北京市五十七中学2025-2026学年高一第一学期期末数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页北京市五十七中学2025-2026学年高一第一学期期末数学试题一、选择题：本大题共12小题，共60分。1.设i为虚数单位，复数(2-i)z=1+i，则z的共轭复数zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b=40，c=20，CA.有一解 B.有两解

C.无解 D.有解但解的个数不确定3.函数①f(x)=sinx+cosx，A.①② B.② C.③ D.②③4.在等腰梯形ABCD中，AD // BC，BC=2AD=4，CDA.4π3 B.8π3 C.5.设α,β是两个不同的平面，l,m是两条直线，且m⊂α，l⊥α.则“A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.在正四面体ABCD中，棱AB与底面BCD所成角的正弦值为(

)A.33 B.63 C.7.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BA⋅CE=(

)

A.1 B.-1 C.3 8.在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，A.3π B.9π C.36π9.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制).例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，则其各个顶点的曲率均为2π-3×π3=π.若正四棱锥SA.π B.4π3 C.5π10.某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面AFR⊥平面ABC，平面CDT0⊥平面ABC，AB⊥BC,AB//A.64 B.60 C.56 D.5211.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段A.AP⊥BD1；

B.AP//平面A1C1D；

C.直线AP与直线A1D112.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点PA.线段CA1的三等分点，且靠近点A1 B.线段CA1的中点

C.线段CA1的三等分点，且靠近点二、填空题：本大题共8小题，共40分。13.已知复数z=a+2i1-2ia∈R是纯虚数，则a=14.如图，若平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，且AB⋅CC1=-2，则15.已知向量a,b满足b=2，a与b的夹角为π6，则当实数λ变化时，b-16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为17.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.其中AB=BC=x，AA1=2，E为AA1的中点，F与G分别是棱AD与棱AB上的点，且满足18.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，BB1=3，D是A120.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别在棱BB①AC②存在x∈0,2，使得③当x=1时，▵④当x∈0,2时，平面其中正确结论的序号为

．三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.已知函数f(x)=2sinx(cosx+3sinx)-3．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)当x22.在▵ABC中，c=2(1)求∠B(2)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一确定，并求BC条件①c=条件②▵ABC的周长为4+2条件③▵ABC的面积为注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．23.如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求证：EB1⊥(2)求二面角A-CE24.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，▵SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，P、E(1)求证：PE//平面SCD(2)已知M为棱AS上的点，且平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为235(3)在(2)已知的条件下，设点G在DS延长线上，且DGDS=2.判断直线BG是否在平面PMB25.如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为AD的中点，O为BE中点．将ΔABE沿BE折起到A'BE，使得平面A'BE

(1)求证：A'O(2)求直线A'C与平面(3)在线段A'C上是否存在点P，使得OP//平面A'26.设n(n≥2)为正整数，若α=x1,x2,⋯,xn满足：①xi∈{0,1,⋯,n-1},(1)设α=(0,1,2)，若β=y1,y2(2)设α和β具有性质E(6)，那么T(α,β)(3)设α和β具有性质E(n)，对于给定的α，求证：满足T(α参考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.A

6.B

7.A

8.B

9.D

10.B

11.C

12.B

13.-4

；

1014.2

15.1

16.4017.1 ；18.719.1或2/2或1

20.①②④

21.π.

当x=-π2时，f(x)max=22.【详解】(1)因为c=2bcos所以sinC=sin所以当C=2B时，B=不合题意，舍去，所以C+2所以2B=π(2)选①：cb故▵ABC选②：因为C=2π3，因为asin所以a=R，b=所以a+所以R=2，所以a=2，b=2设BC中点为D，所以CD=因为在▵ACD中由余弦定理有，A所以AD=7，所以BC选③：因为S▵所以a=b=2同理CD因为AD所以AD=

23.解：(1)连接B1OOE=222∴EB1⊥(2)建立如下图所示的空间直角坐标系A1,0,0显然平面CC1E的法向量即为平面由(1)可知EB1⊥平面ACE，即平面cosm,n∴二面角A-CE

24.1)如图，取SC中点F，连接EF,因为E为SB的中点，所以EF//BC且因为底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，所以PD//BC且所以PD//EF且PD=所以PE//FD，又FD⊂平面SCD，PE所以PE//平面SCD

(2)过A作AN⊥PM于N，连接平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，因为AD⊥AB，所以AB⊥平面SAD，又MP⊂平面因为AN∩AB=A，AN,AB⊂又NB⊂平面ABN，所以MP⊥NB，所以∠设AM=x，由余弦定理得又S▵所以32x所以BN=所以cos∠因为平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为2所以3x所以25x2=28所以3x-4x-4=0

所以AMAS(3)因为▵SAD是正三角形，DGDS=2，则SD所以∠MSG=120∘，∠MSP=30∘，在▵MSG中GM在▵MSP中PM而PG=综上，PG=GM+PM，又P,由PM⊂平面PMB，即PG⊂平面PMB，G∈PG，则又B∈平面PMB，而B,G∈BG

25.解：(1)由已知AB=因为O为BE中点，所以A'因为平面A'BE⊥平面BCDE，且平面AA'O⊂平面A'BE又因为CD⊂平面BCDE，所以A(2)设F为线段BC上靠近B点的四等分点，G为CD中点．由已知易得OF⊥由(1)可知，A'O⊥所以A'O⊥以O为原点，OF,OG,建立空间直角坐标系(如图)．

因为A'B=2所以A'设平面A'DE的一个法向量为因为A'所以m⋅A'D取z1=-1，得而A'所以直线A'C与平面A(3)在线段A'C上存在点P，使得OP//设Px0,y0,z因为A'0,0,所以x0所以Pλ,3λ若OP//平面A'DE，则OP由(2)可知，平面A'DE的一个法向量即2λ-所以当A'PA'C

26.解：(1)β=(0,1,2)，T(α,β)={0}；β=(0,2,1)，T(α,(2)假设存在α=(x1,x2,则0+1+2+3+4+5=i因为|xi-yi|与又因为i=16|这与i=16|综上所述：不存在具有性质E(6)的α