2026届江苏省无锡市澄宜六校高三上学期10月学情调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市澄宜六校2026届高三上学期10月学情调研数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知、，且，则（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，当时，满足，但，故A不正确；对于B，当时，满足，但，故B不正确；对于C，函数在上为减函数，若，则，故C正确；对于D，当时，满足，但，故D不正确.故选：C.2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（

）A.任意一个有理数，它的平方不是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”为存在量词命题，该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选：B.3.若集合，，（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知，所以，故选：B.4.如图函数图象的解析式可能是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，其定义域为，所以，故是上的奇函数；设，其定义域为，所以，故是上的奇函数；由图可知原函数是上的偶函数，从定义域上不符合的是C，D选项；A选项是奇函数与偶函数相乘所得函数为奇函数，故A不符合；B选项是奇函数与奇函数相乘所得函数为偶函数，故B符合故选：B.5.已知实数、，且，则的最小值是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为实数、，且，所以，当且仅当，即时，的最小值是.故选：A.6.若平面向量，，，两两的夹角相等，且，则（）A. B.或 C. D.或【答案】B【解析】因为，，两两的夹角相等，所以夹角为0或，如果夹角为0，因为，所以得到，如果夹角为，，所以，综上，或.故选：B．7.在中，角的对边分别为，若，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因为，由余弦定理得，化简得，若，即，此时为直角三角形；若，则，此时为等腰三角形．综上，为等腰三角形或直角三角形．故选：D．8.已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，有，即，解得或，作出的图象，如图，方程有且仅有5个不同实数根，则由图得或，解得或，则.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）9.下列说法中，正确的是（

）A.若向量是与同向的单位向量，则B.已知向量，，则在上的投影向量为C.向量，能作为平面内所有向量的一组基底D.已知，，则“，夹角为锐角”是“”的必要不充分条件【答案】AB【解析】对于A，，故A正确.对于B，在上的投影向量为，故B正确；对于C，因为，则共线，则它们不能作为平面内所有向量的一组基底，故C错误；对于D，若，夹角为锐角，则，且不能同向共线，则，解得且，则前者可以推出后者，后者无法推出前者，故“，夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故D错误.故选：AB．10.已知函数，，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则（

）A.B.的图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象C.的图象在区间内有个对称中心D.若在区间上的最大值与最小值分别为，则的取值范围是【答案】ACD【解析】由题意，的最小正周期为，所以，解得，根据，解得，结合，令得，可知A项正确；由，将图象上的所有点向左平移个单位长度，可得，可知B项不正确；根据，结合可得在区间只有一个周期，而，所以在仅有两个零点，只有2个对称中心，可知C项正确；由前面的分析，可得图象的对称轴为，由对称性可知：当与关于直线对称时，取得最小值，由得，此时．当为偶数时，最小值为，最大值为；当为奇数时，最大值为，最小值为，所以的最小值为1．当或时，函数在上单调，此时取得最大值，，当或时等号成立，所以的取值范围为，可知D项正确．故选：ACD．11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（）A.是奇函数 B.是增函数C.存在最小值 D.当时，【答案】BCD【解析】对于选项A：因为函数及其的定义域均为，且是奇函数，则，求导可得，所以函数是偶函数，故A错误；对于选项B：构造，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，构造，则，所以是增函数，故B正确；对于选项C：因为，则，可得，联立，解得，构造，则，因为在上单调递增，则在上单调递增，且，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，所以有最小值，即存在最小值，故C正确；对于选项D：构造，则，可知在内单调递增，则，所以当时，，故D正确；故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.计算_________.【答案】10【解析】.故答案为：10.13.已知，，则______________.【答案】【解析】.故答案为：.14.设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是________.【答案】【解析】定义域为，，有两个极值点，等价于在上有两个不等实根，，，，，，，设，则，在上单调递减，，即，的最小值为．故答案为：．四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.设命题，不等式恒成立;命题.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．解：（1）对于命题，不等式恒成立，当时，恒成立.当时，则需，解得.综上所述，的取值范围是.（2）由得，所以，解得.若真假，则“”且“或”，则.若假真，则“或”且“”，则.综上所述，的取值范围是或.16.设函数.（1）当时，求函数的最小值并求出对应的；（2）若，求的取值集合.解：（1）因为，所以，当，即时，函数取到最小值为，即当时，函数的最小值为，此时；（2）若，则，所以，解得，故的取值集合为.17.如图，等腰中，，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段上的一点，且，过点的直线与边分别交于点，已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.解：（1）因为为边的中点，为边上靠近点三等分点，所以，又，，所以，因为共线，又，则，即；（2）由，得，所以，又，由（1）得，联立解得，或，（舍），所以，，在中，由余弦定理得，所以在中，由余弦定理得，因为，为边的中点，所以，所以，又，，所以．18.如图，的内角的对边分别为，，为边上一点，且，．（1）证明：；（2）求的面积．（1）证明：由，，得.在中，有，得；（2）解：在中，，所以，即，又.于是，即.因为，，，所以，得，即.则.19.已知函数.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）设函数.(ⅰ)求函数的单调区间；(ⅱ)若有两个零点，求的取值范围.解：（1）当时，，由，可得.所以函数在点处的切线方程为：，即.（2），.(ⅰ)因为，.当即时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；当即时，由；由.所以函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.(ⅱ)由，可得，.设，，则.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.且当时，，；当时，,当时，;当时，.作出函数的大致图象如下：要使有两个零点，需使与有两个交点，由图知，解得.所以当时，函数有两个零点.江苏省无锡市澄宜六校2026届高三上学期10月学情调研数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知、，且，则（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，当时，满足，但，故A不正确；对于B，当时，满足，但，故B不正确；对于C，函数在上为减函数，若，则，故C正确；对于D，当时，满足，但，故D不正确.故选：C.2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（

）A.任意一个有理数，它的平方不是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”为存在量词命题，该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选：B.3.若集合，，（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知，所以，故选：B.4.如图函数图象的解析式可能是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，其定义域为，所以，故是上的奇函数；设，其定义域为，所以，故是上的奇函数；由图可知原函数是上的偶函数，从定义域上不符合的是C，D选项；A选项是奇函数与偶函数相乘所得函数为奇函数，故A不符合；B选项是奇函数与奇函数相乘所得函数为偶函数，故B符合故选：B.5.已知实数、，且，则的最小值是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为实数、，且，所以，当且仅当，即时，的最小值是.故选：A.6.若平面向量，，，两两的夹角相等，且，则（）A. B.或 C. D.或【答案】B【解析】因为，，两两的夹角相等，所以夹角为0或，如果夹角为0，因为，所以得到，如果夹角为，，所以，综上，或.故选：B．7.在中，角的对边分别为，若，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】因为，由余弦定理得，化简得，若，即，此时为直角三角形；若，则，此时为等腰三角形．综上，为等腰三角形或直角三角形．故选：D．8.已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，有，即，解得或，作出的图象，如图，方程有且仅有5个不同实数根，则由图得或，解得或，则.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）9.下列说法中，正确的是（

）A.若向量是与同向的单位向量，则B.已知向量，，则在上的投影向量为C.向量，能作为平面内所有向量的一组基底D.已知，，则“，夹角为锐角”是“”的必要不充分条件【答案】AB【解析】对于A，，故A正确.对于B，在上的投影向量为，故B正确；对于C，因为，则共线，则它们不能作为平面内所有向量的一组基底，故C错误；对于D，若，夹角为锐角，则，且不能同向共线，则，解得且，则前者可以推出后者，后者无法推出前者，故“，夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故D错误.故选：AB．10.已知函数，，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则（

）A.B.的图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象C.的图象在区间内有个对称中心D.若在区间上的最大值与最小值分别为，则的取值范围是【答案】ACD【解析】由题意，的最小正周期为，所以，解得，根据，解得，结合，令得，可知A项正确；由，将图象上的所有点向左平移个单位长度，可得，可知B项不正确；根据，结合可得在区间只有一个周期，而，所以在仅有两个零点，只有2个对称中心，可知C项正确；由前面的分析，可得图象的对称轴为，由对称性可知：当与关于直线对称时，取得最小值，由得，此时．当为偶数时，最小值为，最大值为；当为奇数时，最大值为，最小值为，所以的最小值为1．当或时，函数在上单调，此时取得最大值，，当或时等号成立，所以的取值范围为，可知D项正确．故选：ACD．11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（）A.是奇函数 B.是增函数C.存在最小值 D.当时，【答案】BCD【解析】对于选项A：因为函数及其的定义域均为，且是奇函数，则，求导可得，所以函数是偶函数，故A错误；对于选项B：构造，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，构造，则，所以是增函数，故B正确；对于选项C：因为，则，可得，联立，解得，构造，则，因为在上单调递增，则在上单调递增，且，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，所以有最小值，即存在最小值，故C正确；对于选项D：构造，则，可知在内单调递增，则，所以当时，，故D正确；故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.计算_________.【答案】10【解析】.故答案为：10.13.已知，，则______________.【答案】【解析】.故答案为：.14.设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是________.【答案】【解析】定义域为，，有两个极值点，等价于在上有两个不等实根，，，，，，，设，则，在上单调递减，，即，的最小值为．故答案为：．四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.设命题，不等式恒成立;命题.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．解：（1）对于命题，不等式恒成立，当时，恒成立.当时，则需，解得.综上所述，的取值范围是.（2）由得，所以，解得.若真假，则“”且“或”，则.若假真，则“或”且“”，则.综上所述，的取值范围是或.16.设函数.（1）当时，求函数的最小值并求出对应的；（2）若，求的取值集合.解：（1）因为，所以，当，