专题四　微重点1　球的切、接问题 -大二轮数学专题复习

微重点1球的切、接问题[考情分析]空间几何体的外接球、内切球、截面问题是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置.考点一空间几何体的外接球考向1柱体的外接球例1已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为3，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则该外接球的表面积等于(A.8π B.9π C.10π D.11π答案A解析由AB=2，AC=1，∠BAC=60°及余弦定理可得BC=AB2+A所以AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点.设△ABC的外接圆半径为r，则r=AB2=1又S△ABC=12BC·AC=12×3所以V三棱柱ABC-A1B1C1=S△ABC·AA因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，设外接球的半径为R，则R2=r2+AA122=12所以外接球的表面积S=4πR2=4π×2=8π.考向2锥体的外接球例2已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，若PD=a，则该四棱锥外接球的表面积为()A.πa2 B.73πa2C.74πa2 D.5πa答案B解析根据题意得出图形，球心为O，E，F分别为△PAD和正方形ABCD的中心，因为侧面PAD⊥底面ABCD，PD=a，所以四棱锥的高为a2-a2底面正方形外接圆半径为22a由OA=OP，即AF2+OF2=PE2+OE2，即22a2+OF2=解得OF=36a所以四棱锥外接球半径的平方，即AO2=OF2+AF2=7故其表面积为4π×7a212=73考向3台体的外接球例3(2024·秦皇岛模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1的所有顶点都在表面积为65π的球O的球面上，且AB=2A1B1=43，则正三棱台ABC-A1B1C1的体积为.答案213或283解析设点O1，O2分别是△A1B1C1，△ABC的外接圆的圆心，球O的半径为R，则4πR2=65π，解得R=652，且O1，O2，O正三棱台ABC-A1B1C1的高为O1O2，在等边△ABC中，AB=43由正弦定理可得2AO2=ABsin60°=得AO2=4.在等边△A1B1C1中，A1B1=23由正弦定理可得2A1O1=A1B得A1O1=2.在Rt△OO1A1中，OO12+A1O12即OO12+4=654，得在Rt△OO2A中，OO22+AO22即OO22+16=654，得如果三棱台的上下底面在球心O的同侧，如图1所示，则正三棱台的高为O1O2=OO1-OO2=72-12此时正三棱台ABC-A1B1C1的体积V1=13×(43)2如果三棱台的上下底面在球心O的两侧，如图2所示，则正三棱台的高为O1O2=OO1+OO2=72+12此时正三棱台ABC-A1B1C1的体积V2=13×34×(23综上，正三棱台ABC-A1B1C1的体积为213或283.考向4可补成规则几何体的外接球例4在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=4，PC与平面ABCD所成角的大小为θ，且tanθ=223，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为A.26π B.28π C.34π D.14π答案C解析如图，因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，所以可将四棱锥P-ABCD补成长方体PEFG-ABCD，则四棱锥P-ABCD的外接球也是长方体PEFG-ABCD的外接球.由PA⊥平面ABCD，所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角θ，则tanθ=PAAC=4AC=223设四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R，因为长方体PEFG-ABCD的对角线PC的长即为其外接球的直径，所以PC=2R=AC2+PA2=(3所以四棱锥P-ABCD外接球的表面积为4πR2=34π.[规律方法]求解空间几何体的外接球问题的策略(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径.(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的.(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.跟踪演练1(1)(2024·凉山模拟)已知在三棱锥P-ABC中，PA=3，PB=PC=2，底面ABC是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为(A.3π B.13π3C.4π D.6π答案B解析在三棱锥P-ABC中，PA=3，PB=PC=2，正△ABC的边长为1则PA2+AB2=4=PB2，即有PA⊥AB，同理PA⊥AC，而AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，于是PA⊥平面ABC，令正△ABC的外心为O1，三棱锥P-ABC外接球球心为O，则OO1⊥平面ABC，显然球心O在线段PA的中垂面上，取PA的中点D，则OD⊥PA，而OO1∥PA，则四边形ADOO1是矩形，OD=O1A=23×ABsin60°=所以球O的半径R=OP=OD2+PD2=332+3(2)(2024·白山模拟)已知四面体ABCD中，∠BAC=∠DAC=∠DAB=90°，AB=AD=2AC=4，点E在线段AB上，过点A作AF⊥DE，垂足为F，则当△CDF的面积最大时，四面体ACDE外接球的表面积与四面体ABCD外接球的表面积之比为()A.35 B.4C.3745 D.答案C解析由题意可知，四面体ABCD中AB，AC，AD两两互相垂直，设AE=x，则DE=16+x2，由等面积法可知，故DF=16-16由已知得AC⊥平面ABD，AF，DF⊂平面ABD，故AC⊥AF，AC⊥DF，CF=4+因为DF⊥AF，AC∩AF=A，AC，AF⊂平面AFC，故DF⊥平面AFC，又CF⊂平面AFC，故DF⊥CF，故S△CDF=12·DF·CF≤12·DF2当且仅当DF=CF即16-16x即x2=485时取等号此时四面体ACDE外接球的半径R1满足(2R1)2=AD2+AC2+AE2=1485，而四面体ABCD外接球的半径R2满足(2R2)2=AB2+AC2+AD2故所求比值为4πR124πR考点二空间几何体的内切球例5(1)(2024·南通、扬州、泰州七市调研)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为35，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为(A.12π B.27π C.64π9 D.答案D解析作出如图所示正四棱台，其中OO1为正四棱台的高，EE1为其斜高，因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为35则B1O1=2，BO=4OO1=(35)因为OO1=33>2+82=5，故半径最大的球不与上、下底面同时相切EE1=(35)则sin∠OEE1=OO1则∠OEE1=π过O，E，E1，O1作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则∠O2EO=π则OO2=4tanπ6=433<OO即该正四棱台内半径最大的球的半径r=433，球的表面积S=4πr2(2)(多选)(2024·来宾模拟)下列物体中，能够被整体放入棱长为2的正四面体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(参考数据：6≈2.449，3≈1.732)(A.底面直径为1，高为3的圆锥B.底面边长为1，高为0.8的正三棱柱C.直径为0.8的球体D.底面直径为0.5，高为0.9的圆柱体答案BCD解析对于正四面体ABCD，作AO⊥平面BCD，交平面BCD于点O，连接OD，且O为正三角形BCD的中心，又棱长为2，则正三角形BCD的内切圆半径r=3正四面体的高AO=AD2-OD2设正四面体内切球半径为t，则V=4×13×S△BCD·t=13×S△BCD×则t=66≈0.408对于A，圆锥的高3>263，所以不符合题意，对于B，底面边长为1，高为0.8的正三棱柱，如图所示，当MO=0.8时，设△EFG内切圆的半径为r'，则r'r=AMAO≈0.51，则r'≈0.51×33≈0.294而边长为1时的正三角形内切圆半径为36≈0.289<0.294故满足题意，故B正确；对于C，直径为0.8的球体，其半径为0.4<0.408，故满足题意，故C正确；对于D，如图，当MO=0.9时，设△EFG内切圆的半径为r1，则r1r=AMAO≈1.633-0.91.633则r1≈0.449×33≈0.259>0.25，故满足题意，则D正确[规律方法]空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.跟踪演练2(1)(2024·常德模拟)如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥A1-EFG，且E，F，G分别为棱A1A，A1B1，A1D1靠近A1的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为()A.273π2cm3 BC.1253π2cm3 D答案B解析由题意A1E=A1F=A1G=32，设点A1到平面EFG的距离为而EF=EG=FG=32S△EFG=12×3222×sin由V三棱锥E-得13×12×32×32×32=解得d=3棱长为6的正方体的内切球的半径为3，棱长为6的正方体的体对角线的长度为63因为33-32=53所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为43π×33=36π(cm3)(2)(2024·宁波模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，A1B1=2，AA1=3，若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的表面积为(A.9π B.16π C.25π D.36π答案C解析设棱台上、下底面的中心为N，M，连接D1B1，DB，MN，则D1B1=22，DB=4所以棱台的高MN=B1B=1，设球的半径为R，根据正四棱台的结构特征可知，球O与上底面A1B1C1D1相切于点N，与棱AB，BC，CD，DA均相切于各边中点处，设BC的中点为E，连接OE，OM，ME，所以OE2=OM2+ME2，即R2=(R-1)2+22，解得R=5所以球O的表面积为4πR2=25π.专题强化练(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2024·济南模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为()A.4π B.6π C.8π D.10π答案C解析由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球的半径为r，则r=12+222=2，2.(2024·安庆模拟)已知圆锥PO的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为()A.4∶1 B.3∶1 C.2∶1 D.8∶1答案A解析如图，等边三角形PAB的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，记内切球和外接球的半径分别为r和R，则rR=sinπ6=12，所以其外接球与内切球的表面积之比为4π3.(2024·南京模拟)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为()A.3∶4 B.1∶2C.3∶8 D.3∶10答案C解析令外接球的半径为2R，依题意O2A=2R，O2B=2R，O1B=R，过点B作BC⊥O2A，垂足为C，则O2C=O1B=R，所以AC=O2C=R，又BC=O1O2=(2R)2-所以AB=R2+(3所以圆台的侧面积S1=π(R+2R)×2R=6πR2，球的表面积S2=4π×(2R)2=16πR2，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为S1∶S2=(6πR2)∶(16πR2)=3∶8.4.(2024·日照模拟)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，则PA·PB的最大值为()A.2 B.74C.34 D.答案B解析取AB的中点E，可知E在球面上，且为球与正方体一条棱的切点，则球O的半径R=122可得EB=-EA=-1所以PA·PB=(PE+EA)·(PE+EB)=PE2-EA2=PE点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，当PE为直径时，|PE|max=2所以PA·PB的最大值为745.在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD=π3，现将菱形ABCD沿对角线BD折起，当三棱锥A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD外接球的表面积为(A.24π B.48π C.60π D.72π答案C解析在边长为6的菱形ABCD中，由∠BAD=π3知△ABD和△BCD为等边三角形，如图所示，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A-BCD的体积最大，故AE⊥平面BCD，由于△BCD为等边三角形，故三棱锥A-BCD外接球球心O在平面BCD内的投影为△BCD的外心O1，即OO1⊥平面BCD，故OO1∥AE，过点O作OH⊥AE于点H，则H为△ABD的外心，则OO1∥HE，即O，O1，E，H共面，则OH∥O1E，则四边形OO1EH为矩形，则在Rt△OHA中，OH=O1E=13CE=AH=23AE=2所以外接球半径R=OH2+AH2=15，6.(2024·泰安模拟)在三棱锥D-ABC中，AB=2，AD=BD，AC⊥BC，tan∠ADB=33，E为AB的中点，且直线DE与平面ABC所成角的余弦值为104，则三棱锥D-ABCA.24π B.36π C.40π D.48π答案B解析如图，设球心为O，△ABD的外接圆圆心为F，连接OE，OA，EF，OF，FA，FB，FD，因为∠ACB=90°，E为AB的中点，AB=2，所以EA=EB=1，E为△ABC的外心，由AD=BD，F为△ABD的外心，得D，F，E三点共线，且EF⊥AB.由题意得OE⊥平面ABC，OF⊥平面ABD，AB⊂平面ABC，EF⊂平面ABD，则OE⊥AB，OF⊥EF，故直线DE与平面ABC所成的角为∠OEF的余角，所以sin∠OEF=10所以cos∠OEF=EFOE=6在△ABD中，由题设可得AB=2，∠ADB=30°，由正弦定理得FA=FB=FD=22sin30°=2，EF=FA所以OE=EFcos∠OEF所以在Rt△OEA中，OA=OE2所以球O的表面积S=4π·OA2=36π.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是(A.球O的半径为3B.球O的表面积为6πC.球O的内接正方体的棱长为6D.球O的外切正方体的棱长为6答案BD解析设球O的半径为R，△ABC的外接圆圆心为O'，半径为r，则r=22sin60°=因为球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，所以R2-19R2=r2，得R2=32，所以球O的表面积S=4πR2=4π×32=6π，B设球O的内接正方体的棱长为a，则满足3a=2R，解得a=2，C设球O的外切正方体的棱长为b，则满足b=2R，解得b=6，D正确8.(2024·桂林模拟)如图，已知圆锥PO的底面半径为3，高为6，AB为底面圆的直径，点C为底面圆周上的动点，则(A.当C为弧AB的三等分点时，△PAC的面积等于934B.该圆锥可以放入表面积为14π的球内C.边长为54D.该圆锥可以放入边长为22的正方体中答案ABD解析对于A，取AC的中点D，连接OD，PD，OC，则OD⊥AC，PD⊥AC，如图1，当C为弧AB的三等分点时，∠AOC=120°或∠AOC=60°，当∠AOC=120°时，OD=12OC=所以PD=PO2+ODC=32OC=32，AC=2所以△PAC的面积为12AC·PD=12×3×33当∠AOC=60°时，OD=32OC=所以PD=PO2+OD2=(6所以△PAC的面积为12AC·PD=12×3×332=3对于B，因为圆锥的底面半径为3，高为6，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为R，过点P，A，B的轴截面如图2，O1为外接球球心，则(6-R)2+(3)2=R解得R=3外接球的表面积为4πR2=272π，272π<14π，对于C，设放入圆锥内最大的正方体边长为a，沿着正方体对角面的轴截面如图3，因为圆锥的底面半径为3，高为6，所以36=2a2所以2a=6，a=因为54=6.252>62对于D，过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图4，此平面到顶点P的距离为体对角线的一半，即为