2026高考数学复习高效培优专题18 抛物线定义与性质及其综合问题（培优讲义）（原卷版）

专题18抛物线定义与性质及其综合问题目录第一部分研·考情精析锁定靶心高效备考第二部分理·方法技巧梳理知识总结技巧与方法第三部分攻·题型速解典例精析+变式巩固【题型01】抛物线的定义和方程【题型02】利用抛物线的定义求解最值【题型03】抛物线的简单性质【题型04】抛物线的中点弦公式【题型05】抛物线的焦点弦性质【题型06】抛物线中阿基米德三角形【题型07】抛物线中的面积问题【题型08】抛物线中向量问题【题型09】抛物线中斜率问题【题型10】抛物线中定点、定线问题【题型11】抛物线中交点及数列问题第四部分练·决胜冲刺精选好题+通关训练考向聚焦抛物线是高考解析几何核心考点，考向精准且高频。①基础小题：考查标准方程、焦点坐标、准线方程，及的几何意义，结合定义求距离、最值，多为基础送分题。②核心性质：聚焦焦半径、焦点弦、通径结论应用，常考焦点弦长公式、中点坐标、垂直性质，侧重结论活用。③综合大题：与直线联立，考查弦长、面积、定点定值、最值问题，融合韦达定理、数形结合，偶结合向量、导数综合考查。④创新考向：以抛物线为载体，考查轨迹方程求解、存在性问题，侧重逻辑推理与代数运算能力，难度中等，是解析几何必拿分模块。关键能力核心抓定义活用与代数运算两大能力，紧扣数形结合核心。一是定义转化能力，熟练用抛物线上点到焦点与准线距离相等，快速转化线段长度、求最值，规避复杂计算；二是方程驾驭能力，精准写四种标准方程，快速求焦点、准线，掌握p的几何意义；三是联立运算能力，直线与抛物线联立，巧用韦达定理代换，简化弦长、中点、面积计算，减少运算量；四是性质迁移能力，熟记焦半径、焦点弦、通径结论，灵活套用解题；五是数形分析能力，结合图像分析位置关系、最值范围，规避漏解。关键在减少盲目运算，用定义、性质简化过程，提升解题效率与准确率。备考策略立足基础，狠抓核心，精准突破。夯实基础：熟记四种标准方程、焦点准线坐标及p的几何意义，吃透定义本质，确保小题零失误。吃透性质：熟练掌握焦半径、焦点弦、通径核心结论，背记弦长、面积公式，提升解题速度。强化运算：专项练直线与抛物线联立、韦达定理应用，攻克代数化简、消元计算难点，避免运算失分。专题突破：聚焦定点定值、最值范围、存在性高频题型，总结解题模板，活用数形结合。错题复盘：归类运算失误、性质误用、定义漏用问题，针对性补弱，做到基础题稳拿、中档题快解，高效突破解析几何高频考点。

方法技巧01选填的常用方法（1）定义法（核心）：利用“抛物线上点到焦点=到准线距离”，转化线段长度、求最值，轨迹，避开复杂联立，小题秒杀首选。（2）待定系数法：设抛物线标准方程（先定开口方向），代入已知点，焦点，准线，求参数，快速写方程，基础题必用。（3）韦达定理法：直线与抛物线联立，设而不求，用韦达定理代换，求弦长、中点、面积、定点定值，大题核心解法。（4）性质结论法：熟记焦半径、焦点弦、通径、焦点弦中点坐标等结论，直接套用，大幅提速（如焦点弦长）。（5）数形结合法：画图像分析开口、焦点位置、直线与抛物线交点，判断最值范围、位置关系，规避漏解，错解。（6）坐标转化法：设抛物线上点坐标（如设为），简化向量、距离、斜率计算，减少运算量。

方法技巧02抛物线的常用做题结论和技巧常见的抛物线解题技巧焦点弦过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论：（1）；．（2）焦半径坐标式：.（3）焦半径倾斜式：，且.（4）（5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切；（6）三点共线，三点共线．（7），.（8）.（9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行.（10）.（11）.

题型01抛物线的定义和方程典｜例｜精｜析典例1．已知为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为4，到轴的距离为2，则（） A．2 B．3 C．4 D．6典例2．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（） A． B． C．6 D．4定义易错：混淆“点到焦点距离=到准线距离”，忽略定点不在定直线上的前提；最值问题未用定义转化，盲目计算。方程易错：未先判断开口方向，随意设标准方程；记错焦点、准线坐标，混淆的几何意义（焦点到准线距离为）；漏写，导致开口方向出错。核心避坑：先定开口再设方程，牢记四种标准方程对应焦点、准线；紧扣定义转化距离，时刻注意的正值性，避免基础失分。变｜式｜巩｜固变式1．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（） A． B． C． D．变式2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（） A． B． C．6 D．4

题型02利用抛物线的定义求解最值典｜例｜精｜析典例1．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（） A． B．2 C． D．3典例2．已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（） A．1 B．2 C．3 D．4核心错因：未紧扣“点到焦点=点到准线距离”转化，盲目用两点间距离公式硬算，增加运算量且易出错；忽略动点轨迹为抛物线，误判最值取点条件。常见失误：转化后未找“垂线段最短”，错选交点；混淆定点位置（在抛物线内，外），导致最值模型选错；漏看抛物线范围，忽视横坐标，纵坐标取值限制。避坑关键：先定义转化距离，再数形结合找垂线段，明确定点位置，结合抛物线范围验证最值取点，避免盲目计算失分。变｜式｜巩｜固变式1．已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（） A．1 B．2 C．3 D．4变式2．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4

题型03抛物线的简单性质典｜例｜精｜析典例1．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（） A．1 B． C．2 D．典例2．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则核心易错在焦半径、焦点弦、对称性及的意义。混淆焦半径公式，未对应开口方向，错用或；焦点弦长漏加，忽视通径是最短焦点弦；误判对称性，忽略抛物线无中心只有对称轴；记错的几何意义，把焦点到顶点距离当成；忽略范围限制，求最值时未考虑横、纵坐标取值边界；焦点、准线坐标符号写错，开口与方程形式不匹配。避坑关键：牢记性质对应开口，数形结合标注关键点，强化公式与符号记忆。变｜式｜巩｜固变式1．记抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与分别交于两点，且，若的面积为，则（） A．2 B．4 C．6 D．8变式2．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（） A． B． C． D．

题型04抛物线的中点弦公式典｜例｜精｜析典例1．已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（） A．或 B．或 C．或 D．或典例2．已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（） A． B． C．的面积为 D．核心易错：点差法仅适用于中点弦的情况，忽略直线与抛物线相交的前提，盲目套公式致错；混淆不同开口的中点弦斜率公式，记错系数与p的关系；漏验证判别式Δ>0，误判不存在的中点弦；设点时坐标写错，相减消元计算出错，符号混乱；忽略抛物线范围，中点坐标超出轨迹未检验。关键避坑：先判断开口再用对应公式，必验证Δ>0，相减时细心核对符号，结合图像检验中点合理性，杜绝生搬硬套失分。变｜式｜巩｜固变式1．过抛物线的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦的垂直平分线经过点，则p等于（） A． B． C． D．变式2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（） A． B． C．5 D．6

题型05抛物线的焦点弦性质典｜例｜精｜析典例1．（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（） A．的方程为 B． C．以为直径的圆与相交 D．为钝角三角形典例2．（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D．混淆焦点弦斜率与弦长公式适用条件，忽视斜率不存在（垂直对称轴）时弦长为，斜率存在时弦长为或（为弦与对称轴夹角）。误认焦点弦两端点坐标关系，需牢记、，与普通弦区分。忽略焦点弦与准线关联，过两端点作准线垂线，垂足与焦点三点共线，此性质易漏用。计算焦点弦中点轨迹时，忘记用点差法或参数法验证，导致轨迹方程缺范围。变｜式｜巩｜固变式1．（多选）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线变式2．（多选）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为

题型06抛物线中阿基米德三角形典｜例｜精｜析典例1．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论不正确的是（） A． B． C． D．点P的坐标为典例2．过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：①点必在抛物线的准线上；②；③设、，则的面积的最小值为；④；⑤平行于轴.其中正确的个数是（） A． B． C． D．概念混淆：误将任意弦与切线构成的三角形当作阿基米德三角形，忽略核心条件——弦的中点与抛物线顶点连线平行于对称轴，或切线需与抛物线相切于弦的端点。切线方程失误：求切线方程时，记错抛物线切线公式（如在点处切线为，或代入点坐标时符号出错。面积公式误用：阿基米德三角形面积与弦长、抛物线参数p相关，易混淆为普通三角形面积公式，忽略面积与弦到焦点距离的关联，或计算时遗漏参数p的系数。性质推论遗漏：忽略“阿基米德三角形的外接圆过抛物线焦点”“切线交点轨迹与抛物线的对偶关系”等推论，导致解题时无法利用隐含条件简化计算。变｜式｜巩｜固变式1．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②；③．已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的面积为（） A． B． C． D．变式2．（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（） A． B．若，则点处的切线方程为 C．存在点，使得 D．面积的最小值为4

题型07抛物线中的面积问题典｜例｜精｜析典例1．在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点的直线与抛物线交于两点，且面积为4，求直线的方程．典例2．已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为.(1)求的标准方程.(2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程.混淆积分上下限，求抛物线与直线围成面积时，未判断函数上下位置，直接积分导致符号错误。误用面积公式，将抛物线弦与弧围成的“弓形面积”等同于三角形面积，忽略底高的弓形面积公式。遗漏参数范围，参数方程求面积时，未根据参数对应坐标确定积分区间，或忽略抛物线对称性重复计算。忽视绝对值，积分结果为负时未加绝对值，导致面积为负的荒谬结论。变｜式｜巩｜固变式1．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且.(1)求抛物线C的方程.(2)已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程.变式2．在平面直角坐标系中，已知纵坐标为2的点是抛物线上一点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，若直线，的斜率之和为0．(1)求抛物线的方程；(2)设，都在轴下方，且点在点的左侧，直线，与轴分别交于点，，记，的面积分别为，，求的最大值；变式3．已知抛物线的焦点为，为上一点，且.(1)求的方程；(2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.（i）求点的坐标；（ii）求与的面积之和的最小值.

题型08抛物线的向量问题典｜例｜精｜析典例1．已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为．(1)求的方程；(2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程．典例2．已知抛物线上的两点的横坐标分别为.(1)求抛物线的方程；(2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.坐标代入失误：用向量条件转化坐标时，混淆向量点乘、共线的代数表达式，如把错算成坐标和为0。忽略抛物线范围：利用向量共线、垂直列方程后，未验证解是否满足抛物线定义域（如中），导致增根。性质套用混淆：误将焦点弦的向量坐标关系（）套用到普通弦上，或向量模长计算漏开平方。向量方向忽视：涉及向量投影、分点时，未区分向量方向，导致分点比例符号错误。变｜式｜巩｜固变式1．已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值.变式2．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于．(1)求抛物线的方程；(2)①求直线的斜率的取值范围；②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由．

题型09抛物线的斜率问题典｜例｜精｜析典例1．已知抛物线焦点为，点在上，且.(1)求抛物线的焦准距；(2)若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点.典例2．设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．(1)求抛物线的方程；(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．角度相等转斜率关系时，混淆到角公式与夹角公式，忽略到角的方向差，直接套用夹角公式致错。直角条件转化失误，误将两直线垂直的斜率积−1，套用到斜率不存在的情况，遗漏垂直于对称轴的直线。利用斜率求角度时，忽视抛物线定义域，未验证斜率对应的点是否在抛物线上，出现增根。角度和差公式与斜率结合时，计算三角恒等变换出错，导致斜率关系推导错误。变｜式｜巩｜固变式1．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且．(1)求抛物线的方程．(2)若是抛物线上一点，过点的直线与拋物线交于两点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．变式2．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足.(1)求抛物线C的方程；(2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线.

题型10抛物线的定点、定线问题典｜例｜精｜析典例1．已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点.(1)求抛物线的方程；(2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标.法二：当直线的斜率不存在时，设，典例2．已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M．(1)求E的方程；(2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上；(3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点，参数分离不彻底：设直线方程时，未将含参数项与常数项分离，无法提取恒成立条件，导致漏找定点。特殊情况验证缺失：仅用一般斜率情况推导定线，忽略斜率不存在或为0的情形，造成定线范围不全。变量混淆：将抛物线参数p与直线参数混为一谈，推导时误消关键参数，得出错误定点坐标。性质套用错误：把焦点弦相关定线结论套用到普通弦上，忽视结论的适用前提。变｜式｜巩｜固变式1．在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过轴上点的直线与相切于点，过且垂直于的直线交于两点，为线段的中点，证明：直线过定点．变式2．已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知是焦点，若点，在以（异于点）为直径的圆上，求直线的方程；(3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上．

题型11抛物线的交点及数列问题典｜例｜精｜析典例1．已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为．(1)求的准线方程；(2)证明：；(3)求的最小值及此时点的坐标．典例2．抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点.(1)求抛物线的方程；(2)求证：；(3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）.交点坐标推导失误：联立抛物线与直线方程求交点时，计算韦达定理的根与系数关系出错，导致数列通项的坐标基础错误。数列模型混淆：误将交点横坐标/纵坐标的等差、等比关系套反，或忽视数列项数与交点个数的对应关系，出现多算、漏算项的问题。性质滥用：把焦点弦的坐标乘积性质（）套用到普通弦的交点数列中，导致通项公式推导偏差。求和边界遗漏：数列求和时，未根据抛物线定义域限制交点坐标范围，导致求和的项数边界错误，结果偏离。递推关系断裂：由交点坐标构造递推公式时，忽略前后项的几何关联（如切线交点、中点轨迹），造成递推逻辑不成立。变｜式｜巩｜固变式1．已知抛物线：，圆：，O为坐标原点.(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)已知点，M、N是抛物线上的两个点，满足直线，均与圆C相切，判断并证明直线与圆C的位置关系；(3)若直线l：分别与抛物线交于点，，与圆C交于点、，且与面积相等，求m的取值范围.变式2．已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设．(1)求C的方程；(2)设数列的前n项和为，证明：；(3)求的面积．变式3．已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为．(1)求的方程；(2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为．①证明：当时，；②设的面积为，证明：．一、单项选择题1．（2025·湖南长沙·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为.若，则（） A．2 B． C．4 D．2．（2025·广东湛江·二模）已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（） A． B． C． D．3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则（） A． B． C． D．4．（2025·江西·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点