.5．C【解析】

根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；若，，平面可能相交，故②错误；若，，则可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，④正确；故选：C本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.6．C【解析】

根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.此时输出.故选：C.本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.7．A【解析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称，则，解得，故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.8．D【解析】

与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．【详解】，，又，∴，即，∴．故选：D.本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．9．B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．10．C【解析】

由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形：若为的外心，则，平面,可得,即，①正确;若为等边三角形，，又可得平面，即,由可得，矛盾，②错误;若，设与平面所成角为可得，设到平面的距离为由可得即有，当且仅当取等号.可得的最大值为，即的范围为，③正确；取中点，的中点，连接由中位线定理可得平面平面可得在线段上，而，可得④正确；所以正确的是：①③④故选：C此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.11．B【解析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为,故选：B本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.12．B【解析】

作出约束条件的可行域，在可行域内求的最小值即为的最小值，作，平移直线即可求解.【详解】作出实数满足不等式组的可行域，如图（阴影部分）令，则，作出，平移直线，当直线经过点时，截距最小，故，即的最小值为.故选：B本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．0.22.【解析】

正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．14．【解析】

将f（x）写成分段函数形式，分析得f（x）为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.【详解】根据题意，f（x）＝x|x|＝，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；故答案为：[，+∞）．本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性与单调性．15．【解析】

由，得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.16．1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【详解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案为：1．本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【解析】

将圆和直线化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.【详解】解:将圆化成普通方程为,整理得．将直线化成普通方程为．因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即解得．本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.18．（1）（2）【解析】

（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得，即，再根据“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值.【详解】（1）当时，，即，无解；当时，，即，得；当时，，即，得.故所求不等式的解集为.（2）因为，所以，则，.当且仅当即时取等号.故的最小值为.本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．（1）（2）当时，；当时，.【解析】

（1）利用数列与的关系，求得；（2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比数列的前项和公式求出.【详解】（1）当时，，当时，，因为适合上式，所以.（2）由（1）得，，设等比数列的公比为，则，解得，当时，，当时，.本题主要考查数列与的关系、等比数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考查运算求解能力..20．(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，【解析】

(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.(Ⅲ)讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，根据对应关系得到，再计算，，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；当为奇数时，时，最大为；综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，故.综上所述：.当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，故；当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.综上所述：使成立的为：或.本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．（1）（2）【解析】

（1）求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间上的定积分．（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出，然后再整体代入可得；【详解】解：（1）联立解得，，所以曲线和曲线围成的图形面积．（2）∴本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22．（1）；（2）①；②详见解析.【解析】

（1）依题意可表示，，相减得，由等比数列通项公式转化为首项与公比，解得答案，并由其都是正项数列舍根；（2）①由题意可表示，，两式相减得，由其都是正项并整理可得递推关系，由等差数列的通项公式即可得答案；②由已知关系，表示并相减即可表示递推关系，显然当时，成立，当