湖南河北联考2021届高三新高考10月质量检测试题

湖南河北联考2021届高三新高考10月质量检测试题数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合$A=\{x|x^23x+2=0\}$，$B=\{x|x^2ax+a1=0\}$，若$A\cupB=A$，则实数$a$的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2或32.已知复数$z=\frac{2+i}{1i}$（$i$为虚数单位），则$|z|$的值为（）A.$\frac{\sqrt{10}}{2}$B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{5}$D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$3.函数$f(x)=\frac{1}{x1}+\lnx$的定义域为（）A.$(0,+\infty)$B.$(1,+\infty)$C.$(0,1)\cup(1,+\infty)$D.$[0,1)\cup(1,+\infty)$4.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,4)$，若$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，则$x$的值为（）A.2B.2C.8D.85.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_3+a_7=10$，则$S_9$的值为（）A.45B.50C.90D.1006.函数$y=\sin(2x\frac{\pi}{3})$的图象的一条对称轴方程为（）A.$x=\frac{\pi}{12}$B.$x=\frac{\pi}{6}$C.$x=\frac{5\pi}{12}$D.$x=\frac{\pi}{3}$7.已知函数$f(x)=x^33x+1$，则函数$f(x)$的单调递减区间是（）A.$(1,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(\infty,1)$D.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$8.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的一条渐近线方程为$y=\frac{3}{4}x$，则该双曲线的离心率为（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{\sqrt{7}}{4}$二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列函数中，既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的是（）A.$y=x^3$B.$y=|x|+1$C.$y=x^2+1$D.$y=2^{|x|}$10.已知函数$f(x)=\log_{a}(x+1)$（$a\gt0$且$a\neq1$），则下列说法正确的是（）A.函数$f(x)$的图象恒过定点$(0,0)$B.若$a\gt1$，则$f(x)$在定义域上为增函数C.若$0\lta\lt1$，则$f(x)$在定义域上为减函数D.函数$f(x)$的反函数为$y=a^x1$11.已知正方体$ABCDA_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$，则下列说法正确的是（）A.异面直线$A_1C_1$与$BD$所成的角为$90^{\circ}$B.直线$A_1C_1$与平面$ABCD$所成的角为$45^{\circ}$C.点$C_1$到平面$A_1BD$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.三棱锥$AA_1BD$的体积为$\frac{1}{3}$12.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}\cos2x+\sinx\cosx+\frac{1}{2}$，则下列说法正确的是（）A.函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$B.函数$f(x)$的最大值为$\sqrt{2}$C.函数$f(x)$在$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上单调递增D.将函数$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度后得到的函数图象关于原点对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数$f(x)=\begin{cases}2^x,x\leqslant0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}$，则$f(f(\frac{1}{4}))$的值为______。14.已知圆$C$：$(x1)^2+(y2)^2=25$，直线$l$：$(2m+1)x+(m+1)y7m4=0$（$m\inR$），则直线$l$被圆$C$截得的弦长的最小值为______。15.已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=1$与$x=2$处都取得极值，则$a+b$的值为______。16.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$）的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，过$F_1$且垂直于$x$轴的直线与椭圆交于$A$，$B$两点，若$\triangleABF_2$为正三角形，则该椭圆的离心率为______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知$\triangleABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$a\cosB+b\cosA=2c\cosC$。（1）求角$C$的大小；（2）若$c=\sqrt{3}$，求$\triangleABC$面积的最大值。18.（12分）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n=2a_n2$。（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；（2）设$b_n=\log_2a_n$，求数列$\{\frac{1}{b_nb_{n+1}}\}$的前$n$项和$T_n$。19.（12分）如图，在四棱锥$PABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=1$，$E$为$PD$的中点。（1）求证：$AE\perp$平面$PCD$；（2）求三棱锥$EABC$的体积。20.（12分）已知函数$f(x)=x^33x^2+2$。（1）求函数$f(x)$的单调区间；（2）若函数$f(x)$在区间$[a,a+2]$上的最小值为$2$，求实数$a$的取值范围。21.（12分）已知抛物线$C$：$y^2=2px$（$p\gt0$）的焦点为$F$，过点$F$且斜率为$1$的直线$l$与抛物线$C$交于$A$，$B$两点，若$|AB|=8$。（1）求抛物线$C$的方程；（2）设$M$为抛物线$C$上一点，若$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（$O$为坐标原点），求点$M$的坐标。22.（12分）已知函数$f(x)=e^xax1$（$a\inR$）。（1）讨论函数$f(x)$的单调性；（2）若函数$f(x)$在定义域内有两个零点，求实数$a$的取值范围。答案及解析一、单项选择题1.【答案】C【解析】先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2ax+a1=0\)，即\((x1)[x(a1)]=0\)，得\(x=1\)或\(x=a1\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，则\(a1=1\)或\(a1=2\)，解得\(a=2\)或\(a=3\)。2.【答案】A【解析】将复数\(z=\frac{2+i}{1i}\)化简，\(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)。则\(\vertz\vert=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)。3.【答案】C【解析】要使函数\(f(x)=\frac{1}{x1}+\lnx\)有意义，则\(\begin{cases}x1\neq0\\x\gt0\end{cases}\)，解得\(x\gt0\)且\(x\neq1\)，所以定义域为\((0,1)\cup(1,+\infty)\)。4.【答案】A【解析】已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,4)\)，因为\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，根据向量平行的坐标关系\(1\times(4)2x=0\)，解得\(x=2\)。5.【答案】A【解析】因为\(\{a_n\}\)是等差数列，根据等差数列的性质\(a_1+a_9=a_3+a_7=10\)。由等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，可得\(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9\times10}{2}=45\)。6.【答案】C【解析】对于函数\(y=\sin(2x\frac{\pi}{3})\)，令\(2x\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，则\(2x=k\pi+\frac{5\pi}{6}(k\inZ)\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12}(k\inZ)\)。当\(k=0\)时，\(x=\frac{5\pi}{12}\)，所以函数图象的一条对称轴方程为\(x=\frac{5\pi}{12}\)。7.【答案】A【解析】对函数\(f(x)=x^33x+1\)求导得\(f^\prime(x)=3x^23\)，令\(f^\prime(x)\lt0\)，即\(3x^23\lt0\)，\(x^21\lt0\)，\((x+1)(x1)\lt0\)，解得\(1\ltx\lt1\)，所以函数\(f(x)\)的单调递减区间是\((1,1)\)。8.【答案】A【解析】双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)。双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+(\frac{3}{4})^2}=\frac{5}{4}\)。二、多项选择题9.【答案】B【解析】选项A，\(y=x^3\)是奇函数，不符合要求；选项B，\(y=\vertx\vert+1\)，\(f(x)=\vertx\vert+1=\vertx\vert+1=f(x)\)，是偶函数，且在\((0,+\infty)\)上\(y=x+1\)单调递增，符合要求；选项C，\(y=x^2+1\)在\((0,+\infty)\)上单调递减，不符合要求；选项D，\(y=2^{\vertx\vert}=(\frac{1}{2})^{\vertx\vert}\)，在\((0,+\infty)\)上\(y=(\frac{1}{2})^x\)单调递减，不符合要求。10.【答案】ABCD【解析】选项A，令\(x+1=1\)，即\(x=0\)，此时\(f(0)=\log_{a}1=0\)，所以函数\(f(x)\)的图象恒过定点\((0,0)\)，正确；选项B，当\(a\gt1\)时，\(y=\log_{a}u\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，\(u=x+1\)在\((1,+\infty)\)上单调递增，根据复合函数同增异减的性质，\(f(x)\)在定义域上为增函数，正确；选项C，当\(0\lta\lt1\)时，\(y=\log_{a}u\)在\((0,+\infty)\)