2026届湖南省九校联盟高三上学期第一次联考（一模）数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省九校联盟2026届高三上学期第一次联考（一模）数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2.已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（）A.2 B. C.4 D.83.已知向量，则向量在上的投影向量为（）A. B.C. D.4.已知点满足，则的最小值为（）A.2 B. C. D.45.下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.6.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（）A.16 B.24 C.32 D.487.已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（）A. B. C. D.8.已知正实数满足和．则的值为（）A. B. C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在平行六面体中，侧棱垂直于底面，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则平面D.若，则平面10.如果两个椭圆的离心率相等，我们称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆和椭圆为上一点，过点作的两条切线交于，切点分别为，，则（）A.与是相似椭圆 B.为中点C. D.为定值11.在中，是的中点，则下列结论正确的是（）A.可以是钝角三角形B.C.若，则D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知（为虚数单位，），则的值为___________．13.若数列满足，则___________．14.某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为___________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在锐角中，内角的对边分别是，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．16.在多面体中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，四边形为平行四边形，分别为的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．

17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围．18.张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求．

19.已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点．（1）求双曲线的方程．（2）过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．（3）已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上．湖南省九校联盟2026届高三上学期第一次联考（一模）数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2.已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（）A.2 B. C.4 D.83.已知向量，则向量在上的投影向量为（）A. B.C. D.4.已知点满足，则的最小值为（）A.2 B. C. D.45.下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.6.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（）A.16 B.24 C.32 D.487.已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（）A. B. C. D.8.已知正实数满足和．则的值为（）A. B. C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在平行六面体中，侧棱垂直于底面，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则平面D.若，则平面10.如果两个椭圆的离心率相等，我们称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆和椭圆为上一点，过点作的两条切线交于，切点分别为，，则（）A.与是相似椭圆 B.为中点C. D.为定值11.在中，是的中点，则下列结论正确的是（）A.可以是钝角三角形B.C.若，则D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知（为虚数单位，），则的值为___________．13.若数列满足，则___________．14.某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为___________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在锐角中，内角的对边分别是，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．16.在多面体中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，四边形为平行四边形，分别为的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．

17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围．18.张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求．

19.已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点．（1）求双曲线的方程．（2）过点