专题一　微专题1　函数的图象与性质 -大二轮数学专题复习

微专题1函数的图象与性质[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.考点一函数的概念与表示1.复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.2.分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.例1(1)(多选)给出以下四个判断，其中正确的是()A.已知函数f(x)的定义域为(1，+∞)，则函数F(x)=f(2x-3)+3-x的定义域为(2，B.函数f(x)=x2的定义域A⊆R，值域B={4}，则满足条件的f(x)有2个C.若函数f(lgx)=x，则f12=D.函数y=x-2x答案ACD解析对于A，由题可知，2x-3>1,3-x≥0⇒x>2,x≤3⇒2<x≤3，故函数F(对于B，令f(x)=x2=4，可得x=±2，故定义域A可以为{-2}，{2}，{-2，2}，共3个，即满足条件的f(x)有3个，故B错误；对于C，令lgx=12，得x=10，所以f12=对于D，y=x+1-3x因为3x+1≠0，所以y所以值域为{y|y≠1}，故D正确.(2)[角谷猜想]“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数n(n≠1)经过J(n)次角谷运算后首次得到1(若n经过有限次角谷运算均无法得到1，则记J(n)=+∞)，以下说法有误的是()A.J(n)可看作一个定义域和值域均为N*的函数B.J(n)在其定义域上不单调，有最小值，无最大值C.对任意正整数n(n≠1)，都有J(n)J(2)=J(2n)-1D.J(2n)=n是真命题，J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题答案A解析依题意，J(n)的定义域是大于1的正整数集，A错误；由J(4)=2，J(5)=5，J(8)=3，得J(n)在其定义域上不单调，而J(2)=1，J(n)∈N*，则J(n)有最小值1，由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记J(n)=+∞，得J(n)无最大值，B正确；对任意正整数n(n≠1)，J(2n)=J(n)+1，而J(2)=1，因此J(n)J(2)=J(n)=J(2n)-1，C正确；对任意正整数n，2n每次除以2，最后得到1的次数为n，因此J(2n)=n，由J(22-1)=J(3)=7，J(22+1)=J(5)=5，知J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题，D正确.[规律方法](1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.跟踪演练1(1)(2024·临沂模拟)已知函数sgn(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析因为sgn(x)=1,当sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0时，取x=-12，则ex-1<0，-x此时sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=-1+1=0，则x>1不成立，即充分性不成立；当x>1时，ex-1>0，-x+1<0，所以sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=1-1=0，即必要性成立，所以“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的必要不充分条件.(2)已知a>0，且a≠1，函数f(x)=loga(2x2+1),x≥0,ax,x<0,若f(f(-1))=2，则答案2-解析由题可知，f(f(-1))=f(a-1)=loga(2a-2+1)=2，则a2=2a-2+1，即a4-a2-2=0，解得a2=2，故a=2(舍负).当x≥0时，f(x)=log2(2x2+1)≤4解得0≤x≤62当x<0时，f(x)=(2)x≤4恒成立.故不等式的解集为-∞考点二函数的图象1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.考向1函数图象的识别例2(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在区间[-2.8，2.8]上的大致图象为()答案B解析f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=f(x)，又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C，又f(1)=-1+e-1esin1>-1+e-1esinπ6=e2-1-1故可排除D.考向2函数图象的变换及应用例3(1)(2024·长沙统考)已知函数f(x)=2x,x≤1,log12答案C解析设g(x)=f(2-x)，则g(1)=f(1)=2，从而排除ABD.(2)(2024·渭南模拟)已知f(x)=|sinπx|,0≤x≤2,ex,x<0,若存在实数x1，x2，x3，x4，x5且x1<x2<x3<x4<x5，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4A.-∞，C.(-∞，4] D.-答案D解析作出f(x)=|sinπ由题，x2+x3=1，x4+x5=3，x1<0，所以5Σi=1xifxi=(x1+x2+x3+x4+x5)f(x1)=(x1+4)f(x1)令g(x)=(x+4)ex(x<0)，则当x<-4时，g(x)<0；当-4<x<0时，g(x)>0.g'(x)=(x+5)ex，当x<-5时，g'(x)<0，g(x)在(-∞，-5)上单调递减；当-5<x<0时，g'(x)>0，g(x)在(-5，0)上单调递增.所以g(x)min=g(-5)=-1e5，且g(x)<g(0所以5Σi=1x[规律方法](1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.跟踪演练2(1)(2024·马鞍山模拟)已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则y=f(x)的解析式可能为()A.f(x)=x·B.f(x)=x·C.f(x)=ln(D.f(x)=-答案D解析对于选项A，因为f(1)=38>0，与图象不符，故A错误；对于选项B，因为f(1)=310>0，与图象不符，故B错误；对于选项C，因为f(1)=ln22>0，与图象不符，故(2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=xcosxex+e-x，则函数yA.关于点(1，1)对称B.关于点(-1，1)对称C.关于点(-1，0)对称D.关于点(1，0)对称答案A解析因为f(x)=xcosxex+e-x，所以f(-x)=-xcosxe-x+ex=-f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y=f(x-1)+1的图象可由f(x考点三函数的性质1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.3.函数的周期性若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)，则函数y=f(x)的周期为2|a|.4.函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.(2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b考向1单调性与奇偶性例4已知定义在R上的函数f(x)=ex-e-x，设a=20.7·f(20.7)，b=12-0.8·f12-0.8，c=-log0.71.25·f(log0.70.8)，则a，b，A.b>a>c B.c>a>bC.b>c>a D.c>b>a答案A解析令F(x)=xf(x)(x∈R)，因为F(-x)=-x(e-x-ex)=x(ex-e-x)=F(x)，所以F(x)为偶函数.F'(x)=(ex-e-x)+x(ex+e-x)，因为当x≥0时，ex-e-x≥e0-e-0=0，x(ex+e-x)≥0，此时F'(x)≥0，所以F(x)在[0，+∞)上单调递增.因为a=20.7·f(20.7)=F(20.7)，b=12-0.8·f12c=-log0.71.25·f(log0.70.8)=log0.71.25-1·f(log0.70.8)=log0.70.8·f(log0.70.8)=F(log0.70.8)，因为12-0.8=20.8>20.70<log0.70.8<log0.70.7=1，所以12-0.8>20.7>log0.7所以F12-0.8>F(20.7)>F(log0.70.8)，即b>a>考向2奇偶性与周期性、对称性例5(多选)(2024·三门峡模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)，且g(x)=f'(x)，若∀x∈R，f(x)=f(6-x)，g(4+x)=g(4-x)，则()A.f(-2)=f(8)B.g(-1)+g(3)=2C.2025D.f(0)+f(4)=2答案AC解析因为f(x)=f(6-x)，所以f(x)的图象关于直线x=3对称.令x=-2，得f(-2)=f(8)，故A项正确；因为f(x)=f(6-x)，所以f'(x)=-f'(6-x)，即g(x)=-g(6-x)，所以g(4+x)=-g(2-x)，因为g(4+x)=g(4-x)，所以g(4-x)=-g(2-x)，即g(x+2)=-g(x)，所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x)，则g(x)的一个周期为4.因为f(x)的图象关于直线x=3对称，所以x=3是f(x)的一个极值点，所以g(3)=f'(3)=0，所以g(-1)=g(3)=0，则g(-1)+g(3)=0，故B项错误；由g(x+2)=-g(x)，得g(1)+g(3)=0，g(2)+g(4)=0，即g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，g(1)=0.所以2025Σi=1gi=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)=g(1)设h(x)=f(x)+c(c为常数)，定义域为R，则h'(x)=f'(x)=g(x)，h(3+x)=f(3+x)+c，h(3-x)=f(3-x)+c，又f(3+x)=f(3-x)，所以h(3+x)=h(3-x)，显然h(x)=f(x)+c也满足题设，即f(x)上、下平移均满足题设，显然f(0)+f(4)的值不确定，故D项错误.[二级结论](1)若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1f((2)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称，则f(x)的周期为2|a-b|.(3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b对称，则f(x)的周期为4|a-b|.跟踪演练3(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，+∞)，且x1≠x2，有f(x1)-f(x2)x1-x2>0，若A.(-1，1)∪(1，+∞)B.(-1，1)C.(-∞，-1)∪(1，+∞)D.(-∞，-1)∪(0，1)答案A解析已知f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)=f(-x)，又对任意x1，x2∈[0，+∞)，且x1≠x2，都有f(x所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，则函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，又f(1)=0，所以f(-1)=f(1)=0，根据函数f(x)的单调性可知，(x-1)f(x)>0等价为x-1>0,f即x>1,x解得x>1或-1<x<1，即不等式的解集为(-1，1)∪(1，+∞).(2)(多选)(2024·开封模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则()A.f(0)=2B.f(3-x)=f(3+x)C.f(x)是周期函数D.f(x)的解析式可能为f(x)=2sinπ6答案ABC解析由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，令x=1，y=0，有f(1)+f(1)=f(1)f(0)，可得f(0)=2，故A正确；令x=0，则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)，则f(y)=f(-y)，又f(x)的定义域为R，故函数f(x)是偶函数，而f(x)=2sinπ6x为奇函数，故Df(1)=1，令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)，所以f(x+1)=f(x)-f(x-1)，则f(x)=f(x-1)-f(x-2)，f(x+1)=[f(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)=-f(x-2)，所以f(x)=-f(x-3)=f(x-6)，则f(x)的周期为6，故C正确；由于f(x)为偶函数且周期为6，故f(3-x)=f(x-3)=f(3+x)，故B正确.专题强化练(分值：83分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.函数f(x)=-x2+2xA.[3，+∞) B.(-∞，-1)∪[3，+∞)C.(-1，3] D.(-1，0)∪(0，3]答案D解析要使函数有意义，则-解得-1<x≤3且x≠0.2.(2024·泰安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=-x5-3x+a-1，则f(-a)的值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由题意得，函数f(x)为奇函数，且定义域为R，由奇函数的性质得，f(0)=a-1=0，解得a=1，经过检验符合题意，所以当x≥0时，f(x)=-x5-3x，所以f(-a)=-f(a)=-f(1)=-(-1-3)=4.3.(2024·攀枝花模拟)函数f(x)=x+1xcosx的部分图象大致是答案D解析f(x)=x+1xcosx的定义域为{x|xf(-x)=-x-1xcos(-x)=-x+1xcos所以f(x)为奇函数，故A错误；当x>0，且x趋近0时，x+1x>0，cosx>0所以f(x)>0，故C错误；当x=π时，f(π)=π+1πcosπ=-π+1π<04.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=-x2-2ax-a,xA.(-∞，0] B.[-1，0]C.[-1，1] D.[0，+∞)答案B解析因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，则需满足-解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].5.(2024·榆林模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-1f(x)，当x∈(2，4)时，f(x)=1+log3x，则fA.1 B.2 C.-12答案B解析因为f(x+2)=-1所以f(x+4)=-1f(x+2)=-1-1所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(99)=f(3+96)=f(3)=1+log33=2.6.(2024·长春模拟)已知函数f(x)=|3x-3-x|，则不等式f(2x-1)-f(x)>0的解集为()A.-∞，13∪(1C.13，1答案A解析f(x)=|3x-3-x|，定义域为R，又f(-x)=|3-x-3x|=f(x)，故f(x)为偶函数；又当x>0时，y=3x，y=-3-x均单调递增，故g(x)=3x-3-x在(0，+∞)上单调递增；又g(0)=0，故当x>0时，g(x)>0，则f(x)=g(x)在(0，+∞)上单调递增，故当x<0时，f(x)单调递减，f(2x-1)-f(x)>0，即f(2x-1)>f(x)，则|2x-1|>|x|，即(2x-1)2>x2，3x2-4x+1>0，即(3x-1)(x-1)>0，解得x∈-∞，13∪(17.(2024·保定模拟)若函数y=f(x)-1是定义在R上的奇函数，则f(-1)+f(0)+f(1)等于()A.3 B.2 C.-2 D.-3答案A解析设F(x)=f(x)-1，则F(x)+F(-x)=0，即f(x)-1+f(-x)-1=0，即f(x)+f(-x)=2，所以f(1)+f(-1)=2.因为F(0)=f(0)-1=0，所以f(0)=1，所以f(-1)+f(0)+f(1)=2+1=3.8.(2024·济南模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)-xf(y)=xy(x-y)，则下列结论一定成立的是()A.f(1)=1B.f(x)为偶函数C.f(x)有最小值D.f(x)在[0，1]上单调递增答案C解析由于函数f(x)的定义域为R，且yf(x)-xf(y)=xy(x-y)，令y=1，则f(x)-xf(1)=x(x-1)，得f(x)=x2+[f(1)-1]x，当x=1时，f(1)=12+[f(1)-1]恒成立，无法确定f(1)=1，A不一定成立；由于f(1)=1不一定成立，故f(x)=x2+[f(1)-1]x不一定为偶函数，B不一定成立；由于f(x)=x2+[f(1)-1]x的对称轴为x=-12·[f(1)-1]与[0，1]故f(x)在[0，1]上不一定单调递增，D不一定成立；由于f(x)=x2+[f(1)-1]x表示开口向上的抛物线，故函数f(x)必有最小值，C一定成立.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.关于函数f(x)=lg21-x-1，A.f(x)的定义域为(-1，1)B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于原点对称D.f(x)在(0，1)上单调递增答案ACD解析因为f(x)=lg21-x-1=lg1+x1-x，则所以f(x)的定义域为(-1，1)，故A正确；因为f(-x)=lg1-x1+x=-f(x)，即f(所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为y=21-x-1在(0，1)上单调递增，y=lgx在(0，+∞所以f(x)=lg21-x-1在(0，1)上单调递增，故10.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(-x)=-f(x)；②∀x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，f(x2)-A.f(0)=0B.f(-1)<-f(3)C.若xf(x)<0，则x∈(0，+∞)D.若f(m-1)<0，则m∈(-∞，1)答案AB解析由∀x∈R，f(-x)=-f(x)得，函数f(x)是R上的奇函数，由∀x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，f(x2)-f(x1)x2-x又f(x)是连续函数，故可得f(x)在R上单调递减.对于A，f(-x)=-f(x)，令x=0，得f(0)=0，故A正确；对于B，由f(x)在R上单调递减，可得f(-1)<f(-3)，即f(-1)<-f(3)，故B正确；对于C，对xf(x)<0，当x>0时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0，由f(x)在R上单调递减，且f(0)=0可知，xf(x)<0的解集为{x|x≠0}，故C错误；对于D，f(m-1)<0，即f(m-1)<f(0)，则m-1>0，解得m>1，故D错误.11.(2024·赣州模拟)函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R，f(x+1)和g(2x-1)都是奇函数，则()A.g(x)的图象关于直线x=-1对称B.f(x)的图象关于点(1，0)对称C.g(x)是周期函数D.2024Σ答案BC解析对于A，因为g(2x-1)是奇函数，所以g(-2x-1)=-g(2x-1)，则有g(-x-1)=-g(x-1)，g(x)的图象关于点(-1，0)对称，故A错误；对于B，f(x+1)是奇函数，其图象关于原点对称，f(x+1)的图象向右平移1个单位长度后可得f(x)的图象，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；对于C，因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)，所以-f'(-x+1)=-f'(x+1)，所以f'(-x+1)=f'(x+1)，所以g(-x+1)=g(x+1)，所以g(-x+2)=g(x)，①因为g(-x-1)=-g(x-1)，所以g(x)=-g(-x-2)，②由①②可得，g(-x+2)=-g(-x-2)，所以g(x)=-g(x-4)，所以g(x+4)=-g(x)，g(x+8)=-g(x+4)=g(x)，所以8是函数g(x)的一个周期，所以g(x)是周期函数，故C正确；对于D，因为g(x+4)=-g(x)，所以g(1)=-g(5)，g(2)=-g(6)，g(3)=-g(7)，g(4)=-g(8)，所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=0，而2024Σi=1g(i)=253[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2024·齐齐哈尔模拟)若f(x)=1-aex1+exsinx答案1解析由f(x)=1-aex1+得f(-x)=1-ae-x1+e因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，即1-ae-x1+e-xsin(-所以-1-ae-x1+e-13.已知函数f(x)=lnx+2x,x>0,21-x,x≤0,若x∈[-1，1]，则f(x)的值域为；若f(答案(-∞，2](-∞，-1]∪[0，+∞)解析当x∈[-1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(-∞，2]，故当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为(-∞，2]，因为f(x)在(-∞，0]，(0，+∞)上分别单调递增，若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≤-1或a≥0.14.(2024·三明模拟)已知函数f(x)=ex-1-e1-x+x3-3x2+3x，则f(x+1)+f(1-x)=，若实数x，y满足f(3x2)+f(2y2-4)=2，则x+y的最大值为.

答案25解析f(x+1)=ex-e-x+(x+1)3-3(x+1)2+3(x+1)=ex-e-x+x3+1，f(-x+1)=e-x-ex+(-x+1)3-3(-x+1)2+3(-x+1)=e-x-ex-x3+1