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文档简介
第6章三角单元测评卷
建议用时:120分钟,满分:150分
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.某扇形的弧所对的圆心角为,且半径等于5,则其面积为.
∘
【答案】54
15π
4
【分析】根据已知求出圆心角的弧度,再由扇形面积公式求面积.
【详解】由题设,圆心角为,
π3π
180°×54°=10
所以扇形面积为.
13π215π
2×10×5=4
故答案为:
15π
4
2.已知在第二象限,则的值为.
8
cos�=−17,�tan�
【答案】
15
8
【分析】根−据给定条件,利用同角公式求解.
【详解】由在第二象限,得,
828215
cos�=−17,�sin�=1−cos�=1−(−17)=17
所以.
sin�15
tan�=cos�=−8
故答案为:.
15
−8
3.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.则B的值为.
【答案△】𝐴�3�cos�=�sin�
π
3
【分析】由正弦定理及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】∵,
∴由正弦定理3得�cos�=�sin�,
又,故3sin�cos�=s,in�sin�
∴sin�≠0,3cos�=sin�
∵tan�=3,
∴0<�,<π
π
�=3
故答案为:
π
3
4.已知,则.
1
cos�=5cosπ+�=
【答案】/
1
5
【分析】运−用−两0.角2和的余弦公式展开并代入的值即可.
【详解】cosπ+�cos.�
1
cosπ+�=cosπcos�−sinπsin�=−cos�=−5
故答案为:.
1
5
5.若方程−的两根为与,则.
2
【答案】3�/+5�−7=0tan�tan�tan�+�=
1
2
【分析】应−用−根0.与5系数关系及和角正切公式求值即可.
【详解】由题设,,,
57
tan�+tan�=−3tan�tan�=−3
所以5.
tan�+tan�−31
7
tan�+�=1−tan�tan�=1+3=−2
故答案为:
1
−2
6.函数的最大值为.
ππ
【答案】�(�)=2sin(3+4�)+sin(4�−6)
【分析】根5据两角差的正弦公式,化简得到,即可求解.
π
��=5sin4�+3−�
【详解】由
πππππ
�(�)=2sin(3+4�)+sin(4�−6)=2sin4�+3−cos4�−6+2
其中
πππ1
=2sin+4�−cos4�+=5sin4�+−�,����=,
当33时,即32
πππ��π
所以4�+3的−最�大=值2+为2:�π,�∈Z�=24+4+2,�∈Z,
故答案��为:5.
7.在中5.,内角、、所对的边分别为、、,,,则当取得最大值时,
1
△𝐴�������cos�=4�=8�+�sin�=
【答案】
10
【分析】由4余弦定理求出的最大值及等号成立的条件,再结合诱导公式和半角公式求出.
【详解】中,�+�,,sin�
1
由余弦定理△𝐴�cos�=4�=,8
222
�=�+�−2��cos�
得,
2212525232
64=�+�−2��=�+�−2��≥�+�−8�+�=8�+�
所以,当且仅当时,等号成立,
16686
此时�+�≤为等3腰三角形,�=�.=3
由△𝐴�,有�,=�
π−�
�+�+�=π�=2
所以1.
π−��1+cos�1+4510
sin�=sin2=cos2=2=2=8=4
故答案为:.
10
8.已知4,若,则.
【答案】�∈/0.�4tan�+cot�=5sin2�=
2
5
【分析】根据已知,应用商数关系及平方关系可得,再应用二倍角正弦公式求函数值.
1
sin�cos�=5
【详解】由,
22
sin�cos�sin�+cos�1
tan�+cot�=cos�+sin�=sin�cos�=sin�cos�=5
所以,则.
12
sin�cos�=5sin2�=2sin�cos�=5
故答案为:
2
5
9.如图,自动卸货汽车采用液压机构.已知车厢的最大仰角为,油泵顶点与车厢支点之间的距离为
∘
,的长为,与过的水平线交于点,的长为60.则与�水平线之间�的夹角的大小
1为.95m��.1(.4以m角度��制表示�,精确到)���1.75m𝐴�
∘
0.01
【答案】
∘
【分析】首6.3先9在中求和,再在中,根据正弦定理,即可求解.
【详解】中△,��根�据余弦��定理∠���△𝐴�,
2221
△�����=1.4+1.75−2×1.4×1.75×2=2.5725
,则,
22
1.75+2.5725−1.4∘
cos∠���=2×1.75×2.5725≈0.6547∠���≈49
中,根据余弦定理,即,得,
𝐴��1.951.75
∘
sin∠�𝐴sin�sin131sin�
则△𝐴�,所以=.=sin�≈0.6763
∘∘∘∘
�≈42.61�≈49−42.61=6.39
故答案为:
∘
10.已知6.39,若,,则的值为.
π5ππ45π5
�,�∈3,6sin�+6=5cos�−6=13sin�−�
【答案】
16
65
【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得,,再根据两角差的正弦公式求值
π5π
66
即可.cos�+sin�−
【详解】因为,所以,
π5ππππ5π
�,�∈3,62<�+6<π,−2<�−6<0
因为,,
π45π5
sin�+6=5cos�−6=13
所以,
2
π2π435π25π
cos�+6=−1−sin�+6=−1−5=−5sin�−6=−1−cos�−6=−
,
5212
所1以−13=−13
π5π
sin�−�=−sin�−�+π=−sin�+6−�−6
π5ππ5π
=cos�+sin�−−sin�+cos�−
66.66
3124516
=−5×−13−5×13=65
故答案为:
16
65
11.已知三角形ABC为等腰三角形,其中,,在AB、AC上分别取D、E两点,若
沿线段DE折叠该三角形时,顶点A恰好落�在�=边�B�C=上2.则线��段=A2D3的长度的最小值为.
【答案】
【分析】设3−1,求出、、关于所设参数的表达式,在中应用正弦定理求,
再根据的取∠�值�范�=围�求,�最�值=.�∠�������△�����
【详解】�设落在边BC的处,则两点关于折线对称,连接,
���,�𝐷��
由于,,则1,
2��3
𝐴=��=2��=23cos∠𝐴�=𝐴=2
,进而可得,
π2π
∵∠𝐴�∈0,π,∴∠𝐴�=6∠���=3
设,
π5π
则∠���=∠�,��=�,�∈4,,12,��=�,�.∈0,2
在∠���=中2,���=��=���=2−�.
5π
△𝐴�∠�𝐴=π−∠𝐴�−∠���=6−�
在中,,
5π
由正△弦��定�理知:∠���=∠�𝐴−∠,�即��=6−2�,
����2−��
5ππ
sin∠���=sin∠𝐴�sin6−2�=sin6
所以,即,
2−�5π25π
�=2sin6−2��=1+2sin6−2�
由于,则,
π5π5ππ
�∈4,126−2�∈0,3
故当,即时,此时取到最大值,
5ππ5π35π
6−2�=3sin6−2�=21+2sin6−2�1+3
故取到最大值,进而取最小值
2
�1+3�3−1
故答案为:.
12.若对任意3的−1,存在,满足不等式,则实数的取值范围是.
π11
22
【答案】�∈R�∈0,2|�+1|+|�−�|≥sin�+cos��
【分析】求−出∞,−5∪3,的+最∞大值后结合绝对值不等式可得关于的不等式,故可求其范围.
11
22
sin�+cos��
【详解】
22,
11sin�+cos�4
22222
sin�+cos�=sin�cos�=sin2�
因为,则,故,当且仅当时等号成立,
ππ
�∈0,22�∈0,πsin2�≤1�=4
故的最大值为,故,
4
2
而sin2�4|�+1|+|�−�|≥4,
当且|�仅+当1|+|�−�|≥�+1−时�等+号�成=立,1+故�,
故或�+1�,+�≤01+�≥4
故答�≥案3为:�≤−5
二、选择题−(∞本,−大5题∪共3,有+∞4题,满分18分,第13、14每题4分,15、16每题5分).
13.下列命题中,正确的是()
A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B.若是第一象限的角,则也是第一象限的角
π
�2−�
C.若两个角的终边重合,则这两个角相等
D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关
【答案】B
【分析】由角度制和弧度制的定义,象限角的概念,判断各选项的正误.
【详解】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角,A选项错误;
若是第一象限的角,则是第四象限的角,所以是第一象限的角,B选项正确;
π
�−�−�+2
当,时,与终边重合,但两个角不相等,C选项错误;
∘∘
不论�=是3用0角度�制=还39是0弧度制�度�量角,由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关,D选项错
误.
故选:B
14.在中,内角满足,则的形状为()
A.△直�角��三角形�,�,�2sin�cos�=B.sin等�腰三角△形𝐴�
C.等腰直角三角形D.正三角形
【答案】B
【分析】根据得到,求出,得到三角形形状.
【详解】sin�=sin�+�sin�−�=0�=�,
故2sin�cos�=sin�=,s即in�+�=sin�c,os�+cos�sin�
因为sin�cos�−co,s�所si以n�=0,sin�−�=0
故�,�∈为等0,腰π三角形.�=�
故选△:𝐴B�
15.若,,则()
12
cos�cos�+sin�sin�=2sin2�+sin2�=3sin(�+�)=
A.B.
22
3−3
C.D.
11
33
【答案】A−
【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得,再利用和差化积公式得
1
cos(�−�)=22sin(�+�)cos(�−�)=
,最后代入计算即可.
2
3
【详解】因为,
1
cos�cos�+sin�sin�=2
所以,因为,
12
cos(�−�)=2sin2�+sin2�=3
所以,
2
2sin(�+�)cos(�−�)=3
所以,所以,
122
233
故选:2sAin.(�+�)⋅=sin(�+�)=
16.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄
金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底
与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是
顶角为的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组3成6°,如图所示,在其中一个
黄金108°中,.根据这些信息,可得()
��5−1
△𝐴���=2sin2034°=
A.B.C.D.
1−253+55+14+5
【答案】C4−8−4−8
【分析】先求出,,再根据二倍角余弦公式求出,然后根据诱导公式求
5−1
出.∠�𝐴=72°cos∠�𝐴=4cos36°
sin2034°
【详解】由题意可得:,且1,
2��5−1
∠�𝐴=72°cos∠�𝐴=��=4
,解得:2,
22
∘2∘5−12∘5+35+2×5×1+15+1
cos72=2cos36−1=4cos36=8=16=4
所以(负值不符合题意舍去),
∘5+1
cos36=4
.
5+1
故sin选20:34C°=sin(2160°−126°)=sin−126°=−sin126°=−sin90°+36°=−cos36°=−4
三、解答题(本大题共5题,第17-19题每题14分,第20-21题每题18分,共78分).
17.(14分)已知.求:
sin�+cos�
sin�−cos�
(1)的值;=−3
(2)t求an�的值.
22
sin�+3sin�cos�−2cos�
【答案】(1)
1
2
(2)
1
5
【分−析】(1)根据同角三角函数的关系求解即可;
(2)根据结合同角三角函数的关系求解即可.
22
【详解】(1si)n显�+然cos�=1,故则,解得.(6分)
sin�+cos�tan�+11
cos�≠0sin�−cos�=−3tan�−1=−3tan�=2
()
2222
sin�+3sin�cos�−2cos�tan�+3tan�−2
22222
sin�+3sin�cos�−2cos�=sin�+cos�=tan�+1
1211(8分)
2+3×2−2−41
125
5
=2+1=4=−
18.(14分)已知α为第三象限角,π3.
sin�−2cos2π+�tanπ−�
(1)化简;��=tan−�−πsin−�−π
(2)若��,求的值.
31
25
【答案co】s(1�)−π=;�2�
(2).��=−cos�
23
25
【分−析】(1)根据诱导公式化简即可;
(2)由诱导公式可求,再由二倍角的余弦公式求解.
sin�
【详解】(1)π3
sin�−2cos2π+�tanπ−�
��=tan−�−πsin−�−π
.(7分)
−cos�sin�−tan�
=−tan�sin�=−cos�
(2),则.
311
cos�−2π=−sin�=5sin�=−5
所以.(7分)
2
2123
19.(�124�分)=−已c知os2�=2的sin内�角−1=2所×对边−的5长−度1分=别−为25.
(1)若△𝐴�,求�,和�,�外接圆半径的值�,;�,�
4
5
(2)若�=5,�=6,cos�=−,求�△的�值�.��
【答案3】�−(1)�cos�,=�cos�sin�
π
�=6�=5
(2)
22
【分sin析�】=(13)首先求出,再由正弦定理计算可得;
sin�
(2)利用正弦定理将边化角,再由两角和的正弦公式及诱导公式求出,即可得解.
【详解】(1)因为,则,且c.os�
4π23
由正弦定理得cos�=−5(为�∈2,π外接圆的sin半�径=),1即−cos�=5,
��56
3
sin�=sin�=2��△𝐴�sin�=5=2�
即,,
1
sin�=2�=5
因为,所以,
π
�<��∈0,2
因此,;(7分)
π
�=6�=5
(2)因为,
由正弦定理3可�得−�cos�=�cos�,
所以3sin�cos�−sin�cos�=sin�cos�,
又3sin�c,os所�=以sin�cos�,+所sin以�cos�=sin,�则+�=sin�,
1
�∈0,πsin�>03cos�=1cos�=3
又,所以.(7分)
222
20.�(∈180,分π)吴淞口si灯n�塔=采1−用c世os界�先=进3的北斗卫星导航遥测遥控系统,某校数学建模小组测量其高度
(单位:,如示意图,�垂�直放置的标杆的高度,使,,在同一直线上,也在同一水平面上�,
仰角m),.(本题的距离�精�确到ℎ=3m���
∠𝐴�=�∠�𝐷=�0.1m)
(1)该小组测得、的一组值为,,请据此计算的值;
(2)该小组分析若�干�测得的数据�后=,5认1.8为3°适当�调=整47标.3杆3°到灯塔的距离�(单位:,使与之差较大,可以
提高测量精确度.若灯塔的实际高度为,试问为多少时,�最大?m)��
【答案】(1)20.1m��−�
(2)�≈20.4
【分�析≈】1(8.51)根据题目所给数据,解直角三角形并利用建立方程即可求解;
(2)由两角差的正切公式,结合均值不等式求出��−的�最�=值�,�再根据角的范围即可求得何时有
tan(�−�)�−�
最大值.
【详解】(1)由可得:,
��
��△�𝐷��=tan�⇒��=tan�
同理可得,
�ℎ
因为𝐴=tan�,,��=tan�
所以��−𝐴=𝐴,
��ℎ
tan�−tan�=tan�
可得.(8分)
ℎtan�
�=tan�−tan�≈20.4�
(2)由题意可得,
则�=𝐴,
��ℎ�−ℎ
tan�=�,tan�=��=𝐴=�
所以��−ℎ,
tan�−tan��−�ℎ�ℎ
��−ℎ2�(�−ℎ)
tan(�−�)=1+tan�⋅tan�=1+�⋅�=�+�(�−ℎ)=�+�
而,
�(�−ℎ)
当且�+仅当�≥2�(�−ℎ)时等号成立,
故当�=时�,(�−ℎ)=取20最.1大×值(2,0.1−3)≈18.5
因为�=18.5ta,n所(�以−�),
��
0<�<�<20<�−�<2
所以时,最大.(10分)
21.(�1=8分18).5在△A�B−C�中,a,b,c分别是角A,B,C的对边.
(1)若,求A的大小;
(2)若�BcCos边�上+的2�高+等�于co,s�且=0,求的取值范围;
����
20<�<2�+�
(3)求实数t的取值范围,使得对任意实数x和任意角A(),恒有
�2
0<�≤2�+3+2sin�cos�+�+�sin�+
.
21
�cos�≥32
【答案】(1)
2π
�=3
(2)
(3)(2,22]
13
(−∞,7]∪[4,+∞)
【分析】(1)由正弦定理边化角可得,可求;
1
cos�=−2�
(2)由三角形面积公式和余弦定理可得,进而可得,利用
22��
辅助角公式可求最大值;�+�=2��(sin�+cos�)�+�=2sin�+2cos�
(3)利用二次函数的最小值可得,进而转化为
12
�(�)min=2[(3+2sin�cos�)−(�sin�+�cos�)](3+
①或②,利用基本不等式与对勾
11
44
函2si数n�的co最s�值)可−求(�s实in数�+的�取cos值�范)≥围.(3+2sin�cos�)−(�sin�+�cos�)≤−
【详解】(1)因为�,
所以由正弦定理可得�cos�+2�+�cos�=0,
整理得sin�cos�+2s,in即�+sin�cos�=0,
因为sin(�+,�)+2sin�,cos�=0sin�+2sin�cos�=0
所以�∈(0,π),si因n�为≠0,所以;(4分)
12π
cos�=−2�∈(0,π)�=3
(2)因为边上的高等于,
�
��2
由三角形面积公式得,即,
1112
又由余弦定理可得2�×2�=2��sin�,�=2��sin�,
22222
从而有�=�+�−2,��cos�2��sin�=�+�−2��cos�
22
所以�+�=2��(sin�+cos�),
��π
�+�=2sin�+2cos�=22sin(�+4)
因为,所以,所以,
�ππ3π2π
0<�<24<�+4<42<sin(�+4)≤1
,所以的取值范围为.(6分)
π��
2<22sin(�+4)≤22�+�(2,22]
(3)令
22
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