阻抗和导纳电子教案

第8章阻抗和导纳

直流电和正弦交流电

前面各章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小和方向是不随时间变化的。直流电压和电流周期电压和电流uTt如果电流或电压每经过一定时间（T

）就重复变化一次，则此种电流

、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。记做：Tut

T--周期:

波形再次重复出现所需的最短时间间隔。单位：秒（S）

f—频率:

单位时间内的循环（周期）数。单位：赫兹（Hz）如果在电路中电源的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。

正弦电压和电流tu

瞬时值:时变电压和电流在任一时刻的数值。（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。研究正弦电路的意义：1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数优点：2）正弦信号容易产生、传送和使用。（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。8.1正弦信号的三要素 ：

幅值（最大值）

：

角频率（弧度/秒）：

初相角三要素:θiImI正弦信号三要素之一

--振幅最大值变量名称必须大写,下标加m。如：Um、Im正弦信号三要素之二

--角频率iT

描述变化周期的几种方法

1.周期

T：变化一周所需的时间

单位：秒，毫秒..3.角频率

ω：每秒变化的弧度

单位：弧度/秒2.频率

f：每秒变化的次数

单位：赫兹，千赫兹

...

已知=50Hz,求T和ω。[解]T=1/

=1/50=0.02s,ω=2π

=2×3.14×50＝314rad/s例题8.1*电网频率：

中国

50Hz

美国

、日本

60Hz*有线通讯频率：300-5000Hz

*无线通讯频率：

30kHz-3×104MHz：

t=0

时的相位，称为初相位或初相角。说明：

给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。i：正弦波的相位角或相位正弦信号三要素之三--初相位例已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1ti010050t1解由于最大值发生在计时起点右侧

两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。则和的相位差为：

正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不一定相同，设电路中电流和电压为：相位差θ

>0，u超前ij

角，或i落后u

角(u比i先到达最大值)；

<0，

i超前

u

角，或u滞后

i

角,i比

u先到达最大值。

＝

0，同相：

=(180o)

，反相：特殊相位关系

tu,iu

i0

tu,iu

i0

=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2；i落后up/2,不说

i领先u3p/2。

tu,iu

i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。例计算下列两正弦量的相位差。解不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值(effectivevalue)定义R直流IR交流i电流有效值定义为有效值也称均方根值(root-meen-square)物理意义同样，可定义电压有效值：正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(t+

)同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um

311V；U=380V，Um

537V。（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注已知：其中求：U和t=0.1秒时的瞬时值解：例

例2已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为π/6弧度，由交流电压表测得电源开路电压为220V。求该电源电压的振幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。电源电压瞬时值表达式为解因为,所以8.2正弦量的相量表示1.问题的提出：两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，正弦量复数实际是变换的思想复数A的表示形式AbReIma0A=a+jbAbReIma0

|A|8.2复数及运算两种表示法的关系：A=a+jb

A=|A|ejq

=|A|q

直角坐标表示极坐标表示或复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——采用代数形式若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReIm0AbReIma0

|A|图解法(2)乘除运算——采用极坐标形式若A1=|A1|

1，A2=|A2|

2除法：模相除，角相减。例1.乘法：模相乘，角相加。则:解例2.(3)旋转因子：复数ejq

=cosq+jsinq=1∠qA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。解AReIm0A•ejq

若两个复数实部相等，虚部数值相等，符号相反，称为共轭复数。故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。几种不同值时的旋转因子ReIm0根据欧拉公式，可将复指数函数表示为

为正弦电流的振幅和初相。正弦电流其中即造一个复函数3.正弦量的相量表示称为正弦量i(t)对应的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1试用相量表示i,u.解在复平面上用向量表示相量的图例2试写出电流的瞬时值表达式。解相量图

iqu

注意：相量不等于正弦信号。但它们之间有相互对应关系，即例1:已知瞬时值，求相量。已知:

求：

i

、u

的相量解：A506.86301003024.141jI+=Ð=Ð=ooV5.190110602206021.311jU-=-Ð=-Ð=oo求：例2：已知相量，求瞬时值。解：已知两个频率都为

1000Hz的正弦电流其相量形式为：A10A601003021oojeII=-Ð=提示计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写

+“.”最大值

---大写+下标正误判断？瞬时值复数？瞬时值复数已知：正误判断？？有效值j45

则：已知：正误判断？？

则：已知：？正误判断最大值4.相量法的应用(1)同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。i1

i2=i3可得其相量关系为：例也可借助相量图计算ReImReIm首尾相接相量法的优点：（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；注①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图相量图8.3元件和电路定理的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系相位关系R+-UR

u相量关系：UR=RI

u=

i瞬时功率：波形图及相量图：

i

tOuRpR

u=

iURI瞬时功率以2

交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率同相位时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型j

L+-相量关系：有效值关系：U=wLI相位关系：

u=

i+90°

2.电感元件VCR的相量形式电压领先电流

90°功率：

t

iOuLpL2

瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感不消耗功率。

i波形图及相量图：电压超前电流900例：设有一正弦交流电压,加到0.4H的电感上。（1）求出流过电感的电流i(t);(2)画出电感电压和电流的相量图。解（1）（2）电压和电流的相量图时域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-有效值关系：IC=wCU相位关系：

i=

u+90°

相量关系：3.电容元件VCR的相量形式电流超前电压

90°功率：

t

iCOupC2

瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容不消耗功率。

u波形图及相量图：电流超前电压900例：设电流流过10uF电容器，求电容端电压u(t)并画出电压电流的相量图。解：电容电压相量KCL：在正弦稳态电路中，各支路电流都是同频率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示为对任一节点，各支路电流相量的代数和恒为零。4.基尔霍夫定律的相量形式KVL:同理，对于正弦稳态电路中的任一回路，KVL的相量形式为对任一回路，所有支路电压相量的代数和恒为零。例4：部分电路如图4.7(a)所示，已知

试求电流i。

解由已知条件可得根据KCL，有

设正弦电流i的有效值相量为，则由线性和唯一性规则可得因此，正弦电流i的表达式为各电流的有效值相量如图所示例：电路如图所示，已知

R=15Ω,L=30mH,C=83.3μF,求电流i(t)。解：设则

例

电路如图4.14(a)所示。已知R=5Ω,L=5mH,C=100μF,Uab(t)=cos103tV。求电压源电压us(t)，并画出各元件电流、电压的相量图。解电压Uab的有效值相量为

根据R、C元件VAR的相量形式，得

由KCL得

由电感元件VAR相量形式，求得

根据KVL，可得电压源电压

所以

各元件电流、电压相量图如图所示。jωL例：已知R=1Ω,L=0.5H,ω=2rad/s,求

8.4阻抗和导纳相量模型关联参考情况下，三种基本元件VAR的相量形式是如用振幅相量表示，则为8.4.1阻抗与导纳阻抗——正弦交流电路中元件的电压相量与电流相量之比。

量纲：欧姆（Ω）电阻电抗阻抗的模阻抗角电抗：阻抗角：电压有效值电流有效值电压初相位角电流初相位角电阻：阻抗的模：R、L、C的阻抗：其中：——感抗——容抗当

时，表示u

领先i

－－电路呈感性当时，表示u

、i同相－－电路呈电阻性当

时，表示u

落后i

－－电路呈容性导纳——阻抗的倒数。记为Y量纲：西门子(S)电导电纳导纳模导纳角导纳和阻抗的关系R、L和C的导纳：感纳容纳式中

两阻抗：Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2;

导纳分别为：Y1=G1+jB1,Y2=G2+jB2。

等效导纳：阻抗和导纳的串、并联Z1Z2等效阻抗

：

Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(X1+X2)

Z1和Z2串联：分压公式：其等效导纳Y为

Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2)分流公式：Z1Z2Z1、Z2并联：等效阻抗例已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解其相量模型为：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+-则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。

-3.4°相量图注例j40WjXL30WCBA解欧姆定律的相量形式：或输入阻抗/导纳：阻抗与导纳的等效转换例图示电路对外呈现感性还是容性？

。解等效阻抗为：3

3

－j6

j4

5

例求图示电路的等效阻抗，＝105rad/s

。解感抗和容抗为：1mH30

100

0.1FR1R2例A1A2A0Z1Z2已知电流表读数：A1＝8AA2＝6AA0＝?A0＝I0max=?A0＝I0min=?解A0＝A1A2＝?A0＝A1A2＝?阻抗－>导纳：导纳－>阻抗：

注意：不是简单的倒数关系例：RC串联电路如图(a)所示，已知R=20Ω，C=2μF,电源角频率ω=104Rad/s。要求将它等效成R′C′并联电路，如图(b)所示，试求R′和C′。

解：例：电路如图所示，已知ωL=20Ω，1/ωc=20Ω,R=10Ω,Is=0.1A,

求UR。

jωL混联电路例:如图电路，已知r=10Ω，L=50mH,R=50Ω，C=20μF,电源

V。求电路的等效阻抗和各支路的电流，并画出电流相量图。

解:电压源相量和jXL、jXC分别为电路的相量模型如图(b)所示。

设R、L串联支路的阻抗为ZrL,R、C并联电路的阻抗为ZRC,可得电路总阻抗Z为电路总电流由并联电路分流公式，求得R、C支路电流

————把时域模型中的电源元件用相量模型代替，无源元件用阻抗或导纳代替，电流、电压用相量表示(其参考方向与原电路相同)，这样得到的电路模型称为相量模型。时域模型和相量模型正弦稳态电路相量模型1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）2、根据相量模型列出相量方程式一般正弦交流电路的解题步骤3、用分析直流电路的方法分析相量模型。4、将结果变换成要求的形式8.6相量法分析

例1:R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1画出电路的相量模型求: