8.2 第2课时 多边形的外角和新教材七年级下册数学同步教案(华东师大版2024)

8.2第2课时多边形的外角和新教材七年级下册数学同步教案(华东师大版2024)教材分析本节课选自华东师大版2024年新教材七年级下册第八章“多边形”8.2节第2课时，是在学生掌握三角形内角和、多边形内角和及三角形外角相关知识后的延伸内容。教材编排贴合2022版数学新课标要求，以“观察—探究—验证—应用”为主线，打破传统“直接给出定理”的模式，注重引导学生通过动手操作、合作探究推导多边形外角和定理，既衔接上一课时多边形内角和的知识，又为后续学习平面图形的镶嵌、多边形实际应用奠定基础。从新课标核心素养导向来看，本节课重点培养学生“用数学的眼光观察现实世界”（识别生活中的多边形外角，建立几何图形与实际场景的关联）、“用数学的思维思考现实世界”（通过探究推导外角和定理，培养逻辑推理、转化归纳能力）、“用数学的语言表达现实世界”（能清晰表述外角定义、定理推导过程及解题思路），符合七年级学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的认知特点，是落实“教-学-评”一体化理念的重要载体。教学目标学习理解1.能准确识别多边形的外角，清晰阐述多边形外角及外角和的定义，区分多边形一个顶点处的内角与外角的关系；2.理解多边形外角和定理的推导逻辑，明确任意多边形的外角和恒为360°，不随边数变化而改变；3.能结合多边形内角和与外角和的关联，初步建立几何量之间的转化意识，落实“用数学的思维思考现实世界”的核心素养。应用实践1.能运用多边形外角和定理，快速求解正多边形的每个外角度数、边数，解决基础几何计算题；2.能结合生活实例（如正多边形地砖、车轮辐条），运用外角和知识分析图形的构成原理，实现数学知识与实际场景的衔接，落实“用数学的眼光观察现实世界”的核心素养；3.能规范书写解题步骤，清晰表述解题思路，落实“用数学的语言表达现实世界”的核心素养。迁移创新1.能综合运用多边形内角和、外角和定理，解决复杂几何问题（如求多边形的未知内角、外角，判断多边形的形状）；2.能通过类比三角形、四边形外角和的推导方法，探索多边形外角和的不同验证思路，培养创新思维和探究能力；3.能运用外角和知识解释平面图形镶嵌的原理，尝试设计简单的镶嵌图案，体会数学的应用价值，进一步提升几何推理和实践创新能力。重点难点教学重点多边形外角和的定义、定理推导过程，以及运用外角和定理解决基础几何问题；落实“教-学-评”一体化，让学生在探究、应用中掌握核心知识，提升数学核心素养。教学难点1.多边形外角和定理的推导逻辑（将多边形外角和转化为三角形、四边形的内角和，或利用平角性质推导）；2.综合运用内角和、外角和定理解决复杂问题，突破“边数与内角、外角关系”的易错点；3.引导学生主动探究、自主归纳，将抽象的几何定理与具体实践结合，避免机械记忆，真正理解定理的本质。课堂导入（贴合学生生活实际，激发探究兴趣，落实“教-学-评”一体化中的“评前置”，初步检测学生已有知识储备）师：同学们，咱们每天上学骑自行车，观察过自行车的车轮吗？车轮大多是正圆形，而辐条组成的图形其实是正多边形——比如常见的正六边形、正八边形车轮（展示实物图片或课件动画）。大家思考两个问题：第一，这些正多边形的每个“角”（指外侧的角）大小都一样吗？第二，咱们之前学过三角形的外角和是360°，那四边形、五边形的外角和会是多少呢？和边数有关吗？（给学生2分钟独立思考、小组轻声交流时间，教师巡视，观察学生是否能结合三角形外角知识迁移思考，点评学生的思路）师：大家都有了自己的猜想，有的同学认为边数越多，外角和越大；有的同学猜想和三角形一样，都是360°。到底哪种猜想正确呢？今天咱们就一起探究“多边形的外角和”，解开这个疑惑——这也是咱们本节课的核心内容，相信通过今天的学习，大家不仅能找到答案，还能运用知识解决生活中的实际问题。探究新知（遵循“教-学-评”一体化理念，将探究过程拆分为三个梯度任务，每个任务兼顾“教”的引导、“学”的参与、“评”的反馈，知识点层层递进，贴合学生认知）任务一：认识多边形的外角及外角和（落实第一个知识点）1.教：结合课件展示三角形、四边形、五边形的图形，引导学生观察：延长多边形的任意一条边，与相邻的另一条边组成的角，就是多边形的一个外角。强调：多边形的每个顶点处，有且只有一个外角，这个外角与它相邻的内角互为邻补角（和为180°）。2.学：学生动手在练习本上画一个四边形、一个五边形，分别画出每个顶点处的外角，标注清楚外角与相邻内角的位置关系；小组内互相检查，纠正画错的同学，交流自己对“多边形外角”的理解。3.评：教师随机抽取3-4名学生的画图作品，展示点评，重点评价“外角的识别准确性”“邻补角关系的标注”；提问学生“多边形的外角和指的是什么？”，引导学生归纳：多边形所有外角的和，就是多边形的外角和（强调：每个顶点只取一个外角，避免重复计算），初步落实“用数学的语言表达现实世界”的素养。任务二：推导多边形外角和定理（落实第二个知识点，突破难点）1.教：引导学生类比三角形外角和的推导方法，从简单的四边形入手，探究外角和。课件展示推导思路：四边形有4个顶点，每个顶点处的内角与外角互为邻补角，因此4个内角与4个外角的和为4×180°=720°；我们已经知道四边形内角和为（4-2）×180°=360°，因此四边形外角和=720°-360°=360°。2.学：小组合作探究，按照“四边形推导思路”，尝试推导五边形、六边形的外角和：①计算n边形（n≥3）每个顶点处内角与外角的和；②计算n边形内角和；③用总度数减去内角和，得出外角和。每组安排1名记录员，记录推导过程，1名发言人，准备分享思路。3.评：邀请2-3个小组分享推导过程，教师点评，重点评价“推导逻辑的完整性”“公式运用的准确性”；针对易错点（如忘记“每个顶点只取一个外角”“n边形内角和公式记错”），进行针对性纠正；引导学生归纳：任意n边形（n≥3）的外角和都是360°，与边数n无关——这就是多边形外角和定理，落实“用数学的思维思考现实世界”的素养。补充：为了让学生加深理解，引导学生用“剪拼法”验证外角和：将多边形的所有外角剪下来，拼在一起，观察是否能组成一个周角（360°），动手操作验证猜想，培养探究实践能力。任务三：探究正多边形的外角与边数的关系（落实第三个知识点）1.教：结合正多边形的性质（所有边相等、所有内角相等），引导学生思考：正多边形的所有外角有什么特点？（所有外角都相等）；结合外角和定理，推导正多边形每个外角的度数公式：正n边形每个外角的度数=360°÷n。2.学：学生独立完成推导过程，尝试用文字表述公式含义；结合导入环节的正六边形、正八边形车轮，计算它们每个外角的度数，验证公式的正确性；小组内互相核对答案，交流解题思路。3.评：教师随机提问学生公式推导过程，评价“逻辑的连贯性”；抽查学生计算结果，点评“公式运用的准确性”；引导学生逆向思考：已知正多边形每个外角的度数，如何求边数？（边数n=360°÷每个外角的度数），完善知识关联，为后续应用奠定基础。课堂练习（遵循“分层练习”原则，贴合“教-学-评”一体化，兼顾基础、提升，检测学生对三个知识点的掌握情况，及时反馈纠正，落实教学目标）基础练习（落实应用实践目标，检测知识点1、2、3的基础应用）1.判断题：（1）多边形的每个顶点处有两个外角，因此多边形的外角和是所有外角的总和（）；（2）任意五边形的外角和都是360°（）；（3）正三角形的每个外角都是120°（）。（指名回答，点评易错点，强化外角定义和定理）2.计算题：（1）求正六边形每个外角的度数；（2）一个正多边形的每个外角是45°，求它的边数。（学生独立完成，小组内互批，教师巡视，重点评价“公式运用”“计算准确性”，针对错误集中的题目，集中讲解）提升练习（落实迁移创新目标，检测知识综合运用能力）1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数和每个外角的度数（若为正多边形）。（引导学生结合内角和、外角和定理，建立方程求解，培养方程思想）2.一个多边形的每个外角都等于与它相邻内角的一半，求这个多边形的边数。（重点评价“邻补角关系的运用”“定理的综合应用”，突破难点）拓展练习（落实迁移创新目标，联系生活实际）观察生活中的地砖，常见的正多边形地砖有正三角形、正方形、正六边形，为什么没有正五边形地砖？请结合多边形外角和知识，说明理由。（小组讨论，分享思路，教师点评，让学生体会数学与生活的关联，落实“用数学的眼光观察现实世界”的素养）练习总结：教师梳理学生练习情况，肯定优点，针对易错点（如外角定义理解错误、公式逆向运用不熟练）进行再次强调，确保学生掌握核心知识，及时调整后续教学节奏。课堂总结（遵循“教-学-评”一体化，以学生自主总结为主，教师补充完善，梳理知识体系，强化核心素养落实）1.学：给学生3分钟时间，独立梳理本节课的核心内容，小组内互相交流，尝试用自己的语言表述：①多边形外角及外角和的定义；②多边形外角和定理；③正多边形外角与边数的关系；④本节课用到的探究方法和解题思路。2.教：邀请2-3名学生分享总结内容，教师补充完善，梳理知识脉络：本节课从生活实例导入，通过“识别外角—推导定理—应用定理”三个环节，掌握了三个核心知识点，重点体会了“转化”的数学思想（将多边形外角和转化为内角和），落实了用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达的核心素养。3.评：评价学生总结的完整性、准确性，引导学生反思自己在探究、练习中的不足，明确后续改进方向，强化知识记忆和应用能力。课后任务（贴合新课标要求，分层布置，兼顾基础巩固、能力提升和实践创新，落实“教-学-评”一体化的延伸，衔接课堂知识与课后复习）基础任务（必做）1.整理本节课的知识点笔记，包括外角及外角和定义、外角和定理推导过程、正多边形外角与边数的关系，标注自己的易错点；2.完成教材对应课后习题，重点做基础计算题，确保熟练运用外角和定理求解正多边形的外角、边数；3.画一个正五边形，画出它的所有外角，计算每个外角的度数，验证外角和为360°。提升任务（选做）1.尝试用2种不同的方法，推导多边形外角和定理，写下推导过程；2.收集3个生活中运用多边形外角和知识的实例，简要说明原理（不少于50字）。实践任务（必做）结合本节课所学知识，尝试设计一个简单的平面镶嵌图案（用1-2种正多边形），并说明设计理由（重点结合外角和知识），下节课分享交流。板书设计（简洁明了，突出核心知识点，贴合教学过程，方便学生回顾，兼顾逻辑性和直观性）多边形的外角和一、外角及外角和定义1.外角：延长多边形一边，与邻边组成的角（邻补角：和为180°）2.外角和：每个顶点取一个外角，所有外角的和二、外角和定理1.推导（以四边形为例）：4×180°-（4-2）×180°=360°2.结论：任意n边形（n≥3）外角和=360°（与边数无关）三、正多边形外角与边数的关系1.每个外角=360°÷n2.边数n=360°÷每个外角的度数四、核心思想：转化思想五、易错点：每个顶点只取一个外角，不重复计算教学反思（贴合“教-学-评”一体化理念，结合本节课教学实际，反思优点、不足，提出改进措施，贴合新课标要求和学生认知，避免空泛，突出针对性）本节课围绕多边形外角和的三个核心知识点，紧扣2022版数学新课标核心素养要求，落实“教-学-评”一体化理念，整体教学流程清晰，任务拆分合理，贴合七年级学生的认知特点，基本达成了学习理解、应用实践、迁移创新三个层次的教学目标。优点方面，一是课堂导入贴合生活实际，通过自行车车轮、正多边形地砖等实例，有效激发了学生的探究兴趣，初步落实了“用数学的眼光观察现实世界”的素养；二是探究新知环节采用分层任务设计，从识别外角到推导定理，再到应用定理，层层递进，引导学生自主探究、小组合作，充分体现了“学生主体、教师主导”的教学理念，同时通过过程性评价，及时反馈学生的学习情况，强化了知识的理解和掌握；三是课堂练习和课后任务分层设计，兼顾了不同层次学生的需求，既巩固了基础，又提升了学生的综合运用能力和实践创新能力，衔接了数学知识与生活实际。不足方面，一是部分学生在推导多边形外角和定理时，对“转化思想”的理解不够透彻，尤其是在推导五边形、六边形外角和时，容易出现“内角和公式记错”“总度数计算错误”等问题，说明对前一课时多边形内角和知识的衔接不够紧密；二是综合运用内角和、外角和定理解决复杂问题时，部分学生难以快速建立知识关联，解题思路不够清晰，语言表达不够规范，落实“用数学的语言表达现实世界”的素养仍有欠缺；三是探究环节的时间分配不够合理，部分小组