2026届上海市ＳＯＥＣ高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2026届上海市ＳＯＥＣ高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查。若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）A．30 B．40 C．70 D．902．如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．这15天日平均温度的极差为B．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C．由折线图能预测16日温度要低于D．由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数3．已知，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数，其中为整数，若在上有两个不相等的零点，则的最大值为()A． B． C． D．5．已知等比数列中，若，且成等差数列，则（）A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-16．已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于5，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（）A． B． C． D．7．设集合，集合，则（）A． B． C． D．8．甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（）A． B． C． D．9．在中，若，，，则（）A．， B．，C．， D．，10．在等差数列中,已知=2,=16,则为()A．8 B．128 C．28 D．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于．12．已知，，若，则实数_______.13．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是________.14．已知，，且，则__________．15．已知向量夹角为，且，则__________．16．关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图象关于点成中心对称图象；④将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合．其中正确的命题序号__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面上有一点列、、、、，对每个正整数，点位于函数的图像上，且点、点与点构成一个以为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点的纵坐标的表达式；（2）若对每个自然数，以、、为边长能构成一个三角形，求的取值范围；（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列的最大项的项数是多少？试说明理由；18．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.19．已知，且与的夹角.（1）求的值；（2）记与的夹角为，求的值.20．某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间进行一次社会实践活动，每个小组有5名同学，在活动结束后，学校团委会对该班的所有同学进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学得分（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组同学的平均分高一分．（1）若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率；（2）现从A、B两组学生中分别随机抽取1名同学，设其分数分别为m、n，求的概率．21．设的内角的对边分别为，且满足.（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，试求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.【详解】由题意可得，抽样比为：则小学和初中共抽取：人本题正确选项：【点睛】本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.2、B【解析】

利用折线图的性质，结合各选项进行判断，即可得解．【详解】由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得：在中，这15天日平均温度的极差为：，故错误；在中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故正确；在中，由折线图无法预测16日温度要是否低于，故错误；在中，由折线图无法预测本月温度小于的天数是否少于温度大于的天数，故错误．故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．3、D【解析】

根据所给等式，用表示出，代入中化简，令并构造函数，结合函数的图像与性质即可求得的取值范围.【详解】因为，所以，由解得，因为，所以，则由可得，令，.所以画出，的图像如下图所示：由图像可知，函数在内的值域为，即的取值范围为，故选：D.【点睛】本题考查了由等式求整式的取值范围问题，打勾函数的图像与性质应用，注意若使用基本不等式，注意等号成立条件及自变量取值范围影响，属于中档题.4、A【解析】

利用一元二次方程根的分布的充要条件得到关于的不等式，再由为整数，可得当取最小时，取最大，从而求得答案.【详解】∵在上有两个不相等的零点，∴∵，∴当取最小时，取最大，∵两个零点的乘积小于1，∴，∵为整数，令时，，满足.故选：A.【点睛】本题考查一元二次函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意为整数的应用.5、B【解析】

根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.【详解】解：设等比数列的公比为q（），成等差数列，，，，解得：，，，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.6、B【解析】

根据题意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算．【详解】如图所示，,，选B.【点睛】本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题．7、B【解析】

已知集合A,B，取交集即可得到答案.【详解】集合，集合，则故选B【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.8、A【解析】甲、乙、丙三人随意坐下有种结果，乙坐中间则有，乙不坐中间有种情况，概率为，故选A.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.9、A【解析】

利用正弦定理列出关系式，把与代入得出与的关系式，再与已知等式联立求出即可.【详解】∵在中，，，，∴由正弦定理得：，即，联立解得：.故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题.10、D【解析】

将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，进而求得的值.【详解】依题意，解得，故.故选：D.【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：由题意得，不妨设棱长为，如图，在底面内的射影为的中心，故，由勾股定理得，过作平面，则为与底面所成角，且，作于中点，所以，所以，所以与底面所成角的正弦值为．考点：直线与平面所成的角．12、【解析】

利用平面向量垂直的数量积关系可得，再利用数量积的坐标运算可得：，解方程即可.【详解】因为，所以，整理得：，解得：【点睛】本题主要考查了平面向量垂直的坐标关系及方程思想，属于基础题．13、【解析】

过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，设正四棱锥的底面长为，根据已知求出a=2,SO=1,再求该正四棱锥的体积.【详解】过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，则为侧面与底面所成角的平面角，即，设正四棱锥的底面长为，则，所以，在中，∵∴，解得，∴∴棱锥的体积.故答案为【点睛】本题主要考查空间线面角的计算，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14、【解析】

根据向量平行的坐标表示可求得；代入两角和差正切公式即可求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，涉及到向量平行的坐标表示，属于基础题.15、【解析】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.16、①③【解析】

根据题意，由于，根据函数周期为,可知①、若存在，有时，成立；正确，对于②、在区间上是单调递减；因此错误，对于③、，函数的图象关于点成中心对称图象，成立．对于④、将函数的图象向左平移个单位后得到，与的图象重合错误，故答案为①③考点：命题的真假点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）最大，详见解析；【解析】

(1)易得的横坐标为代入函数即可得纵坐标.(2)易得数列为递减的数列,若要组成三角形则,再代入表达式求解不等式即可.(3)由可知求即可.【详解】(1)由点、点与点构成一个以为顶角顶点的等腰三角形有.故.(2)因为,故为减函数,故,又以、、为边长能构成一个三角形,故即.解得或,又,故.(3)由取(2)中确定的范围内的最小整数,且,故.故,由题当时数列取最大项.故且,计算得当时取最大值.【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合题型,需要根据题意找到函数横纵坐标的关系,同时也要列出对应的不等式再化简求解.属于中等题型.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对f（x）化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根据函数y=sinx的单调递增区间对应求解即可.试题解析：（Ⅰ）因为，所以的最小正周期．依题意，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．函数的单调递增区间为（）．由，得．所以的单调递增区间为（）．【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较，与1比较等）求解．19、（1）；（2）.【解析】

(1)求向量的模先求向量的平方；(2)由向量的夹角公式可以求得.【详解】（1）根据题意可得：故（2），则故.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量的模和夹角，属于基础题.20、（1）（2）【解析】

（1）求出A组学生的平均分可得B组学生的平均分，设被污损的分数为X，列方程得X，从而得到B组学生的分数，其中有3人分数超过86分，由此能求出B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率．（2）利用列举法写出在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．【详解】（1）A组学生的平均分为，所以B组学生的平均分为86分设被污损的分数为，则，解得所以B组学生的分数为91、93、83、88、75，其中有3人分数超过86分在B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率为.（2）A组学生的分数分别是94、80、86、88、77,B组学生的分数为91、93、83、88、75，在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的基本事件（m，n），有（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25个随机各抽取1名同学的分数满足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共