2026高考数学复习高效培优专题12 概率统计与其他知识的交汇问题（培优高频考点专练）（解析版）

专题12概率统计与其他知识的交汇问题目录高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型一概率与数列的交汇（含马尔科夫链）（）题型二概率与导数的交汇（）题型三概率与统计图表及正态分布的交汇（）题型四概率与独立性检验的交汇（）题型五概率与函数（决策优化）的交汇（）实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）高考对概率统计的考查，本质是“以概率统计为载体，综合运用数列、导数、函数知识解决实际问题”，备考需聚焦“交汇题型的建模方法”和“情境题的信息提取能力”，同时强化规范书写（如分布列、χ2计算步骤），备考时需重点关注新高考II卷、上海卷、北京卷基础知识必备：概率部分：掌握古典概型、独立事件、互斥事件的概率计算，全概率公式、贝叶斯公式的应用；熟悉二项分布、泊松分布、正态分布的定义及性质，数学期望与方差的计算。数列部分：理解等差、等比数列的通项公式与求和公式，掌握递推数列的构造与转化方法（如构造等差或等比数列）。导数部分：会构建概率相关的目标函数，能通过求导分析函数单调性、极值与最值。统计图表与正态分布：熟练解读频率分布直方图，掌握样本均值、方差、百分位数的计算；理解正态分布的对称性与3σ原则。独立性检验：能完善2×2列联表，掌握χ²统计量的计算方法，依据临界值判断变量相关性。函数与决策优化：将实际问题转化为概率分布模型，结合函数性质求解最优决策。2026高考预测：交汇性增强：概率与数列（含马尔科夫链）、导数、统计图表、独立性检验、函数决策的交汇题型仍是重点，跨模块融合力度会持续加大。题型创新：马尔科夫链作为概率与数列交汇的典型模型，在人工智能、金融等实际场景中的应用题型可能出现；结合实际问题的决策优化类题目（如检测方案选择、优惠策略决策）概率上升。能力侧重：强调逻辑推理与模型构建能力，需熟练将实际问题转化为数学模型（如递推数列、目标函数、分布列），并结合多模块知识求解。正态分布应用：结合统计图表估算均值、方差，再利用正态分布3σ原则计算概率的题型会保持稳定考查；独立性检验题目可能结合生活热点（如AI使用、体育锻炼与成绩关系）设置情境。重难知识汇总：概率与数列交汇：通过全概率公式推导概率递推关系，构造等差或等比数列求通项，利用数列性质解决概率最值、累计概率问题；马尔科夫链的“无记忆性”及状态概率计算。概率与导数交汇：将概率、数学期望转化为参数（如概率p、数量m）的函数，通过求导分析单调性与最值，结合参数实际意义（0<p<1）确定最优解。概率与统计图表及正态分布交汇：由频率分布直方图求样本均值、方差、百分位数，作为正态分布参数μ、σ²的估计值；利用正态分布对称性与3σ原则计算目标区间概率。概率与独立性检验交汇：准确构建2×2列联表，掌握χ²统计量公式，依据临界值（如2.706、3.841、6.635）判断变量是否相关。概率与函数（决策优化）交汇：明确决策目标（最大利润、最小成本等），转化为概率分布模型，结合函数单调性、不等式求解最优参数（如检测分组方式、答题方案选择）。常用技巧方法：递推构造法：处理概率与数列交汇题时，通过递推关系构造等差或等比数列，快速求概率通项公式。函数建模法：将概率、期望转化为目标函数，利用导数求导找极值点，结合定义域确定最值。图表分析法：解读频率分布直方图时，用“每组中点值×频率”求均值，通过累计频率确定中位数、百分位数。正态分布速算：牢记正态分布3σ原则，利用对称性简化区间概率计算（如P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827）。独立性检验步骤：先完善列联表，再代入χ²公式计算，最后对比临界值得出结论。决策优化思路：列出所有可能方案的数学期望，通过比较期望大小选择最优方案。易错避坑提效：概率与数列：忽略递推关系推导的全概率公式应用条件；构造等比数列时，首项与公比计算错误；未结合数列单调性判断概率最值。概率与导数：目标函数构建错误（如混淆概率与期望的表达式）；求导后未验证极值点是否在定义域内（如0<p<1）。统计图表与正态分布：计算样本均值时误用区间端点代替中点值；忽略正态分布的μ、σ²需由样本数据估计，直接套用理论值。独立性检验：列联表中合计数、分类数计算错误；χ²公式中分子分母对应关系混淆；未明确零假设，误判相关性结论。决策优化：遗漏部分可能方案；计算期望时概率取值错误（如混淆独立事件与互斥事件的概率计算）。题型一概率与数列的交汇（含马尔科夫链）方法点拨：明确概率递推关系：通过全概率公式推导Pₙ与Pₙ₋₁的关联，提炼一阶或二阶递推式。构造特殊数列：将递推式转化为等差或等比数列（如Pₙ-x=k(Pₙ₋₁-x)），求通项公式。利用数列性质：结合等差、等比数列的单调性、最值或求和公式，解决概率最值、累计概率问题【典例01】（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第次球在甲手中的概率表达式，代入计算即可.【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由题意可知：，又，所以，构造等比数列，因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即，所以是以为首项，公比为的等比数列，故，则.故选：C.【典例02】（2025·辽宁·一模）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.(1)求和；(2)求证：是等比数列；(3)求的数学期望（用表示）.【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）结合独立事件乘法公式出求，再利用全概率公式求.（2）利用全概率公式求得、与、的关系，再利用构造法证明等比数列.（3）求出的分布列及期望，再利用由（2）求出通项公式.【详解】（1）依题意，，，，.（2）设表示次取球后甲口袋有2个黑球，表示次取球后甲口袋有1个黑球，表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球，表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球，当时，则，，，，因此，即，，所以是为首项为公比的等比数列.（3）依题意，的分布列为012期望，由（2）得，所以.【变式01】（2025高三·北京·专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，是状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是.①

②③数列是等比数列

④的数学期望【答案】①③④【分析】利用已知条件求出，，即可判断①，②；利用推出，可判断③；利用结合数学期望的公式可判断④．【详解】由题意，，故①正确；，，故②错误；当时，，整理得，又，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故③正确；由，，，因为，所以，则，故④正确，故答案为：①③④．【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为．(1)求、；(2)求；(3)证明：是等比数列．【答案】(1)；(2)(3)证明见解析【分析】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率，结合古典概型的概率公式可求得、的值；（2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，求出的值，分析可知的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列，由此可得出的值；（3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，可得，推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立.【详解】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率，由题可知：，.（2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，易得，由题易得的所有可能取值为、、、，且，

，

，

，

所以的分布列为：数学期望为.（3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，由题，可得，

而，，，于是，，也即，

首项为，因此是首项为，公比为等比数列.【变式03】（24-25高三下·山东·月考）“马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且．(1)求x的值；(2)随机变量的分布列和期望；(3)求．【答案】(1)2(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；（2）确定的取值，结合条件概率、全概率公式求得对应概率即可；（3）由全概率公式得到，构造等比数列即可求解.【详解】（1），所以；（2）随机变量的可能取值为，易知：，由分布列性质可知：所以，，，所以的分布列为：012所以;（3），又，，所以，，.题型二概率与导数的交汇方法点拨：构建目标函数：将概率、数学期望转化为关于参数（如概率p、数量m）的函数f(x)。求导分析单调性：通过求导找到函数的极值点，判断单调区间。结合定义域求解：根据参数的实际意义（如0<p<1），确定最值点及对应最值。【典例01】（24-25高三下·广东江门·期末）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为．(1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？(2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望(3)在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值．【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意的可能取值为，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望；（3）依题意，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值.【详解】（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件，则；（2）依题意的可能取值为，所以，，，.所以的分布列为所以的期望为.（3）依题意，，则，令，得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以在处取得极大值，即最大值，所以.【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法：①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次.②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次.(1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；(2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；.(3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值.（参考数据：）【答案】(1)(2)分布列见解析(3)【难度】0.4【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】（1）利用排列数及古典概型计算公式求解即可；（2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，求出，根据二项分布的计算公式求出概率，列出分布列即可；（3）由期望公式求出，代入，可得，两边取对数可得，构造函数，利用导数分析单调性即可求解.【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”，则，故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为.（2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，则，可知，，，所以的分布列为：712（3），，所以，令，则，即，当时，，两边取以为底的对数，得到，设函数，则，当时；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以的最大值为.【变式01】（2025·湖北武汉·模拟预测）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量.(1)若，求和；(2)若，且，求的最小值；(3)若，求证：且.【答案】(1)，(2)2(3)证明见解析【难度】0.15【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、有放回与无放回问题的概率【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案；（2）先计算，根据期望公式得，结合，的单调性，计算的到的最小值；（3）由题先计算，根据期望公式得，利用导数确定单调性证明得到结论.【详解】（1）；（2），∴，令，得，又在上单调递减，且，，，且对所有，都有，故的最小值为2.（3），∴，设，当时，；当时，，∴，设，，∴，∴，当时，，，等号成立∴.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点时得到，结合导数确定函数的单调性，从而得结论.【变式02】（24-25高三上·四川自贡·期中）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.(1)求乙同学第2局赢的概率；(2)记甲同学第i局赢的概率为；（ⅰ）求（ⅱ）若存在i，使成立，求整数k的最小值．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（2）．【分析】（1）根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算出甲同学第2局赢的概率，再由对立事件概率公式计算；（2）（ⅰ）根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算；（ⅱ）根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式确定与的关系，，构造等比数列得出，不等式化为，利用导数求出函数的单调性，求出的最大值为，再由函数单调性对进行估值，从而得出的最小整数值．【详解】（1）由题意甲第2局赢的概率为，所以乙赢的概率为；（2）（ⅰ）由已知时，，所以，又，所以数列是等比数列，公比为，所以，所以；（ⅱ）即，令，则，易知是减函数，，所以时，，递减，显然，因此要求的最小值，即求的最大值，又，为偶数时，，为奇数时，，且在为奇数时，是单调递减的，所以是中的最大值，，所以，又在上是减函数，所以，而，（∵），所以，所以满足的整数的最小值为．【变式03】（2025·贵州遵义·模拟预测）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布、特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数.(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似：当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，利用其与正态分布的联系求的值（保留三位小数）；(2)某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数.①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率；②若，，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过与①的计算结果比较，你发现了什么规律？(3)若，当时，记的取值范围为集合，证明.参考数据：若，则有，，；，，.【答案】(1)0.136(2)①0.2644；②,规律见解析(3)证明见解析【分析】（1）分析可知，利用正态分布原则,可求得的值；（2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后可得出结论；（3）利用泊松分布得出，进而结合题意得，再构造函数，继续通过研究其单调性得，使得，故，即可证明.【详解】（1）解：因为当，且时，可近似地认为，即，这里，，所以，（2）①若，则；②若，其中，则.比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是非常接近的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布.（3）由于，所以，，由泊松分布的概率公式可得，，所以，，因为，即，构造函数，则，所以，函数在上单调递减，由于，，所以，，所以，使得，即所以题型三概率与统计图表及正态分布的交汇方法点拨：图表数据处理：利用频率分布直方图求样本均值（每组中点值×频率求和）、方差，作为正态分布的μ、σ估计值。活用正态分布性质：借助对称性P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827等3σ原则，快速计算目标区间概率。结合二项分布：若涉及多次独立重复试验，可将正态分布作为二项分布的近似，简化计算。【典例01】（2025·四川自贡·一模）(多选题)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（

）A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数C．在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5D．指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高【答案】ABC【分析】根据临界值的定义，判断选项A的正误；根据频率分布直方图的平均数和中位数的求法，判断选项B的正误；根据频率分布直方图的第百分位数的算法，判断选项C的正误；根据患病和未患病的该指标的频率分布直方图，判断选项D的正误；【详解】根据临界值c的定义，将该指标大于c的人判定为阳性，所以A正确；在患病者的该指标的频率分布直方图中，可知，，则中位数为，平均数为，所以B正确；在未患病者的该指标的频率分布直方图中，可知，，即第25百分位数为76.5，所以C正确；当时，患病者该指标为，则的患病者为漏诊，的未患病者为误诊，根据该指标的频率分布直方图可知，c越高，漏诊率越高，误诊率越低，所以D错误；故选：ABC.【典例02】（25-26高三上·湖南长沙·月考）某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）：(1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数；(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望．参考数据：若，则．【答案】(1)，88分(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出，进而可求出“优秀”的最低分数；（2）先求出每一层的分数，再求出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式或超几何的期望公式，即可求出期望；（3）利用正态分布的性质得，根据题设有，再由二项分布的期望计算公式，即可求解.【详解】（1）由图可知，解得.因为，则成绩由高到低的前分数线必在之间，设分数线为，则，得，则记为“优秀”的最低分数为88分.（2）样本成绩位于和的比例为，故所抽取的个人中，来自的人数为，来自的人数为，来自的人数为，则的所有可能取值为1，2，3，4．，，所以的分布列为1234方法一：.方法二：服从参数的超几何分布，故.（3）由题意得，，由，所以，所以，所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的概率约为0.8186，故，所以.【变式01】（2025·安徽合肥·模拟预测）切比雪夫不等式表明：对任意正实数，有．现有随机变量，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．C．若，则取最大值时D．若要求以不低于的概率保证，则的最小整数值为200【答案】BC【分析】由二项分布概率计算公式、期望、方差的计算公式逐个判断即可.【详解】对于A：当时，，，求和得，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，即，由，解得：，故时概率最大，故C正确；对于D：要求，即，取，方差，代入不等式：，故D错误．故选：BC【变式02】（2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号i12345678910成绩/分38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算.(1)求；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．附：若，则，，.【答案】(1)56(2)分布列见解析(3)95.45【分析】（1）利用平均数的定义进行计算；（2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列；（3）计算出，，所以，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，故，从而计算出.【详解】（1）.（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3.因为，，，.所以X的分布列为X0123P（3）因为，，所以，因为，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，故，所以.【变式03】（25-26高三上·重庆·月考）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示.组别频数101520301510已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）.(2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数）参考数据:，若，则.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案；（2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案.【详解】（1）由题意可知个分组的中点值分别为，则样本平均数估计值，可得.由，则，，因为，所以.（2）设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则；可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为；由，两边取对数可得；因为，，所以，由为正整数，所以的最大值为.题型四概率与独立性检验的交汇方法点拨：完善列联表：根据题目数据准确填写列联表，确保合计数、分类数无误。计算卡方统计量：代入公式χ²=n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，精准计算。临界值判断：对比计算结果与临界值（如3.841、6.635），明确是否拒绝原假设，得出相关性结论【典例01】（2025·天津河东·二模）2024年12月26日，DeepSeek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，DeepSeekAPP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用DeepSeek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（

）A．甲小组开展了DeepSeek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱B．乙小组利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次C．丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多D．丁小组研究性别因素是否影响DeepSeek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次没有差异【答案】C【分析】由相关系数，回归方程，决定系数，卡方的检验逐项判断即可.【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误；对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B错误；对于C，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故C正确；对于D，，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次有差异，故D错误.故选：C【典例02】（2025·湖南·一模）(多选题)随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（）A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多【答案】BD【分析】A选项与B选项由相关系数判断；C选项由卡方的检验判断；D选项由决定系数判断.【详解】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误；B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确；C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误；D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好．故选：BD．【变式01】（2025·辽宁·二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格：分数锻炼合计坚持锻炼不坚持锻炼分数10080180分数<6005070120合计150150300依据小概率值的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（

）附：，．α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05【答案】D【分析】先求出的值，结合独立性检验的结论求解即可.【详解】由题意，，结合表格数据及选项，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是0.05.故选：D.【变式02】（2025·重庆·三模）(多选题)下列说法中，正确的是（

）A．在这组数据中，第百分位数为B．分类变量与的统计量越小，说明“与有关系”的可信度越低C．设则D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好【答案】ABC【分析】根据百分数的定义求解，判断A，根据统计量的定义进行判断B，赋值进行计算，判断C，根据残差的定义进行判断D.【详解】对于A，，故第百分位为，故A正确；分类变量A与B的统计量越小，说明变量间关联性越弱，即A与B有关系的可信度越低，故B正确；即的通项公式为，即x的奇数次方的系数为负值，故令，则，故，故C正确；残差平方和越小的模型,越大,拟合的效果越好,故D错误.故选：ABC.【变式03】（2025·四川内江·一模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立.(1)先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关；每周自主锻炼时间超过5小时每周自主锻炼时间不超过5小时合计短跑成绩合格短跑成绩不合格合计100(2)求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率；(3)为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“小明去田径运动场锻炼”，.已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大.证明：.参考公式与数据：，其中，.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)列联表详见解析，，根据小概率值的独立性检验，可以认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关.(2).(3)证明详见解析.【分析】（1）根据题意先完成列联表，根据表格中的数据计算即可进行独立性检验.（2）综合条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式求解.（3）根据条件概率公式与对立事件的概率公式化简求证.【详解】（1）根据题意完善列联表如下：每周自主锻炼时间超过5小时每周自主锻炼时间不超过5小时合计短跑成绩合格352560短跑成绩不合格103040合计4555100根据列联表中的数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关.（2）由（1）中的列联表知，短跑成绩不合格的学生有40人，其中每周自主锻炼时间超过5小时的有10人，每周自主锻炼时间不超过5小时的有30人.记事件“甲在培训后短跑成绩合格”，事件“甲每周自主锻炼时间超过5小时”，则事件“甲每周自主锻炼时间不超过5小时”，用频率估计概率知，，由题意知，，由全概率公式知.由贝叶斯公式知，即学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率为.（3）由题意知，所以，因为，所以，所以，整理得，所以，即，因为，所以，所以，即.题型五概率与函数（决策优化）的交汇方法点拨：明确决策目标：确定核心优化指标（如最大利润、最小成本、最低误判率）。转化概率模型：将实际问题转化为概率分布（如二项分布、超几何分布），求期望或概率表达式。结合函数性质优化：通过函数单调性、不等式或导数，找到最优参数（如产品定价、检测次数）【典例01】（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门.(1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案；(2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高；(3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可.（2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可.（3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可.【详解】（1）如果不换门，则中奖的概率为.如果换门，则中奖的概率为：.所以换门中奖的概率大，故：应该换门.（2）假设山羊门数为（），如果不换门，则中奖的概率为：.如果换门，中奖的概率为：.因为，所以换门比不换门中奖概率更高.（3）不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：.要想投入5000元时值得的，须有：.整理得：.结合，，可得.即当时，参与者投入5000元是值得的.【典例02】（2025·河北保定·二模）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3．(1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率．(2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．(3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．【答案】(1)0.7(2)方案二更优惠，理由见解析(3)应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠，理由见解析【分析】（1）分别计算买方甲以每箱优惠，，的价格成交的金额，再与万元比较即可求解；（2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断；（3）设丙用方案一购买箱，表示出丙购买的金额的期望为万元，利用为减函数即可做出决策.【详解】（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元;若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元;若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为；（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，若乙选择方案一，则成交的金额为万元若乙选择方案二，设成交的金额为万元，则，所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为万元因为，所以方案二更优惠；（3）设丙用方案一购买箱，则丙用方案一需要支付的金额为元，方案二需要支付的金额的期望为元，所以丙购买的金额的期望为万元因为为减函数，所以越大，越小，故应该选择箱使用方案一，箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠.【变式01】（2025·湖北武汉·模拟预测）盒子里有编号为的个大小、形状、质地完全相同的小球，在盒子中连续有放回地取出两个小球，记为第次取出的小球的编号，(1)试计算比大的概率；(2)求的分布列和期望；(3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量，有，试分别计算的期望.其中，表示a，b中的最小者，表示a，b中的最大者.（参考公式：）．【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）依题意可知，再由概率的性质即可求解；（2）由题可知可能取值为，其中，，再由数学期望的计算公式求解即可；（3）方法一：求得，，分别求出，，再由随机变量的期望具有线性可加性计算即可.方法二：，分别算出，，再由随机变量的期望具有线性可加性计算即可.【详解】（1）由题意可知，且所以.（2）的可能取值为（3）法一：，的可能取值为，，同理有法二：的可能取值为，，同理有，又，由期望得线性可加性有：①②联立①②解得.【变式02】（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）．(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率；(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ：随机选一个选项；

Ⅱ：随机选两个选项；

Ⅲ：随机选三个选项．（i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；（ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好?【答案】(1)(2)（i）；（ⅱ）【分析】（1）由全概率公式求解即可；（2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出；（ⅱ）记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学威望，由题意可得，解不等式组即可得出答案.【详解】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”．，即学生甲该题得分的概率为．（2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，，，

，，所以的分布列为则数学期望．（ⅱ）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则，，，所以记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则，，，所以记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，则，，所以．要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，解得：，故的取值范围为．【变式03】（2025·广东·模拟预测）某地爆发瘟疫，现在你要负责检查其中8位居民是否感染.已知可以通过检测居民血样来判断该居民是否感染，若检测结果呈阳性，就认为该居民被感染了，否则认为该居民没有感染.由于事发突然，检测物资储备并不富裕，如果逐个检查每位居民的血样，就一定要消耗8份检测物资.此时，你想到：也许可以先将这8位居民按2人一组或4人一组进行分组，将同组居民的血样混合起来进行检测.这样如果最终检测结果不呈阳性，则说明该组所有居民都没有感染，如果检测结果呈阳性，则需要对该组每位居民再逐个检测血样.记：逐个检测为方案A，2人一组检测为方案B，4人一组检测为方案C：(1)若已知这8位居民中有2位被感染，试确定上述哪种方案预期消耗物资最少；(2)若每位居民有p的概率被感染，试讨论上述哪种方案预期消耗物资最少.【答案】(1)方案B(2)答案见解析【分析】（1）记用方案B需要消耗X物资，用方案C需要消耗Y物资，分别计算，比较与大小即可求解；（2）每位居民被感染的概率为p，比较三种方案的数学期望即可求解【详解】（1）用方案A需要消耗份检测物资，记用方案B需要消耗X份检测物资，则的可能取值为，用方案C需要消耗Y份检测物资，则的可能取值为：，，所以，，，所以，由，可知方案B预期消耗物资最少（2）延用（1）中的记号：现在以小组为单位进行考察：方案B中：每个小组消耗物资期望为方案C中：每个小组消耗物资期望为于是：，，令，则，解得或，当时，，故，此时，方案C预期消耗物资最少，当时，，故，，方案A预期消耗物资最少，令，则，解得，此时，故，此时，三种方案预期消耗物资一样.（限时训练：15分钟）1.（24-25高三下·湖南·期中）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用古典概型，根据组合数算出第一次操作后盒恰有个红球的概率和恰有个红球的概率.用全概率公式得到与的递推关系.对递推式变形，得出数列是等比数列，并确定其首项与公比.依据等比数