2026高一数学寒假自学课（苏教版）9.2.2向量的数乘（2知识点+8考点）（原卷版）

9.2.2向量的数乘内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：向量的数乘运算1、向量的数乘定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa，它的长度与方向规定如下：（1）|λa|＝|λ||a|；（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；（3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．2、向量数乘的几何意义当时，把向量沿的相同方向放大或缩小；当时，把向量沿的相反方向放大或缩小．3、向量的数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb．4、向量的线性运算向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．若一个向量可以用另一些向量的线性运算得到，我们就说这个向量可以用另一些向量线性表示．例如，可称由与线性表示．对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b．（2026高三·全国·专题练习）（）A． B．C． D．知识点2：向量共线定理1、向量共线定理：一般地，对于两个向量，，由如下的向量共线定理：设为非零向量，如果由一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使．【注意】（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．2、三点共线定理已知平面内三点，为不同于的任意一点，三点共线当且仅当存在实数使得，且．3、一个重要结论——中点向量公式如图，点为线段中点的充要条件是，我们称此结论为中点向量公式．（2025高一·全国·课后作业）设，是不共线的两个非零向量．(1)若，，，求证：A，B，C三点共线；(2)若与共线，求实数的值．题型一：向量的线性运算【例1】（2025高一·福建龙岩·期中）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2025高一·全国·课后作业）化简下列各式：(1)；(2)（m，n为实数）．【变式1-2】（2025高一·辽宁抚顺·月考）化简下列各式：(1)．(2)；(3)．【变式1-3】（2025高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量：(1)；(2)；(3)．题型二：已知向量表示相关向量【例2】（2025高一·四川泸州·期末）在中，，则（

）A． B． C． D．【变式2-1】（25-26高二·安徽·月考）在中，点在上，满足，则（

）A． B．C． D．【变式2-2】（2025高一·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（

）A． B．C． D．【变式2-3】（2025高一·安徽蚌埠·月考）已知平行四边形中，是的中点，则（

）A． B．C． D．题型三：向量共线的判定与求参【例3】（2025高三·广东·期中）已知向量不平行，，则（

）A． B． C．1 D．2【变式3-1】（2025高一·河南驻马店·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数.【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则．题型四：三点共线的判定与求参【例4】（2025高一·河北邯郸·月考）已知向量不共线，，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【变式4-1】（25-26高一·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（

）A． B． C． D．【变式4-2】【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（）A． B．C． D．【变式4-3】（2026高三·全国·专题练习）是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A．3 B．－3C．－2 D．2题型五：三点共线定理的应用【例5】（2025高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（25-26高三·湖北孝感·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（25-26高三·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（

）

A．5 B．9 C． D．【变式5-3】（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6题型六：线性运算求长度比【例6】（2025高一·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（

）A．2 B． C． D．【变式6-1】（2025·海南海口·模拟预测）若向量（O，A，B，C互不重合），则（

）A．2 B． C． D．3【变式6-2】（2025高三·北京朝阳·期中）已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．3【变式6-3】（2025高一·河北石家庄·月考）已知平面上不共线的四点，若，则等于（

）A． B． C． D．题型七：线性运算求三角形面积比【例7】（25-26高二·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（

）A． B． C． D．【变式7-1】（25-26高三·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（

）A． B． C． D．【变式7-2】（25-26高二·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（

）A． B． C． D．【变式7-3】（25-26高三·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（

）A．-2 B． C． D．2题型八：三角形的“四心”问题【例8】（2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式8-1】（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（

）．A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式8-2】（2025高一·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的.（填:重心、内心、外心或垂心）【变式8-3】（2025高一·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（

）A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心一、单选题1．（2025高一·江西上饶·月考）“”是“实数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025·海南·模拟预测）已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（

）A． B． C． D．3．（25-26高三·山东·期中）已知向量不共线，，则是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．（2025高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（

）A．三点共线 B．、、三点共线C．、、三点共线 D．、、三点共线5．（2025高三·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（）A． B．C． D．6．（2025高一·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（

）A． B．C． D．7．（25-26高三·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（

）A． B． C．1 D．28．（25-26高三·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（

）A． B． C． D．9．（25-26高三·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题10．（2025高一·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（

）.A．与方向相反 B．与方向相同C． D．11．（2025高一·内蒙古包头·期中）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（

）A．B．若是的中点，则C．若是的中点，则D．若，则12．（2025高一·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（

）A． B． C． D．13．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（

）A．B．C．D．的最小值为三、填空题14．（25-26高三·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为.15．（25-26高三·广西南宁·月考）已知非零向量，满足，则．16．（2025高三·北京·期中）若，，与不共线，则平分线上的向量．17．（25-26高三·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为.18．（25-26高三·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则．19．（2025高一·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则.20．（25-26高二·全国·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则.21．（2025高三·全国·专题练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的心．四、解答题22．（2025高一·广东东莞·月考）（1）化简；（2）若，求向量.23．（2025高一·重庆巫山·期末）设是两个不共线的向量，已知．(1)求证：三点共线；(2)若且，求实数的值．24．（2025高一·全国·专题练习）在四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，，记AC、BD相交于点M.结合平面向量的有关知识回答下列问题.(1)证明：