2023-2024学年度第一学期山东省济南市九年级数学期中复习试卷（解答卷）

2023-2024学年度第一学期山东省济南市九年级数学期中复习试卷（解答卷）（第2章一元二次方程～第六章反比例函数）选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）1．一元二次方程x（x＋2）＝0的解为（

）A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2【答案】D2．一个几何体如图水平放置，它的主视图是（

）A． B．C． D．【答案】B3．若，其相似比为，则与的面积比为（

）A． B． C． D．【答案】C4．已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（

）A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2）【答案】D5.甲、乙两人用“分歧终端机”玩“石头、剪刀、布”：两人先把手伸进不透明的圆筒中出手势，然后同时打开圆筒判断胜、负、平，从而使游戏公平进行．两人玩一次“石头、剪刀、布”，求甲获胜的概率（

）A． B． C． D．【答案】B如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得，，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（

）A． B． C． D．【答案】D7．函数与在同一坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（

）A． B． C． D．【答案】B9.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（

）A．24m B．25m C．28m D．30m【答案】D10.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④【答案】B填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）11．若，则．【答案】12.桌面上倒扣着形状大小相同，背面图案相同的下面五张卡片，从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是．【答案】13．关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是．【答案】-3如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．【答案】415.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，则道路宽为．【答案】16.如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为．【答案】三、解答题（本大题共有10个小题，共86分）17，用适当的方法解方程：（1）x2+6x+4＝0；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．解：（1）x2+6x+4＝0，∵a=1，b=6，c=4，∴，∴，；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0，化简得：x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：，．18.小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．解：这个游戏对双方是公平的．列表得：∴一共有6种情况，积大于2的有3种，∴P(积大于2)＝，∴这个游戏对双方是公平的．19.如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．证明：∵四边形是正方形∴，∵∴∵是的中点∴∵，∴∵∴．20.已知如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在太阳光下的投影．

(1)请你在图中画出此时在阳光下的投影．(2)在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，计算的长．解：（1）在阳光下的投影是如图所示；

（2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，，，，，，，，答：的长为．21．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB=3，EC=，求DC的长．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，∴，设CD=x，则BD=3﹣x，∴=∴x=1或x=2，∴DC=1或DC=2．22．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的部分人数是名；（2）把条形统计图补充完整；（3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率．解：（1）本次被抽取的人数是（名）．故填：60；（2）条形图中，D级人数为：（名），补全条形统计图为：（3）把小利、小芳、小明、小亮分别记为A，画树状图如图：共有12个等可能的结果，小利被选中的结果有6个，∴小利被选中的概率为：．23.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？解：（1）设每次降价的百分率为，依题意得：．解方程得：，（不合题意舍去）．答：每次降价的百分率为；设每件应降价元，依题意得：理得．解方程得：，．要尽快减少库存，所以取．答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元．24.如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，设点P、Q运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．(1)求经过几秒后，的面积等于？(2)经过几秒，与相似？(3)①是否存在t，使得的面积等于？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；②设四边形的面积为S，请直接写出S的最大值或最小值．解：（1）由题意知，，，∵，，∴，，∵的面积等于，∴∴，即∴即经过秒后，的面积等于（2）∵，∴①当时，∴，解得：；②当时，∴，解得：；由①②可得：当经过秒或秒与相似（3）①不存在，理由:假设存在t，使得的面积等于，∴∴，∴，而，∴此方程无实数根，∴不存在t，使得的面积等于②设四边形的面积为∴∴当时，S有最小值，最小值为25.如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B，与x轴交于C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为；∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立，解得：或，∴B点坐标为（2，1），∵点P在y轴上，∴设P（0，m），∴AB＝＝，AP＝，PB＝，若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2，即＝2+，解得：m＝1，∴P（0，1）；若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2，即＝+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；综上所述：P（0，1）或P（0，﹣1）．26．（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．解：（1）证明：如图1∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC∴△ADP∽△BPC．∴即AD·BC=AP·BP．结论AD·BC=AP·BP仍成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC．又∵∠BPD=∠A+∠ADP．∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．∵∠DPC=∠A=θ．∴∠BPC=∠ADP又∵∠A=∠B=θ．