人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 7.4.1 用高尔顿板探究二项分布 教案（表格式）

课题7.4.1用高尔顿板探究二项分布教学目标1.理解伯努利试验与n重伯努利试验的概念；2.通过高尔顿板实验，体验从直观到抽象的数学建模过程；探究推导，培养学生的逻辑推理与归纳能力。激发学生对概率统计的兴趣；3.掌握二项分布的定义、表示方法及概率计算公式；能判断实际问题是否服从二项分布，并进行概率计算。体会数学与生活的联系，增强应用意识。教学重点：二项分布的定义、表示法与概率公式。

教学难点：1.理解二项分布与n重伯努利试验的关系；2.判断实际问题是否服从二项分布。教学过程【情境导入】“三个臭皮匠顶个诸葛亮”这句话背后蕴含什么数学知识？诸葛亮：独自解题，胜率P(解出)=0.9；臭皮匠团队：3人，每人独立解题，胜率P(每人解出)=0.6；游戏规则：3人中至少一人解出，则团队胜。核心问题：哪个团队胜出的可能性更大？设计意图：以学生熟知的谚语创设情境，设置认知冲突，激发学习兴趣和探究欲望，自然引出对“n次独立重复试验”的研究需求。【新知探究】伯努利试验&n重伯努利试验问题1：下面试验有什么共同特点？（1）掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上；（2）检验一件产品结果为合格或不合格；（3）飞碟运动员射击时中靶或脱靶；（4）医学检验结果为阳性或阴性；……1.伯努利试验:__________________________________伯努利试验关注：__________________________________师生共同归纳：伯努利试验（只包含两个可能结果的试验）。问题2：下面试验还是伯努利试验吗？和上面的试验有什么区别？（1）掷一枚质地均匀的硬币10次；（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次；（3）一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件；2.n重伯努利试验:_____________________________________________n重伯努利试验特点：________________________________________n重伯努利试验关注：________________________________________引出n重伯努利试验，强调“独立、重复、二结果”。问题3：n重伯努利试验中，事件A发生的次数X的概率分布列是什么呢？设计意图：通过对比分析，引导学生自主构建概念，明确n重伯努利试验是本节研究的试验模型。【任务一：实验观察与猜想】观察高尔顿板，回答问题：问题4：.小球在每个钉子处的行为可以看作什么试验？每次碰撞：结果有______和_____两种,这属于__________试验追问1：小球从顶端到底部，一共经历了多少次这样的试验？试验次数n=__________追问2：描述小球分布的总体特点：____________________追问3：小球向右弹的概率

p=0.7，分布会怎样变化？__________________追问4：若小球向右弹的概率

p=0.5，请大家思考几个问题：1）为什么中间槽的小球最多？2）如果我把小球向右弹定义为事件A，小球从入口到k号槽，需要向右弹几次？【任务二：具体案例分析】问题5：研究4层高尔顿板(p=0.5)，小球右弹记为事件A，小球落入0号槽,需要右弹几次？路径有几条？小球落入1号槽,需要右弹几次？路径有几条？以此类推你能得出什么结论？路径分析：

画出小球从顶端到0号槽、1号槽的所有可能路径，并完成下面表格.落入的槽号落入0号槽 落入1号槽画出小球下落路径事件概率路径数槽号k向右次数路径数计算总概率01234追问1：以此类推你能得出什么结论？

完成下表.建立对应关系：小球落入k号槽⇔小球向______弹了______次追问2：当p=0.5时，你能说明为什么实验中落下的小球的分布是中间高、两边低了？_____________________________________追问3:小球每次向右的概率为p=0.5,设小球向右的次数为随机变量X，X取值有哪些，求X的分布列？_____________________________________规律发现：所以X的分布列是：______________________________________【任务三：抽象概括与猜想】将具体案例推广到一般情况，如果高尔顿板有n层，每次向右概率为p：小球落入k号槽的概率P（x=k）=____________________在n重伯努利试验中：设事件A发生的概率为p，用X表示A发生的次数，则P(X=k)=____________________我的猜想：二项分布的概率计算公式为：_________________________追问4：这个公式是不是似曾相识，在哪里见过？【任务四：验证与完善】问题6：对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?________________________________________________________________________________________________________________________验证猜想的正确性（分布列概率的和为1）概率和验证：_______________________________________________3.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=_________________则称X服从__________分布，记作__________当n=1时，二项分布变成了__________分布设计意图：本环节是教学的核心。通过问题链驱动，引导学生亲历从具体实验现象，到路径分析，再到数学抽象和公式猜想的全过程，深刻理解二项分布的本质。【任务五：概念辨析】判断下列随机变量是否服从二项分布，并说明理由（1）抛掷一枚均匀硬币10次，正面朝上的次数X判断：__________（2）从100件产品（有10件次品）中不放回地抽取5件，其中的次品数Y判断：__________（3）某人射击命中率为0.8，连续射击直到命中为止，射击次数Z判断：__________（4）掷骰子10次，出现6点的次数T:__________二项分布的三个条件：______________________________________设计意图：通过辨析，深化对二项分布适用条件的理解，避免概念误用。【新知应用】解决"三个臭皮匠"问题诸葛亮：独自解题，胜率P(解出)=0.9；臭皮匠团队：3人，每人独立解题，胜率P(每人解出)=0.6；游戏规则：3人中至少一人解出，则团队胜。核心问题：哪个团队胜出的可能性更大？分析：问题建模：诸葛亮团队：P(胜)=__________臭皮匠团队：设解出人数为X，则X~__________概率计算：P(臭皮匠团队胜)=______________________结论：__________团队胜率更大，实际计算验证了"____________________"的谚语例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.练习1：鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.设计意图：首尾呼应，用所学知识解决导入问题，获得成就感。通过例题和练习，巩固公式应用，培养学生建模和计算能力。【任务六：性质探究】问题7：观察二项分布的概率分布图，我们会有什么发现？1、当

n

固定时，p

增大，分布图的峰值向______移动。2、当

p

固定时，n

增大，分布图变得越来______，越来越像______形。【课堂小结】通过今天的探究与学习，同学们有什么收获？知识内容：伯努利试验→n重伯努利试验→二项分布（定义、表示、公式）。思想方法：从特殊到一般、模型思想、数形结合。知识联系：与二项式定理、两点分布的联系。设计意图：利用技术手段直观感知二项分布的性质。通过系统小结，构建知识体系，提炼数学思想。【课后作业】必做题：课本习题7.4第80页第2题，第81页第3、5