2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第01讲 正弦余弦正切余切诱导公式 （解析版）

第01讲正弦，余弦，正切，余切，诱导公式

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：任意角的概念（铺垫知识）

1.角的定义与推广

定义：由一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形.

正角：按逆时针方向旋转形成的角.

负角：按顺时针方向旋转形成的角.

零角：射线未旋转（始边与终边重合），角度为0（或0弧度）.

2.象限角

建立平面直角坐标系，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合.

象限角：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴

线角）.

表示：

第一象限角：{∣k360k36090,k}

第二象限角：{∣k36090k360180,k}

第三象限角：{∣k360180k360270,k}

第四象限角：{∣k360270(k1)360,k}

3.终边相同的角

定义：所有与角终边相同的角（包括本身），构成集合S{∣k360,k}.

关键：终边相同的角，三角函数值相等（核心前提）.

易错辨析：

误区1：认为“30角”与“390角”是同一个角.

纠正：二者终边相同，但旋转过程不同，是不同的角，仅三角函数值相等.

误区2：将轴线角归为某一象限.

纠正：终边在x轴、y轴上的角（如90、180）不属于任何象限.

4.弧度的概念

定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

本质：弧度是角的另一种度量单位（角度制的补充），建立了“角”与“弧长”的数量联系.

l

关键关系：若圆心角所对弧长为l，半径为r，则（以弧度为单位）.

r

5.用弧度制表示角的集合

终边相同的角：与角（弧度制）终边相同的角的集合为{∣2k,k}.

象限角（弧度制）：

第一象限角：{∣2k2k,k}

2

第二象限角：{∣2k2k,k}

2

3

第三象限角：{∣2k2k,k}

2

3

第四象限角：{∣2k2(k1),k}

2

轴线角（弧度制）：

终边在x轴正半轴：{∣2k,k}

终边在x轴负半轴：{∣2k,k}

终边在y轴正半轴：{∣2k,k}

2

3

终边在y轴负半轴：{∣2k,k}

2

6.角度化为弧度

换算公式：1rad，即角度值=弧度值.

180180

3

示例：6060rad；135135rad.

18031804

7.弧度化为角度

180180

换算公式：1rad57.30，即弧度值=角度值.

18022180

示例：rad90；rad120.

2233

8.弧长的有关计算

公式：若圆心角为（弧度制），半径为r，则弧长lr.

l

推导：由弧度定义变形可得.

r

注意：必须以弧度为单位，若为角度制需先转化为弧度.

9.扇形面积的有关计算

1

公式1：Slr（l为弧长，r为半径）.

2

1

公式2：Sr2（为圆心角的弧度值，r为半径）.

2

关系：由lr，可将公式1转化为公式2.

10.扇形中的最值问题

常见类型：

1.已知扇形周长C（C2rl），求面积的最大值（利用二次函数或基本不等式求解）.

2.已知扇形面积S，求周长的最小值.

2

1212CCC

示例：周长C2rr，面积Sr，消去得Sr(C2r)rr，当r时，S.

2224max16

知识点2：三角函数的定义（核心知识点）

1.直角三角形定义（初中基础，适用于锐角）

设为直角三角形的一个锐角，对边为a，邻边为b，斜边为c，则：

a

正弦：sin

c

b

余弦：cos

c

a

正切：tan

b

b

余切：cot

a

2.单位圆定义（高中拓展，适用于任意角）

单位圆：以坐标原点为圆心，半径为1的圆（方程：x2y21）.

定义：设任意角的终边与单位圆交于点P(x,y)，则：

正弦函数：siny

余弦函数：cosx

y

正切函数：tan（x0，即k18090,k）

x

x

余切函数：cot（y0，即k180,k）

y

3.定义域与值域

三角函数定义域（的取值范围）值域

sin[1,1]

cos[1,1]

tank18090,k

cotk180,k

重点记忆：

单位圆定义是核心，直角三角形定义是特例，任意角的三角函数值由终边与单位圆交点的坐标决定.

正切、余切的定义域限制：分母不能为0，需牢记禁忌角（tan禁90k180，cot禁k180）.

易错辨析：

误区：认为tan的定义域是90.

纠正：终边在y轴上的角均无正切值，即k18090（k），包括90、270、90等.

知识点3：三角函数值的符号规律（高频考点）

1.象限符号口诀：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦”

第一象限：sin0，cos0，tan0，cot0（全正）.

第二象限：sin0，cos0，tan0，cot0（仅正弦正）.

第三象限：sin0，cos0，tan0，cot0（正切、余切正）.

第四象限：sin0，cos0，tan0，cot0（仅余弦正）.

2.轴线角的三角函数值（特殊值，必记）

090180270360

sin01010

cos10101

tan0无意义0无意义0

cot无意义0无意义0无意义

重点记忆：

y

符号规律的本质：由单位圆交点坐标(x,y)的正负决定（siny，cosx，tan）.

x

轴线角的特殊值是计算、化简的基础，需熟练背诵（尤其0、90、180、270）.

易错辨析：

误区：sin2701，cos1801.

纠正：270终边在y轴负半轴，交点坐标(0,1)，故sin2701；180终边在x轴负半轴，交点坐标

(1,0)，故cos1801.

知识点4：同角三角函数的基本关系（核心公式）

1.平方关系

sin2cos21（，恒成立）.

2.商数关系

sin

tan（k18090,k）.

cos

3.倒数关系

k180

tancot1（,k）.

2

拓展：sincsc1，cossec1（课本拓展内容，辅助记忆）.

4.常用变形公式（干货结论）

平方关系变形：

sin21cos2

cos21sin2

sin1cos2（符号由所在象限决定）

cos1sin2（符号由所在象限决定）

sin

商数关系变形：sintancos，cos.

tan

重点记忆：

平方关系是“万能公式”，常用于化简、求值、证明恒等式.

变形公式的符号判断是关键：开方时必须结合的象限确定正负（如在第二象限，sin0，故

sin1cos2）.

易错辨析：

误区1：sin21cos2变形为sin1cos2，忽略负号.

纠正：若在第三、四象限，sin0，应取负号，即sin1cos2.

sin

误区2：认为tan对所有角成立.

cos

纠正：当cos0（即90k180）时，正切无意义，公式不成立.

知识点5：特殊角的三角函数值（必背干货）

角度030456090120135150180

123321

sin010

222222

321123

cos101

222222

33

tan013无意义310

33

33

cot无意义31013无意义

33

记忆技巧：

对称记忆：12018060，13518045，15018030，其三角函数值与对应锐角的三角函

数值绝对值相等，符号由象限决定.

口诀记忆：“30°、45°、60°，正弦分母2，分子1、√2、√3；余弦倒过来，正切分子分母换”.

易错辨析：

33

误区：sin30，tan60.

23

133

纠正：sin30，sin60；tan603，tan30，可通过“小角对小值”

223

辅助判断

知识点6：诱导公式（化简求值必备）

诱导公式本质：

将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，核心原则：“奇变偶不变，符号看象限”.

“奇变偶不变”：指诱导公式中角的形式为k90（k），当k为奇数时，三角函数名称改变

（sincos，tancot）；当k为偶数时，三角函数名称不变.

“符号看象限”：将视为锐角，判断原角（k90）所在象限，根据三角函数的符号规律确定结果

的正负.

常用诱导公式分类（按角的关系划分）

1.终边相同的角（k360，k）

sin(k360)sin

cos(k360)cos

tan(k360)tan

cot(k360)cot

说明：k3604k90，k为偶数，名称不变；终边相同，符号与一致.

2.负角公式（）

sin()sin

cos()cos

tan()tan

cot()cot

说明：090，k0为偶数，名称不变；将视为锐角，在第四象限，按符号规律定号（如

sin()在第四象限为负，故sin()sin）.

3.补角公式（180）

sin(180)sin

cos(180)cos

tan(180)tan

cot(180)cot

说明：180290，k2为偶数，名称不变；将视为锐角，180在第二象限，按符号规律定号

（如cos(180)在第二象限为负，故cos(180)cos）.

4.余角公式（90）

sin(90)cos

cos(90)sin

tan(90)cot

cot(90)tan

说明：90190，k1为奇数，名称改变（sincos，tancot）；将视为锐角，90在第

一象限，所有三角函数值为正，故结果符号为正.

5.平角加角（180）

sin(180)sin

cos(180)cos

tan(180)tan

cot(180)cot

说明：180290，k2为偶数，名称不变；将视为锐角，180在第三象限，按符号规律定号

（如sin(180)在第三象限为负，故sin(180)sin）.

6.270°相关角（270、270）

270390（k3为奇数，名称改变）：

sin(270)cos

cos(270)sin

tan(270)cot

cot(270)tan

270390（k3为奇数，名称改变）：

sin(270)cos

cos(270)sin

tan(270)cot

cot(270)tan

诱导公式使用步骤（四步走）

1.去周期：利用k360公式，将角化为0~360范围内的角.

2.定象限：判断化简后角所在的象限.

3.用公式：根据角的形式选择对应诱导公式，“奇变偶不变”确定函数名称.

4.定符号：“符号看象限”确定结果的正负，最终转化为锐角三角函数值.

示例（辅助理解）

计算sin210：

1.去周期：21018030（无需去周期，已在0~360）.

2.定象限：210在第三象限.

3.用公式：1803029030，k2为偶数，名称不变（仍为sin）.

1

4.定符号：第三象限sin为负，故sin210sin(18030)sin30.

2

易错辨析：

误区1：sin(90)sin（忽略“奇变”）.

纠正：90190，k1为奇数，名称改变（sincos）；将视为锐角，90在第二象

限，sin为正，故sin(90)cos.

误区2：tan(180)tan（符号错误）.

纠正：180在第二象限，tan为负，故tan(180)tan.

误区3：使用诱导公式时，未先将角化为0~360，导致公式误用.

纠正：如计算sin400，先化为sin(36040)sin40，再计算.

重点记忆：

诱导公式核心口诀“奇变偶不变，符号看象限”必须熟练掌握，可覆盖所有诱导公式.

常用公式（、180、90）是高频考点，需单独强化记忆.

七、概念比较与辨析（易混点突破）

1.正弦与余弦的区别与联系

维度正弦（sin）余弦（cos）联系

定义单位圆交点纵坐标y单位圆交点横坐标x平方和为1（sin2cos21）

诱导公式：sin(90)cos，

值域[1,1][1,1]

cos(90)sin

符号一、二象限正，三、一、四象限正，二、互补角关系：sin(180)sin，

规律四象限负三象限负cos(180)cos

2.正切与余切的区别与联系

维度正切（tan）余切（cot）联系

yx

定义（对边/邻边）（邻边/对边）互为倒数（tancot1）

xy

定义诱导公式：tan(90)cot，

90k180k180

域cot(90)tan

值域符号规律一致（一、三象限正，二、四象限负）

3.三角函数值与角的关系

关键：“一个三角函数值对应无数个角”（终边相同的角）.

1

示例：sin，则30k360或150k360（k）.

2

4.同角三角函数关系与诱导公式的区别

类型同角三角函数关系诱导公式

核心作用同一角的不同三角函数间的转化不同角的三角函数间的转化（化任意角为锐角）

适用场景化简、求值、证明恒等式（同一角）化简、求值（任意角转化为锐角）

关键特征仅涉及“一个角”涉及“两个角”（任意角与锐角）

八、常考结论与预习建议

1.常考结论（课本延伸，考试高频）

131

若为锐角，则sintan（如sin30，tan300.577，0.577）.

232

若90（互余），则：

sincos，cossin

tancot，cottan（本质是余角诱导公式）

若180（互补），则：

sinsin，coscos

tantan，cotcot（本质是补角诱导公式）

诱导公式拓展：sin(360)sin，cos(360)cos（360在第四象限，按符号规律推导）.

2.预习建议

第一步：先掌握“任意角的概念”和“单位圆定义”，这是理解后续内容的基础.

第二步：牢记“特殊角三角函数值”“符号规律”和“核心诱导公式”，通过简单例题（如判断sin200的

符号、计算tan135的值）强化记忆.

3

第三步：熟练运用“同角三角函数基本关系”和“诱导公式”，尝试化简、求值（如已知sin，在

5

第二象限，求cos、tan；计算sin315、cos(60)）.

第四步：整理错题本，重点标注“符号错误”“定义域遗漏”“公式误用”“诱导公式口诀记错”四类问

题.

【题型1求特殊角的三角函数值】

例1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在中，两直角边，，求的各个三角

比的值．Rt△𝐴���=12��=5∠�

【答案】，，

5125

【分析】勾sin股�定=理13求c出os三�角=形13的斜tan边�长=，12再根据直角三角形中三角比的概念代入数值计算.

【详解】在中，，，，得，

2222

所以Rt△𝐴，���=12，��=5∠�=9．0°𝐴=��+��=12+5=13

��5��12��5

sin�=𝐴=13cos�=𝐴=13tan�=��=12

例2．（24-25高一上·上海·课后作业）如果方程的两个根分别是的两条边，

2

的最小角为，那么的值为.�−4�+3=0Rt△𝐴�Rt△𝐴�

【答案】或�tan�

12

【分析】求3得4方程的两根，从而得到直角三角形的边长，再依据较长边为直角边或斜边，利用勾股定理求

得另一条边长；然后根据锐角三角函数的定义，求得的值即可.

【详解】解方程，得，故t三an角�形第三边范围为，

2

则1为三角形最小�边−长4�，+3=0�1=1,�2=3(2,4)

①当是直角边时，因为最小的角为，所以；

1

②当3是斜边时，根据勾股Rt定△理�，��的邻边�tan�=，3

22

所以3；∠�=3−1=22

12

所以tan�的=值2为2=或4．

12

故答案ta为n�：或．34

12

34

变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，斜边的长为m，，则直角边的长

为.Rt△𝐴�𝐴�=40°��

【答案】

【分析】利�s用in锐40角°三角函数的正弦值的定义可求解.

【详解】在中，斜边的长为m，，

所以Rt△，𝐴所�以𝐴�=4.0°

��

sin40°=𝐴��=𝐴sin40°=�sin40°

故答案为：.

�sin40°

变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，则的长

是.Rt△𝐴��=90°�=30°𝐴=16��

【答案】

【分析】直8接3由锐角三角函数即可求解.

【详解】由题意.

3

故答案为：.��=𝐴⋅cos�=16⋅2=83

【题型2求8终3边相同的角】

例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断

它们是第几象限的角：

(1)；

(2)−90351.35°°；

(3)；

(4)−53100°90°

【答案】(1),第一象限角

∘

(2),第4三5象限角

∘

(3)184.7,第四象限角,

∘

(4)350,第二象限角

∘

【分17析0】根据终边相同的角的公式，写出即可.

【详解】（1）是第一象限的角,

∘∘∘∘

∵−315=−360+45,45

是第一象限的角;

∘

∴（−2）315是第三象限的角,

∘∘∘∘

∵90是5.第3三=象2限×的36角0;+184.7,184.7

∘

∴（930）5.3是第四象限的角,

∘∘∘∘

∵−10是9第0四=象4限×的−角36;0+350,350

∘

∴（−4）1090是第二象限的角,

∘∘∘∘

∵5是3第0二=象36限0的+角1.70,170

∘

∴530

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与

∘∘∘

角的倍角的终边重合，求角．0<�<180�120

【答�案5】或�

∘∘

【分析】先�=根6据0任意�角=的15定0义写出满足的条件，然后结合的范围求解.

【详解】角的终边顺时针旋转�所得的角为，�

∘∘

由题意，�120，则�−120，

∘∘∘∘

注意到�−120=5，�则+只�有×360,�∈��符=合−题3意0，−�×90,�∈�

∘∘

故0<或�<180�=−1,�=−2

∘∘

�=60�=150

变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角

是第几象限的角：�0°≤�<360°

(1)；

(2)−144．1°

【答89案0°】(1)与角的终边重合，第四象限角；

(2)与角的终3边5重9°合，第二象限角.

【分析】17（01°）（2）将给定角写成，即可求解得答案.

【详解】（1）�⋅360°+，�且(�∈Z)，

所以角与−1角441°=的−终5边×3重6合0°，+它35是9°第四象2限70角°<.359°<360°

（2）−1441°359°，且，

所以角890°=与2角×360°的+终17边0°重合，9它0°是<第17二0°象<限1角80.°

890°170°

变式2．（23-24高一下·上海·期中）在内与终边重合的角为．

【答案】0°,360°−80°

【分析】将280°表示成即可得解.

【详解】因为−80°−80°=−36，0°+280°

−80°=−360°+280°

所以在内与终边重合的角为.

故答案为0°：,360°.−80°280°

280°

【题型3象限角的判断】

例1．（24-25高一下·上海青浦·期中）是第象限的角．

【答案】一366°

【分析】由确定终边相同的最小正角所在象限，即可得.

【详解】由366°=360°+6°，即与的终边相同，故为第一象限角.

故答案为：一366°=360°+6°366°6°366°

例2．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，是第象限角.

【答案】三2025°

【分析】根据任意角定义找到对应的最小正角，即可得.

【详解】由2025°，而为第三象限角，

所以是20第2三5°象=限36角0°.×5+225°225°

故答案20为25：°三

变式1．（24-25高一下·上海·月考）4弧度是第象限角．

【答案】三

【分析】利用角度与弧度的互化，转化成角度，进而得出答案．

【详解】，故4弧度角是第三象限角．

180°

故答案为：4×三π≈229.3°

变式2．（24-25高一下·上海·月考）已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则

是第象限角.��=3�

【答案】二

【分析】弧度转化成角度，即可判断.

【详解】，是第二象限角.

∘

180∘

故答案为：�=二3=3×π≈171.88�

【题型4根据图形求角的范围】

例1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．

【答案】(1)

∘∘∘∘

(2)�|�⋅360−135≤�≤�⋅360+135,�∈�

∘∘∘∘

【分�析|�】⋅1直80接+利3用0所≤给�角≤，�表⋅1示80出范+围60即,�可∈.�

【详解】图（1）中角x组成的集合为；

∘∘∘∘

图（2）中角x组成的集合为�|�⋅360−135≤�≤�⋅360+135,�∈�

∘∘∘∘°°

�|�⋅360+30≤�≤�⋅360+60,�∈�∪�|�⋅360+210≤�≤�⋅

°°

360+240,�∈�=或

°°°°

�|2�⋅180+30≤�≤2�⋅180+602�.+1⋅180°+30°≤�≤2�+1⋅180°+60°,�∈�}=

∘∘∘∘

�|�⋅180+30≤�≤�⋅180+60,�∈�

例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在

阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示.

(1)

(2)

【答案】(1)；

ππ

(2)�2�π−6<�<2.�π+3,�∈�

π

【分�析�】π结<合�<图�形π，+由6终,�边∈相�同的角的集合，即可得到结果.

【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴

ππππ

的正半轴，所以终边3落30在°,阴−影6部分的角的集6合0°为=3.−63

ππ

（2）因为，，阴影部分所表示的�区2�域π由−两6<部�分<组2成�π，+所3以,�终∈边�落在阴影部分的角的集合

π7π

为30°=6210°=6

π7π

�2�π<�<2�π+6,�∈�∪�2�π+π<�<2�π+6,�∈�

ππ

=�2�π<�<2�π+,�∈�∪�2�+1π<�<2�+1π+,�∈�

6.6

π

=��π<�<�π+6,�∈�

变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合.

(1)终边在射线上；

(2)终边在直线��上.

【答案】(1)𝐴；

2π

(2)��=2�π+.3,�∈Z

2π

【分�析�】=（�1π）+将3角,度�∈改Z为弧度，再加周期，写成集合形式即可.

（2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可.

【详解】（1）由任��意角𝐴的定义得，

终边在射线上的角为.

2π

（2）由任意�角�的定义得，��=2�π+3,�∈Z

终边在射线上的角为，

5π

化简得𝐴��=2�π+，3,�∈Z

2π

所以终边�在�直=线(2�+上1的)π角+为3,�∈Z.

2π

𝐴�∪�=��=�π+3,�∈Z

变式2．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）

π

是（）��π≤�≤�π+3, �∈�

A．B．C．

D．

【答案】C

【分析】对按奇偶分类讨论可得．

【详解】当�时，，

�

此时的终边�和=2�(�∈�)的终边2�一�样≤，�≤2𝑛+3(�∈�)

�

当�0≤�时≤，3，

�

此时�=的2�终+边1和(�∈�)2𝑛的+终�边≤一�样≤．2𝑛+�+3(�∈�)

�

故选：�C．�≤�≤�+3

【题型5由已知角的象限求未知角的象限】

例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是锐角，那么是（）

A．第一象限的角�B．第二象限2�的角

C．小于180°的正角D．钝角

【答案】C

【分析】根据条件得到，再结合选项，即可求出结果.

【详解】因为是锐角，0即<2�<π，所以，

π

故选：C.�0<�<20<2�<π

例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？

�

【答案】是第一象限或第三象限的角，�是第一象限或第二象限2的角或在y轴的非2负�半轴上.

�

【分析】由2的范围，求出的范围，2分�类讨论可得到角的象限．

�

【详解】因为�是第一象限角2,2，�

所以（�，），，

π

所以�∈（2�，π2�π+）2，�，∈Z

�π

当2∈�π�时π，+4（�∈Z，），，在第一象限；

�π�

当�=2�,�∈Z时∴，2∈2�（π2�π+，4�∈Z），2，在第三象限；

�5π�

所以�=是2�第+一1象,�限∈或Z第三象∴限2∈的角2．�π+π2�π+4�∈Z2

�

2

因为（，），，

所以2�是∈第一4�象π限4或�π第+二π象限的�角∈或Z在y轴的非负半轴上.

2�

变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知为第三象限角，则所在的象限是（）

�

A．第一或第三象限�B．第二或第三象2限

C．第二或第四象限D．第三或第四象限

【答案】C

【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定所在的象限.

��

【详解】由为第三象限角，得�,22

3�

则�,2𝑛+�<�<2𝑛+2,�∈�

��3�

当𝑛+2<2<𝑛+4,�∈�，此时在第二象限；

��3��

当�=2�,2𝑛+2<2<2𝑛+4,�∈�，2此时在第四象限.

3��7��

故�是=第2�二+或1第,2四𝑛象+限2角<.2<2𝑛+4,�∈�2

�

故选2：C.

变式2．（23-24高一下·上海金山·月考）已知是第二象限角，那么为第象限角

�

【答案】一或三�2

【分析】根据题意推得，再对是偶数或奇数分类讨论即可得解.

π�π

【详解】因为是第二象4限+，�π所<以2<2+�π,�∈Z�，得，

ππ�π

当为偶数时，�是第一象限角，当2+为2奇�π数<时�，<是π第+2三�象π,�限∈角Z.4+�π<2<2+�π,�∈Z

��

故答�案为：一或2三�2

【题型6角度制与弧度制转化】

例1．（24-25高一下·上海嘉定·期中）化为弧度是弧度.

o

【答案】/20

π1

【分析】根99据π条件，利用角度与弧度的转化，即可求解.

【详解】因为，

oππ

故答案为：.20=20×180=9

π

9

例2．（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是.

【答案】/

π1

−3−3�

【分析】根据弧度制和角度制的互化求值即可.

【详解】由题意，手表的分针转过10分钟，即顺时针旋转，即顺时针旋转弧度，

1π

因此，分针转过的弧度数是.360°×6=60°3

π

故答案为：.−3

π

−3

变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度：

(1)

11

(2)12π

2

(3)−5（π结果精确到0.01°）．

【答−3案】(1)

°

(2)165

°

(3)−72

°

【分−析17】1.9利7用即可得出答案.

°

【详解】（1）πrad==180.

1111°°

（2）=12π12×180=.165

22°°

（3）−5=π−5×180=−72.

°

180°

−3−3×π=−171.97

变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，.

3ππ

2

(1)将、用弧度制表示出来，并指出它们�各1自=−是5哪70个°象�限2的=角75；0°�1=5�=−3

(2)将�1、�2用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角.

【答案�1】(�12)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）将角度数乘以即可化为弧度，再化为的形式，判断所在象限；

π

（2）由将弧度化为角180度，表示出终边重合的角2，�π令+�其在–720°~0°之间，即可得到与它们终边重合

的所有角π.=180°

【详解】（1），在第二象限；

π19π5π

1

�=−570°=−570×180=，−在6第=一−象2限×,2π+6

π25ππ

2

�即=是75第0°二=象7限50的×角18，0=是6第=一2象×限2π的+角6.

（2�）1�2，终边重合的角是，

3π3

所以�1=5=5×180°=108°，解得或�⋅360°，+108°�∈Z

所以−–772200°~°0<°范�围⋅3内60与°+它1终08边°重<合0°的角是–�6=12−°和2–2�52=°；−1

，终边重合的角是为，

π

�所2以=−3=−60°，解�得⋅360°−6或0°�∈Z，

所以−–772200°~°0<°范�围⋅3内60与°−它6终0°边<重0合°的角是�–=42−0°1.�=0

【题型7求弧长公式】

例1．（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是．

2�

【答案】32

�

【分析】利3用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解.

【详解】依题意，设扇形的圆心角为，

因为扇形的半径是，弧长为�(，�>0)

2�

所以由，得�=2，则�=.3