广西2025届高三下学期开学考（上进联考）数学+答案

绝密★启用前

广西2025届高三下学期开学考

高三数学试卷

试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知命题p:x0,lnx4x5，则p为（）

A.x0,lnx4x5B.x0,lnx4x5

C.x0,lnx4x5D.x0,lnx4x5

2.已知随机变量XB8,p，且EX5，则p（）

5331

A.B.C.D.

8844

3.已知向量a2,5,b3,0，若abab，则（）

A.25B.5C.30D.35

4.已知过原点的直线l的倾斜角为，若点P1,2在直线l上，则cos22sin2（）

111111

A.B.C.D.

5555

已知0.31.3，则（）

5.a3,b3,clog32

A.cabB.cba

C.abcD.bca

6.文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不

排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（）

A.30B.42C.56D.3960

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x2y2

7.已知双曲线C:1b0的一个焦点到一条渐近线的距离为22，则C的离心率为（）

4b2

A.2B.3C.2D.3

*x*

8.已知集合Ay∣y5x1,xNy∣y2,xN，现将A中的元素从小到大依次排列，则第20

个元素为（）

A.280B.279C.278D.277

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

π

9.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c4,C，sinBcosAsin2A，且b2c2a2，

3

则（）

83

A.ABC的外接圆直径为

3

B.b2a

C.ABC的面积为3

D.ABC的周长为443

π2π

10.已知函数fx的图像向左平移个单位长度后得到y2sinxcos2x的图象，则（）

63

A.f01

B.fx是偶函数

π

C.fx的图像关于点,1对称

4

π

D.当x时，fx取得最小值

2

如图，在正三棱柱中，分别为的中点，为线段上

11.ABCA1B1C1AB2,AA13,E,FAB,B1C1PA1C

的动点，A1,E,C,F四点均在球O的表面上，则（）

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A.三棱锥A1EFC的体积为1

B.球O的表面积为7π

C.APPE的最小值为7

2π

D.球O的表面与侧面ABBA的交线长为

113

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

4i

12.复数z2i的虚部为__________.

1i

13.过抛物线C:y24x的焦点F的直线与C交于M,N两点，且点M在点N的上方，已知E5,0，若

点M在线段FE的垂直平分线上，则直线MN的斜率为__________.

xx22

14.已知函数fxeex，若不等式faxfxx1对任意xR恒成立，则实数a的取值

范围是__________.

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15.（13分）据统计，某地一特色饭店2024年8月份共有1000个网上点餐订单，好评率为0.85.为了提高服

务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店9月份共有1500个网上点餐订单，其中好评订单有

1400个.

（1）根据所给数据填写下列22列联表，并依据小概率值0.001的独立性检验，分析能否认为该饭店

9月份订单的好评与服务改进有关；

好评订单个数非好评订单个数合计

服务改进前

服务改进后

合计2500

（2）若从8月、9月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽

取10个订单分析顾客的意见，再从这10个订单中随机抽取4个订单进行电话访谈，求其中恰好有3个订

单为好评订单的概率.

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2

2n(adbc)

附：,nabcd.

abacbdcd

0.010.0050.001

x6.6357.87910.828

（分）如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，

16.15ABCA1B1C1AC2CBBCC1B1ACB90,B1C

与BC1交于点O,D为AB的中点.

（1）证明：B1C平面A1C1B；

（2）求直线BC与平面A1DO所成角的正弦值.

x

17.（15分）已知函数fxesinxlnx1.

（1）求函数Fxfxlnx1,x0,3的单调区间；

（2）证明：0为fx的极小值点.

x2y2

18.（17分）已知椭圆C:1ab0的左、右顶点分别为A1,A2，且上顶点B与A2都在直线

a2b2

3x2y230上.

（1）求C的方程；

1

（2）若点D为C上的一个动点，点E,0，求DE的最小值；

2

（3）若过点P4,0的直线交C于M,N两点，点G是线段MN上异于M,N的一点，且GA1GP，

证明：PMGNPNMG.

19.（17分）若数列an是递减数列，且数列nan也是递减数列，则称数列an是“暴跌数列”.

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1

（1）判断数列an是否为“暴跌数列”，并说明理由；

n11

2a1

（2）若数列abn是“暴跌数列”，求b2a的取值范围；

n2n

（3）已知等差数列an是“暴跌数列”，且首项a11,5,6，公差d2,1,2，又数列

a1

n*

2，记数列的前n项和为，设，若存在不相等

ba22bnSnTnSn1nnnN,2

nn2

的正整数k和m，使得TkTm，求所有可能的值.

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广西2025届高三下学期开学考

高三数学参考答案及评分细则

1.【答案】B

【解析】将“x0”改为“x0”，将“lnx4x5”改为“lnx4x5”，故p：x0,lnx4x5.

故选B.

2.【答案】A

5

【解析】因为XBn,p，所以EXnp8p5，解得p.故选A.

8

3.【答案】A

2

【解析】依题意，ab5,5,ab1,5，故abab200，因为0，

故25.故选A.

4.【答案】D

2111

【解析】由题意知，sin,cos，所以cos22sin2cos23sin2.故选D.

555

5.【答案】D

11

【解析】a30.31,b31.331,log3log2log31，所以bca.故选D.

32333

6.【答案】A

【解析】由题意可知，先排教师的节目全排列有2种排法，然后学生按照原有顺序进入余下的六个空，

A630

只有一种，所以全部排法有30种.故选A.

7.【答案】B

bc

【解析】设C的右焦点为Fc,0，则4b2c2，点F到渐近线bx2y0的距离为b22，

4b2

23

所以c23,C的离心率e3.故选B.

2

8.【答案】C

nn

【解析】数列2中的项为：2,4,8,16,32,64,128,256,，经检验，数列2中的22,26,210,,24n2都

4x2*

是数列5n1中的项，观察归纳可得Ay∣y2,xN，所以A中元素从小到大依次排列的第20

个元素为278.故选C.

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9.【答案】ABD（每选对1个得2分）

πc83

【解析】因为c4,C，由正弦定理可得外接圆直径2R，故A正确；由b2c2a2易

3sinC3

得cosA0，所以sinBcosAsin2A等价于sinB2sinA，由正弦定理得b2a，故B正确；由余弦定

a2b2c2π4383

理可得cosC，代入C,c4,b2a，解得a,b，所以ABC的周长为

2ab333

183

abc443,ABC的面积为absinC，故C错误，D正确.故选ABD.

23

10.【答案】BC（每选对1个得3分）

【解析】

2π1331π

y2sinxcos2x1cos2xcos2xsin2xsin2xcos2x1sin2x1

322226

ππ

，故fxsin2x1cos2x1.对于A，f0cos010，故A错误；对于B，fx

36

cos2x1cos2x1fx，而xR，故fx为偶函数，故B正确；对于C，令

πkππkππ

2xkπ,kZ，则x,kZ，故fx的图象的对称中心为,1,kZ，当k0时，

22424

πππ

对称中心为,1，故C正确；对于D,fx0,2，当x时，fcosπ12,fx取得最

422

大值，故D错误.故选BC.

11.【答案】BCD（每选对1个得2分）

【解析】如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E,F分别为AB,B1C1的中点，所以A1F平面BCC1B1,CE

平面

，又，所以

ABB1A1AB2,AA13

VVVVV

三棱锥

A1EFC三棱柱

ABCA1B1C1三棱锥

A1FCC1三棱锥

A1AEC四棱锥

EBCFB1

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3

V三棱锥V三棱柱V三棱锥V三棱锥V三棱锥

FA1B1E

ABCA1B1C1

A1FCC1

A1AEC2

FBEC

VV

三棱锥

FA1B1E三棱柱

ABCA1B1C1

339113，故错误；因为与

3V三棱锥V三棱维43133AA1EC

A1FCC12A1FCC142324

A1FC均为以A1C为斜边的直角三角形，所以点O为A1C的中点，所以球O的表面积为

2

A1C222，故正确；因为

4ππA1CπA1AAC7πB

2

22，所以≌，所以

A1EA1AAE2A1C1,CECC13,CEA1E,A1C1CC1A1ECA1C1C

，所以，当且仅当为线段的中点时等号成立，故正确；取的

PEPC1APPEAC17PA1CCA1E

中点Q,A1B1的中点M，连接QM,OQ，则MEA1B1,OQ∥CE,OQ平面ABB1A1，因为球O的半径

7CE3

为,OQ，所以球O的表面与平面ABB1A1相交所得截面圆的半径

222

22

732π

，又AMQ中，AQQMMA1，所以MQE，所

r1QEQM111

223

2π2π

以球O的表面与侧面ABBA的交线长为1，故D正确.故选BCD.

1133

1

12.【答案】

2

4i4i1i511

【解析】z2i2ii，其虚部为.

1i2222

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13.【答案】3

15

【解析】易得F1,0，由点M在线段FE的垂直平分线上可得点M的横坐标为3，代入C的方程

2

2230

可得y12，所以M3,23，故直线MN的斜率为3.

31

14.【答案】1,1

xx22xx

【解析】函数fxeex的定义域为R，且fxxeefx，所以fx为偶函数，

又当x0时，fxexex2x0，所以fxexexx2在0,上单调递增，所以不等式

22

faxfxx1对任意xR恒成立，转化为axxx1，即x2x1axx2x1，所

2

以xa1x10且x2

在上恒成立，①若2在上恒成立，则2，解得

a1x10Rxa1x10RΔ1(a1)40

；②若2在上恒成立，则2，解得，综上所

1a3xa1x10RΔ2(a1)403a1

述，实数a的取值范围是1,1.

15.解：（1）8月份的订单中，好评订单有10000.85850个，

非好评订单有1000850150个.

9月份的订单中，非好评订单.

故补全的22列联表如下表所示：

好评订单个数非好评订单个数合计

服务改进前8501501000

服务改进/p>

合计22502502500

零假设H0：该饭店9月份订单的好评与服务改进无关.

2500(8501001400150)21250

246.29610.828x，

225025010001500270.001

所以根据小概率值0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即该饭店9月份订单的好评与服务改进

有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.

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2250

（2）利用分层随机抽样的方法抽取10个订单，则好评订单应抽取109个，

2500

非好评订单应抽取1091个.

设“从这10个订单中随机抽取4个订单进行电话访谈，其中恰好有3个订单为好评订单”为事件M，

C3C12

则91

PM4.

C105

（）证明：因为为直三棱柱，

16.1ACB90,ABCA1B1C1

所以CC1平面A1C1B1,ACBC,A1C1B1C1，

又因为A1C1平面A1C1B1，所以A1C1CC1，

因为CC1B1C1C1，且CC1,B1C1平面BCC1B1，所以A1C1平面BCC1B1，

又因为B1C平面BCC1B1，所以A1C1B1C，

因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1B1C，

又A1C1BC1C1，且A1C1,BC1平面A1C1B，

所以B1C平面A1C1B.

（2）解：依题意CA,CB,CC1两两垂直，以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系，设BC2，

则C0,0,0,B0,2,0,A14,0,2,D2,1,0,O0,1,1，

所以OA14,1,1,OD2,0,1,BC0,2,0，

nOA14xyz0,

设平面的法向量为，则

A1DOnx,y,z

nOD2xz0,

令x1，则y6,z2，平面A1DO的一个法向量为n1,6,2.

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设直线BC与平面A1DO所成的角为，

BCn26641

所以sincosBC,n，

BCn212622241

641

所以直线BC与平面A1DO所成角的正弦值为.

41

17.（1）解：易得Fx的定义域为1,，

xxπ

Fxesinxcosx2esinx，

4

πππ3π

因为x0,3，故x,3，令Fx0，可得x，

4444

3π

故当x0,时，Fx0,Fx单调递增，

4

3π

当x,3时，Fx0,Fx单调递减，

4

3π3π

综上所述，Fx的单调递增区间为0,，单调递减区间为,3.

44

1

（2）证明：由题意可知，fx的定义域为1,，且fxexsinxcosx，

x1

1

设函数gxfx，则gx2excosx，

(x1)2

x1

当1x1时，e0,cosx0,0，

(x1)2

1

可得gx2excosx0，

(x1)2

故gx在区间1,1上单调递增，又g00，

故当1x0时，gx0，即fx0；当0x1时，gx0，即fx0，

故fx在区间1,0上单调递减，在区间0,1上单调递增，

所以0是fx的极小值点.

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18.（1）解：在直线方程3x2y230中，令x0，得y3，

即B0,3，所以b3，

令y0，得x2，即A22,0，所以a2.

x2y2

所以C的方程为1.

43

22

21221x

（2）解：设Dx,y，则|DE|xyxx31，

244

11319

整理得|DE|2x2x(x2)2，

4444

93

因为2x2，故|DE|2，故|DE|.

min4min2

（3）证明：当直线MN的斜率为0时，不妨记M2,0,N2,0，

则G1,0,PMGN616,PNMG236，

则PMGNPNMG.

当直线MN的斜率不为0时，设Mx1,y1,Nx2,y2,Gx0,y0，直线MN的方程为xmy4.

x2y2

1,22

由43得3m4y24my360，

xmy4,

222

则Δ(24m)43m436144m40，所以m24.

24m36

且yy,yy.

123m24123m24

如图，因为GA1PG，所以点G在线段A1P的垂直平分线x1上，则x01.

PMy

易知1.

PNy2

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设MGGN，则x0x1,y0y1x2x0,y2y0，

则y0y1y2y0.①

又点G1,y0在直线MN上，所以1my04，

36

2

37222yy

则y3m412，

024m

m24my1y2

3m24

所以y0y1y22y1y2，则y2y0y1y2y1y2y1y0.

y1

整理，得y0y1y2y0.②

y2

y1

由①②，得.

y2

y1MGyPMyMG

所以MGGN，则1，所以1.

y2GNy2PNy2GN

综上PMGNPNMG.

1

19.解：（1）因为an是递减数列，

n11

nnn11

nann11是递增数列，

n11n11n11

1

故an不是“暴跌数列”.

n11

（2）因为an是“暴跌数列”，所以an和nan均是递减数列，

故an1an0，且n1an1nan0，

*

n1an1nanb2n10，即b2n1对nN恒成立，得b3.

2a12a112a

aa110，

n1n2n12n2nn1

*

即12a2nn1对nN恒成立，当n1时，数列cn2nn1取最小值4，

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3

所以12a4，得a.

2

所以b2a6，即b2a的取值范围为,6.

（3）因为ana1n1ddna1d是递减数列，所以d0，

由d2,1,2，得d2.

2