轻松寒假快乐复习30天 初中数学第15天

轻松寒假，快乐复习30天第15天三角形全等★思路点睛 1．判断三角形全等的方法：（1）边角边（SAS）、（2）角边角（ASA）、（3）角角边（AAS）、（4）边边边（SSS）、（5）斜边直角边（HL）（适用于直角三角形） 要点诠释：判定三角形全等至少必须有一组对应边相等． 常用思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另 一边对应相等．在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法． 2．全等三角形的性质：（1）对应边相等、（2）对应角相等、（3）对应角的平分线、对应边的中线和高相等、（4）周长、面积相等。★典型试题1．下列条件能判断两个三角形全等的是（）①两角及一边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两边及一边所对的角对应相等；④两角及其夹边对应相等。A．①③B．②④C．②③④D．①②④【答案】D．【解析】试题分析：①两边及其一边对应相等可以利用ASA或AAS判定，故正确；②两边及其夹角对应相等可以利用SAS判定，故正确；③两边及其一边的对角对应相等不能判定两三角形全等，故错误；④两角及其夹边对应相等符合ASA定理，故正确，故选D．2．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DFB．∠A=∠DC．AC=DFD．∠ACB=∠F【答案】C．【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确．故选C．3．如图：要测河岸相对两点A、B间距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17米．这一作法的理论依据是（）A．SSSB．SASC．ASAD．AAS【答案】C．【解析】试题分析：∵先从B处出发与AB成90°角方向，∴∠ABC=90°，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB=DE，∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17∴AB=17．故选C．4．已知△ABC中，AB=5，AC=7，则BC边上的中线a的取值范围是（）A．1＜a＜6B．5＜a＜7C．2＜a＜12D．10＜a＜14【答案】A．【解析】试题分析：延长AE到D，使AE=DE，连接BD．∵AE是中线，∴BE=CE，∠AEC=∠DEB，∴△AEC≌△DEB（SAS），∴BD=AC=7，又AE=a，∴2＜2a＜12，∴1＜a＜6．故选A．倍长中线法是常用的做辅助线的一种方法。5．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（）A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．DC＝BED．∠ADC＝∠AEB【答案】C【解析】试题分析：∵AB=AC，∠A=∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠AEB=∠ADC，若利用“ASA”，可以添加∠B=∠C，或∠BDC=∠BEC，若利用“SAS”，可以添加AD=AE，或BD=CE故选C6．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个,大家一起热烈地讨论交流，小红第一个得出正确答案，是（）．（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE．（5）AB//CD（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个【答案】C【解析】试题分析：取AD的中点F，连接EF．∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD；∵E是BC的中点，F是AD的中点，∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD∴∠CDE=∠DEF∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，∴DF=EF；∵F是AD的中点，∴DF=AF，∴AF=DF=EF，∴AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；∴∠FAE=∠FEA，由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE．正确的结论有4个，故选C．7．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．0．4cm2B．0．5cm2C．0．6cm2D．0．7cm2【答案】B【解析】试题分析：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，∴△ABP≌△EBP，∴S△ABP=S△EBP，AP=EP，∴△APC和△PCE等底同高，∴S△APC=S△PCE，∴S△PBC=S△EBP+S△PCE=12S△ABC=0．5，故选B8．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为．【答案】4．【解析】试题分析：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴AD=BD．∵∠1+∠4=90°，∠3+∠4=90°∴∠1=∠3（同角的余角相等）在△ADC和△BDH中，∵∠3=∠1，AD=BD，∠ADC=∠BDH，，∴△ADC≌△BDH（ASA），∴BH=AC=4．故答案是：4．9．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE=．【答案】1．5．【解析】试题分析：首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．试题解析：连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=6，AC=3，∴BE=1．5．10．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【解析】（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°．在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．（2）∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°．又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°．11．如图,线段BE上有一点C,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE,连结AE、BD,分别交CD、CA于Q、P．（1）找出图中的一组相等的线段（等边三角形的边长相等除外）,并说明你的理由．（2）取AE的中点M、BD的中点N,连结MN,试判断△CMN的形状．【答案】（1）BD=AE．（2）等边三角形．【解析】（1）答案：BD=AE．证明：等边三角形ABC、DCE中，∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，∠BCD=∠ACE，BC=AC，DC=EC，所以△BCD≌△ACE（SAS）．（2）答案：等边三角形．证明：由△BCD≌△ACE，可得∠1=∠2，BD=AE，M是AE的中点、N是BD的中点，所以DN=EM，又DC=CE，因此△DCN≌△ECM,∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°，所以∠NCD+∠DCM=60°,即∠NCM=60°，△CMN为等边三角形．★真题摘编（2014中考真题）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】试题分析：（1）由ASA即可证明（2）根据AB//CF可知GB、GC、B