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第6章三角单元测评卷

建议用时:120分钟,满分:150分

一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)

1.某扇形的弧所对的圆心角为,且半径等于5,则其面积为.

【答案】54

15π

4

【分析】根据已知求出圆心角的弧度,再由扇形面积公式求面积.

【详解】由题设,圆心角为,

π3π

180°×54°=10

所以扇形面积为.

13π215π

2×10×5=4

故答案为:

15π

4

2.已知在第二象限,则的值为.

8

cos�=−17,�tan�

【答案】

15

8

【分析】根−据给定条件,利用同角公式求解.

【详解】由在第二象限,得,

828215

cos�=−17,�sin�=1−cos�=1−(−17)=17

所以.

sin�15

tan�=cos�=−8

故答案为:.

15

−8

3.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.则B的值为.

【答案△】𝐴�3�cos�=�sin�

π

3

【分析】由正弦定理及同角三角函数的基本关系得解.

【详解】∵,

∴由正弦定理3得�cos�=�sin�,

又,故3sin�cos�=s,in�sin�

∴sin�≠0,3cos�=sin�

∵tan�=3,

∴0<�,<π

π

�=3

故答案为:

π

3

4.已知,则.

1

cos�=5cosπ+�=

【答案】/

1

5

【分析】运−用−两0.角2和的余弦公式展开并代入的值即可.

【详解】cosπ+�cos.�

1

cosπ+�=cosπcos�−sinπsin�=−cos�=−5

故答案为:.

1

5

5.若方程−的两根为与,则.

2

【答案】3�/+5�−7=0tan�tan�tan�+�=

1

2

【分析】应−用−根0.与5系数关系及和角正切公式求值即可.

【详解】由题设,,,

57

tan�+tan�=−3tan�tan�=−3

所以5.

tan�+tan�−31

7

tan�+�=1−tan�tan�=1+3=−2

故答案为:

1

−2

6.函数的最大值为.

ππ

【答案】�(�)=2sin(3+4�)+sin(4�−6)

【分析】根5据两角差的正弦公式,化简得到,即可求解.

π

��=5sin4�+3−�

【详解】由

πππππ

�(�)=2sin(3+4�)+sin(4�−6)=2sin4�+3−cos4�−6+2

其中

πππ1

=2sin+4�−cos4�+=5sin4�+−�,����=,

当33时,即32

πππ��π

所以4�+3的−最�大=值2+为2:�π,�∈Z�=24+4+2,�∈Z,

故答案��为:5.

7.在中5.,内角、、所对的边分别为、、,,,则当取得最大值时,

1

△𝐴�������cos�=4�=8�+�sin�=

【答案】

10

【分析】由4余弦定理求出的最大值及等号成立的条件,再结合诱导公式和半角公式求出.

【详解】中,�+�,,sin�

1

由余弦定理△𝐴�cos�=4�=,8

222

�=�+�−2��cos�

得,

2212525232

64=�+�−2��=�+�−2��≥�+�−8�+�=8�+�

所以,当且仅当时,等号成立,

16686

此时�+�≤为等3腰三角形,�=�.=3

由△𝐴�,有�,=�

π−�

�+�+�=π�=2

所以1.

π−��1+cos�1+4510

sin�=sin2=cos2=2=2=8=4

故答案为:.

10

8.已知4,若,则.

【答案】�∈/0.�4tan�+cot�=5sin2�=

2

5

【分析】根据已知,应用商数关系及平方关系可得,再应用二倍角正弦公式求函数值.

1

sin�cos�=5

【详解】由,

22

sin�cos�sin�+cos�1

tan�+cot�=cos�+sin�=sin�cos�=sin�cos�=5

所以,则.

12

sin�cos�=5sin2�=2sin�cos�=5

故答案为:

2

5

9.如图,自动卸货汽车采用液压机构.已知车厢的最大仰角为,油泵顶点与车厢支点之间的距离为

,的长为,与过的水平线交于点,的长为60.则与�水平线之间�的夹角的大小

1为.95m��.1(.4以m角度��制表示�,精确到)���1.75m𝐴�

0.01

【答案】

【分析】首6.3先9在中求和,再在中,根据正弦定理,即可求解.

【详解】中△,��根�据余弦��定理∠���△𝐴�,

2221

△�����=1.4+1.75−2×1.4×1.75×2=2.5725

,则,

22

1.75+2.5725−1.4∘

cos∠���=2×1.75×2.5725≈0.6547∠���≈49

中,根据余弦定理,即,得,

𝐴��1.951.75

sin∠�𝐴sin�sin131sin�

则△𝐴�,所以=.=sin�≈0.6763

∘∘∘∘

�≈42.61�≈49−42.61=6.39

故答案为:

10.已知6.39,若,,则的值为.

π5ππ45π5

�,�∈3,6sin�+6=5cos�−6=13sin�−�

【答案】

16

65

【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得,,再根据两角差的正弦公式求值

π5π

66

即可.cos�+sin�−

【详解】因为,所以,

π5ππππ5π

�,�∈3,62<�+6<π,−2<�−6<0

因为,,

π45π5

sin�+6=5cos�−6=13

所以,

2

π2π435π25π

cos�+6=−1−sin�+6=−1−5=−5sin�−6=−1−cos�−6=−

5212

所1以−13=−13

π5π

sin�−�=−sin�−�+π=−sin�+6−�−6

π5ππ5π

=cos�+sin�−−sin�+cos�−

66.66

3124516

=−5×−13−5×13=65

故答案为:

16

65

11.已知三角形ABC为等腰三角形,其中,,在AB、AC上分别取D、E两点,若

沿线段DE折叠该三角形时,顶点A恰好落�在�=边�B�C=上2.则线��段=A2D3的长度的最小值为.

【答案】

【分析】设3−1,求出、、关于所设参数的表达式,在中应用正弦定理求,

再根据的取∠�值�范�=围�求,�最�值=.�∠�������△�����

【详解】�设落在边BC的处,则两点关于折线对称,连接,

���,�𝐷��

由于,,则1,

2��3

𝐴=��=2��=23cos∠𝐴�=𝐴=2

,进而可得,

π2π

∵∠𝐴�∈0,π,∴∠𝐴�=6∠���=3

设,

π5π

则∠���=∠�,��=�,�∈4,,12,��=�,�.∈0,2

在∠���=中2,���=��=���=2−�.

△𝐴�∠�𝐴=π−∠𝐴�−∠���=6−�

在中,,

由正△弦��定�理知:∠���=∠�𝐴−∠,�即��=6−2�,

����2−��

5ππ

sin∠���=sin∠𝐴�sin6−2�=sin6

所以,即,

2−�5π25π

�=2sin6−2��=1+2sin6−2�

由于,则,

π5π5ππ

�∈4,126−2�∈0,3

故当,即时,此时取到最大值,

5ππ5π35π

6−2�=3sin6−2�=21+2sin6−2�1+3

故取到最大值,进而取最小值

2

�1+3�3−1

故答案为:.

12.若对任意3的−1,存在,满足不等式,则实数的取值范围是.

π11

22

【答案】�∈R�∈0,2|�+1|+|�−�|≥sin�+cos��

【分析】求−出∞,−5∪3,的+最∞大值后结合绝对值不等式可得关于的不等式,故可求其范围.

11

22

sin�+cos��

【详解】

22,

11sin�+cos�4

22222

sin�+cos�=sin�cos�=sin2�

因为,则,故,当且仅当时等号成立,

ππ

�∈0,22�∈0,πsin2�≤1�=4

故的最大值为,故,

4

2

而sin2�4|�+1|+|�−�|≥4,

当且|�仅+当1|+|�−�|≥�+1−时�等+号�成=立,1+故�,

故或�+1�,+�≤01+�≥4

故答�≥案3为:�≤−5

二、选择题−(∞本,−大5题∪共3,有+∞4题,满分18分,第13、14每题4分,15、16每题5分).

13.下列命题中,正确的是()

A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角

B.若是第一象限的角,则也是第一象限的角

π

�2−�

C.若两个角的终边重合,则这两个角相等

D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关

【答案】B

【分析】由角度制和弧度制的定义,象限角的概念,判断各选项的正误.

【详解】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角,A选项错误;

若是第一象限的角,则是第四象限的角,所以是第一象限的角,B选项正确;

π

�−�−�+2

当,时,与终边重合,但两个角不相等,C选项错误;

∘∘

不论�=是3用0角度�制=还39是0弧度制�度�量角,由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关,D选项错

误.

故选:B

14.在中,内角满足,则的形状为()

A.△直�角��三角形�,�,�2sin�cos�=B.sin等�腰三角△形𝐴�

C.等腰直角三角形D.正三角形

【答案】B

【分析】根据得到,求出,得到三角形形状.

【详解】sin�=sin�+�sin�−�=0�=�,

故2sin�cos�=sin�=,s即in�+�=sin�c,os�+cos�sin�

因为sin�cos�−co,s�所si以n�=0,sin�−�=0

故�,�∈为等0,腰π三角形.�=�

故选△:𝐴B�

15.若,,则()

12

cos�cos�+sin�sin�=2sin2�+sin2�=3sin(�+�)=

A.B.

22

3−3

C.D.

11

33

【答案】A−

【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得,再利用和差化积公式得

1

cos(�−�)=22sin(�+�)cos(�−�)=

,最后代入计算即可.

2

3

【详解】因为,

1

cos�cos�+sin�sin�=2

所以,因为,

12

cos(�−�)=2sin2�+sin2�=3

所以,

2

2sin(�+�)cos(�−�)=3

所以,所以,

122

233

故选:2sAin.(�+�)⋅=sin(�+�)=

16.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄

金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底

与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是

顶角为的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组3成6°,如图所示,在其中一个

黄金108°中,.根据这些信息,可得()

��5−1

△𝐴���=2sin2034°=

A.B.C.D.

1−253+55+14+5

【答案】C4−8−4−8

【分析】先求出,,再根据二倍角余弦公式求出,然后根据诱导公式求

5−1

出.∠�𝐴=72°cos∠�𝐴=4cos36°

sin2034°

【详解】由题意可得:,且1,

2��5−1

∠�𝐴=72°cos∠�𝐴=��=4

,解得:2,

22

∘2∘5−12∘5+35+2×5×1+15+1

cos72=2cos36−1=4cos36=8=16=4

所以(负值不符合题意舍去),

∘5+1

cos36=4

.

5+1

故sin选20:34C°=sin(2160°−126°)=sin−126°=−sin126°=−sin90°+36°=−cos36°=−4

三、解答题(本大题共5题,第17-19题每题14分,第20-21题每题18分,共78分).

17.(14分)已知.求:

sin�+cos�

sin�−cos�

(1)的值;=−3

(2)t求an�的值.

22

sin�+3sin�cos�−2cos�

【答案】(1)

1

2

(2)

1

5

【分−析】(1)根据同角三角函数的关系求解即可;

(2)根据结合同角三角函数的关系求解即可.

22

【详解】(1si)n显�+然cos�=1,故则,解得.(6分)

sin�+cos�tan�+11

cos�≠0sin�−cos�=−3tan�−1=−3tan�=2

()

2222

sin�+3sin�cos�−2cos�tan�+3tan�−2

22222

sin�+3sin�cos�−2cos�=sin�+cos�=tan�+1

1211(8分)

2+3×2−2−41

125

5

=2+1=4=−

18.(14分)已知α为第三象限角,π3.

sin�−2cos2π+�tanπ−�

(1)化简;��=tan−�−πsin−�−π

(2)若��,求的值.

31

25

【答案co】s(1�)−π=;�2�

(2).��=−cos�

23

25

【分−析】(1)根据诱导公式化简即可;

(2)由诱导公式可求,再由二倍角的余弦公式求解.

sin�

【详解】(1)π3

sin�−2cos2π+�tanπ−�

��=tan−�−πsin−�−π

.(7分)

−cos�sin�−tan�

=−tan�sin�=−cos�

(2),则.

311

cos�−2π=−sin�=5sin�=−5

所以.(7分)

2

2123

19.(�124�分)=−已c知os2�=2的sin内�角−1=2所×对边−的5长−度1分=别−为25.

(1)若△𝐴�,求�,和�,�外接圆半径的值�,;�,�

4

5

(2)若�=5,�=6,cos�=−,求�△的�值�.��

【答案3】�−(1)�cos�,=�cos�sin�

π

�=6�=5

(2)

22

【分sin析�】=(13)首先求出,再由正弦定理计算可得;

sin�

(2)利用正弦定理将边化角,再由两角和的正弦公式及诱导公式求出,即可得解.

【详解】(1)因为,则,且c.os�

4π23

由正弦定理得cos�=−5(为�∈2,π外接圆的sin半�径=),1即−cos�=5,

��56

3

sin�=sin�=2��△𝐴�sin�=5=2�

即,,

1

sin�=2�=5

因为,所以,

π

�<��∈0,2

因此,;(7分)

π

�=6�=5

(2)因为,

由正弦定理3可�得−�cos�=�cos�,

所以3sin�cos�−sin�cos�=sin�cos�,

又3sin�c,os所�=以sin�cos�,+所sin以�cos�=sin,�则+�=sin�,

1

�∈0,πsin�>03cos�=1cos�=3

又,所以.(7分)

222

20.�(∈180,分π)吴淞口si灯n�塔=采1−用c世os界�先=进3的北斗卫星导航遥测遥控系统,某校数学建模小组测量其高度

(单位:,如示意图,�垂�直放置的标杆的高度,使,,在同一直线上,也在同一水平面上�,

仰角m),.(本题的距离�精�确到ℎ=3m���

∠𝐴�=�∠�𝐷=�0.1m)

(1)该小组测得、的一组值为,,请据此计算的值;

(2)该小组分析若�干�测得的数据�后=,5认1.8为3°适当�调=整47标.3杆3°到灯塔的距离�(单位:,使与之差较大,可以

提高测量精确度.若灯塔的实际高度为,试问为多少时,�最大?m)��

【答案】(1)20.1m��−�

(2)�≈20.4

【分�析≈】1(8.51)根据题目所给数据,解直角三角形并利用建立方程即可求解;

(2)由两角差的正切公式,结合均值不等式求出��−的�最�=值�,�再根据角的范围即可求得何时有

tan(�−�)�−�

最大值.

【详解】(1)由可得:,

��

��△�𝐷��=tan�⇒��=tan�

同理可得,

�ℎ

因为𝐴=tan�,,��=tan�

所以��−𝐴=𝐴,

��ℎ

tan�−tan�=tan�

可得.(8分)

ℎtan�

�=tan�−tan�≈20.4�

(2)由题意可得,

则�=𝐴,

��ℎ�−ℎ

tan�=�,tan�=��=𝐴=�

所以��−ℎ,

tan�−tan��−�ℎ�ℎ

��−ℎ2�(�−ℎ)

tan(�−�)=1+tan�⋅tan�=1+�⋅�=�+�(�−ℎ)=�+�

而,

�(�−ℎ)

当且�+仅当�≥2�(�−ℎ)时等号成立,

故当�=时�,(�−ℎ)=取20最.1大×值(2,0.1−3)≈18.5

因为�=18.5ta,n所(�以−�),

��

0<�<�<20<�−�<2

所以时,最大.(10分)

21.(�1=8分18).5在△A�B−C�中,a,b,c分别是角A,B,C的对边.

(1)若,求A的大小;

(2)若�BcCos边�上+的2�高+等�于co,s�且=0,求的取值范围;

����

20<�<2�+�

(3)求实数t的取值范围,使得对任意实数x和任意角A(),恒有

�2

0<�≤2�+3+2sin�cos�+�+�sin�+

.

21

�cos�≥32

【答案】(1)

�=3

(2)

(3)(2,22]

13

(−∞,7]∪[4,+∞)

【分析】(1)由正弦定理边化角可得,可求;

1

cos�=−2�

(2)由三角形面积公式和余弦定理可得,进而可得,利用

22��

辅助角公式可求最大值;�+�=2��(sin�+cos�)�+�=2sin�+2cos�

(3)利用二次函数的最小值可得,进而转化为

12

�(�)min=2[(3+2sin�cos�)−(�sin�+�cos�)](3+

①或②,利用基本不等式与对勾

11

44

函2si数n�的co最s�值)可−求(�s实in数�+的�取cos值�范)≥围.(3+2sin�cos�)−(�sin�+�cos�)≤−

【详解】(1)因为�,

所以由正弦定理可得�cos�+2�+�cos�=0,

整理得sin�cos�+2s,in即�+sin�cos�=0,

因为sin(�+,�)+2sin�,cos�=0sin�+2sin�cos�=0

所以�∈(0,π),si因n�为≠0,所以;(4分)

12π

cos�=−2�∈(0,π)�=3

(2)因为边上的高等于,

��2

由三角形面积公式得,即,

1112

又由余弦定理可得2�×2�=2��sin�,�=2��sin�,

22222

从而有�=�+�−2,��cos�2��sin�=�+�−2��cos�

22

所以�+�=2��(sin�+cos�),

��π

�+�=2sin�+2cos�=22sin(�+4)

因为,所以,所以,

�ππ3π2π

0<�<24<�+4<42<sin(�+4)≤1

,所以的取值范围为.(6分)

π��

2<22sin(�+4)≤22�+�(2,22]

(3)令

22

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