铅球抛体运动试题的攻克(运动的合成与分解的运用)

分析解答抛体曲线运动（匀变速曲线运动）试题的基本思路就是运用运动的合成与分解的知识。但是，有些抛体运动（斜抛运动）试题的解答是很困难的，比如斜抛铅球的最大射程问题。今天，我们就来讨论这类试题。题目一．6．（10分）田径场上某同学将一铅球以初速度v0抛出，该铅球抛出点的高度为H。铅球在田径场上的落点与铅球抛出点的最大水平距高为

，对应的抛射角为

。重力加速度大小为g。【来源】2018年第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷第6题。【答案】

【详解】设铅球的抛射角为α，落地速度大小为v，水平位移即射程为x。【方法一】最普通的常规方法（正交分解法）斜抛运动由水平方向和竖直方向两个分运动合成x=v0tcosα

﹣H=

v0tsinα﹣0.5gt2

消去t得：

式中只有x和α变化，现把上式看成关于tanα的二次方程，则应有

【方法二】比较特殊的方法（斜交分解法、矢量三角形法、面积法）把斜抛运动看作初速度方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动。如上图所示，落地速度v与两个分速度构成矢量三角形

根据动能定理可得mgH=0.5mv2﹣0.5

mv

02

则

上述矢量三角形的面积为S=0.5(gt)(v0cosα)=0.5gx

其中x就是射程，想要射程x最大，就应该使三角形面积S最大从另一方面来说，由于上述三角形中v0、v两边都是确定不变的，所以要使三角形面积S最大，就应该使初速度v0和落地速度v相互垂直，此时有：vtanα=v0

S=0.5gxm=0.5v0v

则

【方法三】函数最值法（求导法）斜抛运动由水平方向和竖直方向两个分运动合成x=v0tcosα

﹣H=

v0tsinα﹣0.5gt2

消去t得：

式中只有射程x和抛射角α变化，对α求导可得：

即为

根据数学知识可知，射程x要取最大值，x对α的导数应等于0：2xcos2α﹣2Hsin2α=0

则x=Htan2α

将之代入前边x-α关系式并化解可得：

另一个根舍去由于

以上提供了三种计算铅球斜抛运动最大射程的方法，三种方法结果是相同的。题目二．推铅球是高中体育课程中的一个项目，大家讨论一下出手角度为多大时，能将铅球投掷得更远。假设情境如下：推铅球时，抛出点距地面高度为h，铅球出手的初速度为v0，与水平方向夹角为α，求α取什么值时，铅球落地的距离最远。【来源】2019人教版必修第二册第五章章末总结

基础训练。【详解】将斜抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，如图所示设铅球从抛出到落地的时间为t，则铅球在上述两个方向上的位移分别为v0t和，设铅球的水平位移为x，由几何关系可得

当

题目三．如图所示，某物理兴趣小组的同学在高h=5m的A点，以v0=10m/s与水平方向成θ斜向上抛出一小球，小球运动到B点到达最高点，再落回水平地面C点。g=10m/s2，不计空气阻力。求：（1）θ取多大时，小球运动的高度最大？距离地面的最大高度多大？（2）有同学说小球落地时，速度大小不随θ变化而变化，为定值。请分析该同学的分析是否正确？如正确，请求出这个数值；如错误，请说明理由。（3）tanθ取多大时，小球的水平射程最大？最大值多大？

【来源】江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学2023-2024学年高一上学期12月联合质量检测物理试卷。【答案】（1）90°，10m；

【详解】（1）θ取90°时，小球运动的高度最大

（2）该同学分析正确，落地时速度的水平分量为

落地时速度的竖直分量为

故落地的速度