2026高考数学复习高效培优专题17 双曲线定义与性质及其综合问题（培优讲义）（原卷版）

专题17双曲线定义与性质及其综合问题目录第一部分研·考情精析锁定靶心高效备考第二部分理·方法技巧梳理知识总结技巧与方法第三部分攻·题型速解典例精析+变式巩固【题型01】双曲线的定义和方程【题型02】双曲线中的几何性质（光学性质）【题型03】双曲线的焦点三角形【题型04】双曲线的离心率【题型05】点差法（中点弦公式）【题型06】定义法求轨迹方程（双曲线）【题型07】利用定义求距离和、差的最值【题型08】双曲线的离心率范围【题型09】双曲线中的面积问题【题型10】双曲线中的向量问题【题型11】双曲线中的斜率问题【题型12】双曲线中的图形问题【题型13】双曲线中的定点、定线问题【题型14】双曲线中的数列问题第四部分练·决胜冲刺精选好题+通关训练考向聚焦双曲线是高考数学解析几何核心考点，题型覆盖选择、填空、解答题，整体解析结合占20—28分。考向聚焦四大核心：一是定义应用，常结合焦点三角形求周长、轨迹方程或线段最值；二是标准方程求解，以待定系数法为主，需判断焦点位置；三是几何性质，离心率为必考重点，结合关系求解；四是综合应用，直线与双曲线联立是解答题核心，常与韦达定理、弦长、面积、定点定值等结合，难度中等偏上。复习需强化定义与性质基础，熟练运算技巧。关键能力双曲线解题的关键能力，一是定义活用能力，能快速将双曲线定义转化线段关系，破解焦点三角形、轨迹问题。二是代数运算能力，熟练联立直线与双曲线方程，结合韦达定理简化计算，攻克弦长、面积等综合题。三是性质迁移能力，掌握a,b,c,e的关系，精准求解离心率。四是数形结合能力，以形助数，快速定位最值、定点定值问题的突破口。备考策略双曲线备考需立足基础，先吃透定义、标准方程及a、b、c、e的核心关系，熟练定义法、待定系数法求轨迹方程。针对离心率、焦点三角形等高频考点，归纳解题模型，强化训练。直线与双曲线综合题是难点，需熟练联立方程、活用韦达定理，掌握弦长、面积、定点定值的解题套路，提升代数运算与数形结合能力。定期刷高考真题，总结易错点，规避计算失误。

方法技巧01选填的常用方法双曲线选填专题的解题方法可围绕定义、方程、性质、综合应用四大模块总结，核心思路是数形结合+代数运算，具体如下：1、定义法核心是活用双曲线的第一定义（），常用于求轨迹方程、焦点三角形的周长或边长最值。2、待定系数法求解双曲线标准方程的核心方法，分两步：先判断焦点位置（轴或轴），设对应标准方程；再结合已知条件（过定点、关系、离心率等）列方程，解出。若焦点位置不确定，可设统一方程简化计算。3、离心率求解法离心率，关键是建立的齐次关系式：（1）几何法：结合焦点三角形、双曲线顶点、直线与双曲线位置关系，用勾股定理、余弦定理等推导；（2）代数法：由已知条件转化为的方程，消去（利用）。4、焦点三角形解法结合定义+余弦定理+面积公式：由定义得，由余弦定理得；面积公式：；焦半径：，；5、中点弦公式（1）已知是双曲线上的两个点，为重点，则.（2）已知是双曲线：上的两动点，是双曲线上异于的一点，若两点关于原点对称.6、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点；，若，且在线段上时，则焦比公式：；若，且在线段外时，则焦比公式：.

方法技巧02解答题的常用方法直线与双曲线综合问题解法核心步骤是联立方程+韦达定理，适用于弦长、面积、定点定值、最值问题：设直线方程（斜率存在设，斜率不存在设），与双曲线方程联立，消去或得一元二次方程；利用判别式确定参数范围，由韦达定理得、；（1）弦长和面积：弦长公式，或面积公式×底×高求解；（2）向量问题：利用点的坐标表示向量，包括直径所对的圆周角为直角进行向量数量积为零；（3）斜率问题：利用点的坐标表示斜率，包括三点共线时利用斜率的差为零，角度相等时，角度的其中一边平行于或时，将角度转化为倾斜角的关系，利用斜率的和，差，乘积为定值求解；（4）图形问题：利用向量和斜率求解三角形的形状，包括：等腰，等边，直角，钝角三角形；平行四边形对角线互相平分，利用中点坐标进行求解；矩形，菱形，正方形在平行四边形上进行垂直和长度的求解即可.（5）定点、定线问题：利用题目所给的翻译条件，构建等式，从而将直线中用表示即可证明定点坐标；利用直线的交轨法，消参的方法，进行定直线的证明.

题型01双曲线的定义和方程典｜例｜精｜析典例1．已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（） A． B． C． D．典例2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（） A． B． C． D．混淆双曲线第一定义的条件，忽略，误判轨迹。设方程时忽视焦点位置，漏设的统一形式。计算中混淆a,b,c关系，记错，离心率公式误用。变｜式｜巩｜固变式1．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（） A． B． C． D．变式2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D．变式3．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（） A． B． C． D．

题型02双曲线中的几何性质（光学性质）典｜例｜精｜析典例1．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（） A． B． C． D．典例2．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为() A． B． C． D．一是混淆的关系，记错，或把离心率与椭圆公式混淆；二是忽略离心率范围，计算后未验证取值合理性。三是几何性质应用时，误将双曲线顶点、焦点坐标写反，尤其焦点在y轴上的方程，易把位置弄混。四是光学性质理解偏差，不清楚“从一焦点发出的光线经双曲线反射后延长线必过另一焦点”的本质，无法结合定义解决反射类轨迹问题。变式1．设O为坐标原点，是双曲线的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则（） A． B．2 C． D．变式2．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（） A． B． C． D．

题型03双曲线的焦点三角形典｜例｜精｜析典例1．设双曲线C：（）的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（） A．1 B．2 C．4 D．8典例2．双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在C上，，则的外接圆与内切圆的半径之比为（） A． B． C． D．公式混淆：记混面积公式，误用，或记错简洁公式的形式，漏掉或写错半角关系。条件遗漏：计算时忽略双曲线定义与余弦定理的结合，无法由角度推导出的值。参数混用：将椭圆中与双曲线的混淆，代入数值时出错，导致面积计算结果偏差。变式1．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为（） A． B． C． D．变式2．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（） A． B．3 C． D．2变式2．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D．

题型04双曲线的离心率典｜例｜精｜析典例1．已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（） A． B．2 C．2 D．3典例2．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（） A． B． C．2 D．3一是公式混淆，误将双曲线离心率记成椭圆离心率，忽略双曲线的范围，计算后未验证结果合理性。二是“a、b、c关系用错”，将椭圆中与双曲线的混淆，推导齐次式时出错。三是几何条件转化失误，比如焦点三角形、直线与双曲线相切等场景，无法正确提炼出a与c的比例关系。四是焦点位置判断失误，焦点在y轴时仍套用x轴双曲线的参数关系。变｜式｜巩｜固变式1．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D．变式2．双曲线的左、右焦点分别为、，点是其渐近线上的一点，若，则该双曲线的离心率为（） A． B．2 C． D．4变式3．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（） A． B．2 C． D．4

题型05点差法（中点弦公式）典｜例｜精｜析典例1．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（） A． B．2 C． D．典例2．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D．一是前提遗漏，忽略点差法的适用条件——直线与双曲线有两个交点，未验证判别式Δ>0，导致所求参数范围失真。二是公式推导错误，将点代入双曲线方程相减时，误算移项步骤，记错中点与斜率k的核心关系式。三是焦点位置混淆，焦点在y轴上的双曲线，未调整公式形式，仍套用x轴双曲线的点差法结论，造成斜率计算错误。变式1．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为（） A． B． C． D．变式2．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（） A． B． C． D．变式3．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（） A． B． C． D．

题型06定义法求轨迹方程（双曲线）典｜例｜精｜析典例1．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（） A． B． C． D．典例2．已知点和圆：，是圆上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为（） A． B． C． D．（1）定义法：进行相关的数形结合的表示，并进行对应的消元，使得动点到两个定点的距离的差的绝对值为定值；容易忽略未知变量的表示.（2）相关点法：进行相关点的表示时，没有用已知点对未知点的表示，带入进行求解.（3）直译法：进行点的坐标表示时，注意未知变量的取值范围.变式1．已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（） A． B． C． D．变式2．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（） A． B． C． D．变式3．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（） A． B． C． D．

题型07利用定义求距离和、差的最值典｜例｜精｜析典例1．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（） A． B． C． D．典例2．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（） A．6 B．7 C．8 D．9（1）没有先判断点在双曲线内侧和双曲线外侧，因此使得距离和、差求解错误；距离和、距离差上，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，转化为三点共线.变式1．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（） A．4 B．6 C．10 D．14变式2．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（） A． B． C． D．变式3．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9

题型08双曲线的离心率范围典｜例｜精｜析典例1．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（） A． B． C． D．典例2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（） A． B． C． D．双曲线离心率的核心范围是e>1，但解题中易因多种疏漏出错。一是混淆圆锥曲线范围**，常与双曲线（e>1）、抛物线（e=1）的离心率边界混淆，导致基础判断失误。二是忽略焦点位置**，对含参数双曲线方程（如），未区分m>n（焦点在x轴）和m<n（焦点在y轴）的情况，误判a、b取值，引发离心率计算偏差。三是遗漏题目限定条件，仅套用e>1会缩小范围。四是公式变形失误，记错，或推导时忽略与e的单调性关联，最终得出错误离心率区间。变式1．已知双曲线，过点的两条直线分别与双曲线的上支､下支相切于点.若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（） A． B． C． D．变式2．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（） A． B． C． D．

题型09双曲线中的面积问题典｜例｜精｜析典例1．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．(1)求的方程；(2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值．典例2．已知双曲线的焦距为,渐近线方程为,左顶点为,过点且与轴不重合的直线交双曲线右支于两点．直线与圆分别交于两点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求证：直线与直线的斜率之积为定值；(3)记三角形的面积为的面积为,求的取值范围．一是面积公式误用，计算弦与原点或焦点围成的三角形面积时，混淆底高公式与向量叉乘、行列式等便捷算法，未结合弦长公式和点到直线距离公式，导致计算繁琐且出错。二是变量范围遗漏，用参数法设点或设直线斜率时，忽略双曲线上点的坐标边界，或未考虑直线斜率不存在的特殊情况，使最值点超出双曲线范围。三是判别式忽视，联立直线与双曲线方程求交点时，未验证Δ≥0，得出的“最值”因直线与双曲线无交点而无效。四是转化逻辑缺陷，不会将面积最值转化为函数最值，或换元后忽略新变量范围，导致极值求解偏差。变式1．已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，.(1)求双曲线的标准方程；(2)若的面积为，求直线的方程.变式2．已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点.(1)求的方程；(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.（i）求证：直线经过定点；（ii）记的面积为，求的取值范围.变式3．在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2．(1)求动点的轨迹方程；(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

题型10双曲线中的向量问题典｜例｜精｜析典例1．已知双曲线：的右焦点为，且到的其中一条渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)设，过点的直线与相交于两点，是否存在正数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.典例2．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.一是向量条件转化失误，不会将向量垂直（）、共线等条件转化为坐标等式，或转化后代入椭圆方程时计算出错，丢失隐含约束。二是直径圆周角性质混淆，误将双曲线直径等同于圆的直径，忽略椭圆无“直径所对圆周角为直角”的固有性质，直接套用圆的结论，导致逻辑断层。三是过定点问题漏特殊情况，求动直线过定点时，未验证斜率不存在的情形，或参数消元不彻底，无法锁定定点坐标。四是判别式与范围疏漏，联立方程后未检验Δ≥0，使所求点或直线不满足与双曲线相交的前提，结果失效。变式1．已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.变式2．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线交于点E，E的轨迹为曲线T.(1)以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程；(2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值；(3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有成立?若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.变式3．已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点．①证明：直线过定点；②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

题型11双曲线中的斜率问题典｜例｜精｜析典例1．已知双曲线的实轴长为2，设为的右焦点，为的左顶点，过的直线交于A，B两点，当直线AB斜率不存在时，的面积为9．(1)求的方程；(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线于P，Q两点，设为线段PQ的中点，记直线AB，FM的斜率分别为，证明：为定值．典例2．在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，右顶点为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于两点.(1)当时，求三角形的面积；(2)在轴上是否存在定点，使直线与曲线的左支有两个交点的情况下，总有?如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.一是三点共线转化疏漏，常只套用斜率相等条件，忽略斜率不存在的垂直轴情形，且未结合判别式验证共线点是否在双曲线上，导致结论无效。二是斜率关系误用，易混淆中点弦斜率乘积）等结论的适用前提，韦达定理推导斜率和差时，又因代数变形失误得出错误关系。三是角度转斜率偏差，将角相等误转为斜率相等，未识别倾斜角互补对应，且遗漏90°角需斜率积为的特殊条件，造成逻辑断层。变式1．已知双曲线：的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线斜率不存在时，的面积为9.(1)求C的方程；(2)当直线斜率存在且不为0时，连接，分别交直线于P，Q两点，设M为线段的中点，证明：.变式2．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．变式3．已知双曲线的左、右顶点分别为与，点在上，且直线与的斜率之和为.(1)求双曲线的方程;(2)过点的直线与交于两点(均异于点)，直线与直线交于点，求证:三点共线.

题型12双曲线中的图形问题典｜例｜精｜析典例1．已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为.(1)求C的方程；(2)证明：为钝角三角形.典例2．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.(1)求C的方程；(2)记C的左顶点为A，直线与x轴交于点B，过B的直线与C的右支于P，Q两点，直线AP，AQ分别交直线l于点M，N，证明O，A，M，N四点共圆.一是图形判定条件疏漏，证平行四边形时仅关注对边斜率相等，忽略对边长度相等的核心要求；求矩形未将“邻边垂直”转化为斜率积为，菱形则遗漏“邻边相等”或“对角线垂直”的关键条件。二是点的存在性验证不足，联立方程后未检验Δ≥0，或未确认顶点坐标在双曲线范围内，导致求出的图形实际不存在。三是特殊情况缺失，忽视直线斜率不存在的情形，且未考虑双曲线对称性带来的多解，漏算符合条件的图形数量。四是面积与边长计算失误，混淆图形面积公式，且未结合双曲线参数方程简化运算，增加计算误差。变式1．已知双曲线的离心率为2，实轴的左､右顶点分别为，虚轴的上､下顶点分别为，且四边形的面积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围.变式2．已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.(1)求双曲线的方程；(2)证明：为直角三角形；(3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.

题型14双曲线中的定点、定线问题典｜例｜精｜析典例1．已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.典例2．在平面直角坐标系中，双曲线，，分别为曲线的左焦点和右焦点，在双曲线的右支上运动，的最小值为1，且双曲线的离心率为2．(1)求双曲线的方程；(2)当过的动直线与双曲线相交于不同的点，时，在线段上取一点，满足．证明：点总在某定直线上．一是参数消元不彻底，求过定点时，未将直线方程整理为关于参数的恒等式形式，无法分离出定点坐标，或消元时遗漏参数的系数为零的核心条件。二是特殊情形遗漏，仅考虑斜率存在的直线，忽略斜率不存在（垂直x轴）的情况，导致定点或定直线解不完整。三是存在性验证缺失，未检验直线与双曲线联立后的Δ≥0，得出的定点对应的直线实际与双曲线无交点；证交点在定直线时，未结合双曲线范围确认点的有效性，结论缺乏严谨性。四是逻辑倒置失误，误将“定点满足直线方程”与“直线过定点”的因果关系颠倒，引发推导逻辑断层变式1．已知双曲线的离心率为，点在上．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．变式2．平面内点到点与到直线的距离之比为3.(1)求点的轨迹的方程;(2)为的左右顶点，过的直线与交于（异于）两点，与交点为，求证：点在定直线上.

题型12双曲线中的数列问题典｜例｜精｜析典例1．已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.(1)求点，的坐标；(2)记，证明：数列为等比数列；(3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值.典例2．已知双曲线的渐近线方程为，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)求的标准方程；(2)证明：数列是等比数列；(3)若，求的面积.提示：在中，设，则.利用直线与双曲线的位置关系，求解对应的点的坐标，然后利用坐标的关系，进行数列的证明，利用坐标，进行三角形面积的表示.变式1．已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为(1)求的值：(2)记．证明：数列为等比数列；(3)记的面积为．证明：是定值．变式2．已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的