2026高一数学寒假自学课（苏教版）专题01 集合及其运算（5重点+12题型）（原卷版）

专题01集合及其运算内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破【考点01】集合的概念与元素特性1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．3、元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．【考点02】元素与集合的关系1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．2、常见数集的记法与关系图集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR【考点03】集合的表示方法1、自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+2、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】元素与元素之间必须用“，”隔开；集合中的元素必须是明确的；集合中的元素不能重复；集合中的元素可以是任何事物．3、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素．4、图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法．【考点04】集合间的基本关系1、子集、真子集、相等、空集表示关系文字语言符号语言图形语言基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素（则）或真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A或相等集合A，B的元素完全相同空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．【考点05】集合的基本运算1、集合交并补运算的表示集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言2、集合运算中的结论（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.（3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；【二级结论1】集合中的一元二次方程问题1.一元二次方程根的个数一元二次方程根的个数，由判别式的符号来确定．若，则方程有两个不等实数根；若，则方程有两个相等实数根；若，则方程没有实数根．坑神敲黑板对于方程，二次项系数含参，应先考虑a是否为0，若：①时，方程是一次方程，有唯一解；②时，方程恒成立，有无数解；③时，方程无解．2.解一元二次方程的方法（1）配方法：将方程配成的形式，当时，直接开平方求解；当时，方程没有实数根．（）（2）公式法：对于方程，当时，；当时，；当时，方程没有实数根．（3）因式分解法：将方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的积，再令这两个一次因式分别等于0求解．3.根与系数的关系若一元二次方程的两个实根分别为，则，．注：十字相乘法→是因式分解的一种方法，主要用于解一元二次方程和一元二次不等式根据，用“十字相乘法”对形如的二次三项式进行因式分解．第一列的积为二次项系数，第二列的积为常数项，列间的交叉乘积的和为一次项系数，则．对于十字相乘法，当二次项系数为1时，“拆常数项，凑一次项系数”；当二次项系数不为1时，“拆二次项系数和常数项，凑一次项系数”，因此十字相乘法可概括为“竖拆，叉乘，横写”．注意这里渗透了大除法思想：【二级结论2】德·摩根定律设U为全集，A，B为U的子集，则①，即两个集合并集的补集是这两个集合补集的交集，其图形解释如图1所示；②，即两个集合交集的补集是这两个集合补集的并集，其图形解释如图2所示．上述两个结论统称为德·摩根定律，简记为“并之补等于补之交，交之补等于补之并”．【二级结论3】容斥原理1.容斥原理容斥原理实质上就是一种计数方法，在计数时我们先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后把计数时重复计算的数目排斥出去，最终使得计算结果既无遗漏又无重复．2.二元容斥原理及其内涵用表示有限集合中元素的个数．①二元容斥原理：对于集合A，B来说，有．②二元容斥原理的内涵：首先画出Venn图（如图），由Venn图可以发现与相比，多算了1次集合中元素的个数，因此需要减掉．从而得到二元容斥原理．此时回到开头的问题，相当于，根据二元容斥原理可直接得到，因此该团体节目最多能安排33人．3.三元容斥原理及其内涵①三元容斥原理：对于集合来说，有．②三元容斥原理的内涵：与二元情形一样的思路，画出Venn图（如图），由Venn图可以发现与相比，多算了集合两两相交区域中的元素个数，因此需要减掉区域中元素的个数．但是在减掉区域中元素个数的过程中，我们把区域中的元素个数减了3次，而计算时将区域中的元素个数只计算了3次，于是需要再加上1次．因此得到三元容斥原理．【题型1元素与集合关系的判定】高妙技法判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可.此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（

）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．42．（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则D．3．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，则0与集合A的关系为（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（

）A． B． C． D．5．（25-26高一上·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（

）A．16 B．15 C．14 D．13【题型2根据元素与集合的关系求参数】高妙技法已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．6．（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（

）A． B． C．或 D．07．（22-23高一上·浙江杭州·期中）集合，若，则8．（25-26高一上·辽宁·月考）已知，则实数的取值集合为.9．（20-21高一上·河北沧州·期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（

）A．3 B．1 C． D．10．（25-26高一上·福建漳州·月考）已知集合，集合．(1)求满足的条件；(2)若，求的值；(3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．【题型3根据集合中元素个数求参数】高妙技法根据集合元素个数的要求，分析元素的构成规律。列出关于参数的方程或不等式，结合集合元素的确定性、互异性等特性，求解参数的取值范围或具体值，注意排除使元素个数不符合条件的解。注：对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解.11．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为.12．（23-24高三上·江苏南通·期末）集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是．13．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（25-26高一上·重庆·期中）已知关于的不等式的解集为，集合，若中有且只有三个元素，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．15．（24-25高一上·广东中山·月考）已知集合.(1)若中有两个元素，求实数的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求实数取值范围.16．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合．(1)若，求实数的取值集合．(2)若的子集有两个，求实数的取值集合．【题型4集合与集合间关系的判定】高妙技法判断集合间关系的常用方法：1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系；2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系；3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法。17．（23-24高一上·江苏盐城·期末）设集合，则下列选项正确是（

）.A． B． C． D．18．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知集合，则下列选项中说法不正确的是（

）A． B． C． D．19．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知集合，则与之间的关系是（

）A． B． C． D．20．（22-23高一上·福建厦门·期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．以上选项均不正确【题型5根据集合间的关系求参数】高妙技法利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.21．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（

）A．0 B．1 C．0或1 D．422．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，若，则等于（

）A．2 B．1或2 C．1或2或 D．23．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为.24．（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．25．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（

）A． B． C． D．26．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．27．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为．【题型6确定集合的子集或真子集】高妙技法如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．28．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．529．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合A满足则满足条件的集合A的个数是（

）A．7 B．8 C．15 D．1630．【多选】（21-22高一上·福建福州·期中）已知集合，集合，则集合可以是（

）A． B． C． D．31．（25-26高一上·广东·期末）设集合，则的子集个数有（

）A．16 B．64 C．128 D．21232．（25-26高一上·全国·单元测试）集合的非空子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．533．（25-26高一上·云南文山·月考）已知集合，，则满足的集合的个数为.【题型7集合相等及其应用】高妙技法由集合相等可知两集合元素完全相同，列出所有可能的元素对应等式组。解方程组得到参数值后，代入集合检验，确保两集合元素完全一致且满足互异性，剔除导致集合元素重复的解。34．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知集合，，若，则a等于（

）A．-1或3 B．0或1 C．3 D．-135．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．336．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（

）A．1或2 B．或0 C．1 D．37．（23-24高一上·湖南·月考）已知集合，若，则.38．（25-26高一上·陕西西安·月考）含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为.39．（25-26高一上·黑龙江鸡西·月考）已知，，若集合，则的值为（

）A． B．1 C． D．240．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（

）A．0 B． C．1 D．2【题型8空集的运算及其性质应用】高妙技法0，{0}，∅，{∅}的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}41．（24-25高一上·山西大同·月考）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（

）A．1 B． C． D．42．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是.43．【多选】（20-21高一上·广东汕尾·期末）已知集合，且，则实数的取值可以为（

）A． B．0 C．1 D．2【题型9集合的交并补混合运算】高妙技法集合运算的基本类型（1）具体集合的运算：具体集合（给出或可以求出集合中元素的具体值（范围））的交、并、补运算，其解法是化简集合，利用列举法或借助数轴、Venn图等求解；（2）抽象集合的运算：没有给出具体元素的集合间关系的判断和运算，解决此类问题的途径有二：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用Venn图化抽象为直观.44．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．45．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，则（）A． B．C． D．46．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．47．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．48．（21-22高一上·湖北孝感·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．49．（25-26高三上·河北保定·期中）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．50．（24-25高二下·江苏淮安·期末）设全集，集合，则中元素个数为（

）A．0 B．2 C．3 D．451．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．52．（24-25高一下·江苏盐城·期末）若集合，，则（）A． B． C． D．53．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．54．（21-22高一上·江苏扬州·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．55．（24-25高一上·山东威海·期末）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．56．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（

）A． B． C． D．57．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（

）A． B．C． D．【题型10根据集合的运算结果求参数】高妙技法利用集合的运算求参数的方法（1）若已知集合的运算结果（实质是集合间的关系）求参数的值（范围），一般先确定不同集合间的关系，即元素之间的关系，再列方程或不等式求解.在求解过程中要注意空集的讨论，避免漏解；（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.58．（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知集合．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．59．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.60．（22-23高一上·江苏徐州·期末）已知集合.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.61．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合，或．(1)当时，求和；(2)若，且，求实数a的取值范围．62．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知集合，若，满足条件的所有集合B中元素的和.63．（21-22高一上·江苏连云港·期末）已知集合，集合．(1)求；(2)设，若，求实数的取值范围．64．（22-23高一上·江苏连云港·期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．已知集合．(1)若，求；(2)若________，求实数a的取值范围．【题型11Venn图在集合运算中的应用】高妙技法韦恩图的应用元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达。有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题。65．【多选】（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（

）A． B．C． D．66．（23-24高一上·河南·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A． B． C． D．67．【多选】（23-24高一上·广东江门·月考）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（

）

A． B． C． D．68．（21-22高三上·江苏南通·期末）如图，集合均为的子集，表示的区域为（

）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ69．（24-25高一上·江苏·期末）已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（

）A． B．C． D．70．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为；同时参加田径和球类比赛的人数为71．（21-22高一上·江苏宿迁·期末）立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”若答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，则第一、二题都没答对的有人．72．（22-23高一上·湖北·月考）国内某地为进一步提高城市市花一桂花知名度和美誉度，促进城市品牌的建设提速强效，相关部门于近期组织开展“蟾宫折桂，大学生认养古桂花树”系列活动，以活动为载体，带动桂花产业、文化、旅游、经济发展．着力打造以桂花为主题的城市公共品牌和城市标识，力争通过活动和同步的媒体宣传，实现从“中国桂花之乡”到“中国桂花城”的转变．会上，来自该市的部分重点高中共计100名优秀高中应届毕业生现场认养了古桂花树，希望他们牢记家乡养育之恩，不忘桂乡桑梓之情，积极对外宣传推介家乡，传播桂花文化．这100名学生在高三的一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有．【题型12集合运算的创新问题】高妙技法在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。73．（23-24高二下·江苏连云港·期末）定义：集合且.若，则（

）A． B． C． D．74．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是.75．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（

）A．自然数集是闭集合B．无理数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合，为闭集合，则也为闭集合76．（20-21高一上·江苏苏州·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作．若，则为（

）A． B．C． D．77．（22-23高一上·贵州遵义·期中）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．78．（21-22高一上·江苏连云港·月考）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（

）A．4 B．6 C．8 D．979．（20-21高一上·上海浦东新·月考）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（

）（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.A．（1）（3） B．（1）（2）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）一、单选题1．（23-24高二上·江苏连云港·期末）设为实数，，，若，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．43．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（

）A． B．1 C． D．04．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（24-25高二下·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（

）A．－2 B．0 C．1 D．26．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（

）A．12 B．13 C．16 D．188．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（20-21高一上·江苏南京·期末）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为，且．类似地，对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此，下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．（22-23高一上·辽宁·月考）已知全集，集合M，N的关系如图所示，则（

）A． B．C． D．11．（22-23高一上·江苏无锡·期末）设，若，则m的值可以为（

）A．0 B． C．1 D．212．（21-22高一上·全国·课前预习）已知集合，，下列命题正确的是（

）A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得C．当时， D．存在实数a使得13．（20-21高一上·福建三明·月考）对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（

）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得14．（19-20高一上·江苏南通·期末）已知全集，集合、满足⫋，则下列选项正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题15．（25-26高三上·上海宝山·期末）若全集，集合，则．16．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知集合，则.17．（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有人.18．（25-26高一上·广东·期末）集合，，若，则．19．（20-21高二上·江苏淮安·期末）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为．20．（25-26高一上·陕西商洛·月考）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛