2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第07讲 直线与圆的位置关系（原卷版）

第07讲直线与圆的位置关系

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：直线与圆的位置关系及判断

位置关系：

（1）直线与圆相交，有两个公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；

（3）直线与圆相离，没有公共点．

判定方法：（1）几何判定法：

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：

①d>r圆与直线相离；

②d＝⇔r圆与直线相切；

③d<r⇔圆与直线相交．

（2）⇔代数判定法：

AxByC0

由消元，得到一元二次方程的判别式，则

222

(xa)(yb)r

①0直线与圆相交；

②0⇔直线与圆相切；

③<0⇔直线与圆相离.

⇔

知识点2：弦长

设直线的方程为，圆的方程为222，弦长的求法有几何法和代数法：

lykxbC(xx0)(yy0)r

（1）几何法:如图,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有

|AB|

()2d2r2,

2

即|AB|2r2d2.

（）代数法如图将直线方程与圆的方程联立设直线与圆的两交点分别是

2:,,A(x1,y1),B(x2,y2),

1

则|AB|(xx)2(yy)21k2|xx|1|yy|(直线l的斜率k存在).

121212k212

知识点3：直线与圆相切的相关知识点

1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点

(2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解.

（3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等.

(4)过切点过圆心的直线与切线垂直.

2.求切线方程的常用方法：

（）求过圆上一点的圆的切线方程的方法

1(x0,y0)

1

先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方

k

程．若或不存在，则可直接得切线方程为或．

k0kxx0yy0

（）求过圆外一点的圆的切线方程的方法：

2(x0,y0)

①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，

yy0k(xx0)kxykx0y00

可求得k，切线方程即可求出．

②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元

yy0k(xx0)ykxkx0y0x

二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出．

注意过圆外一点的切线必有两条。

知识点4：利用直线与圆的位置关系求范围

（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代

数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到

数形结合的思想．

y

（2）若P(x,y)是定圆C：(xa)2(yb)2r2上的一动点，则mxny和这两种形式的最值，一般都

x

有两种求法，分别是几何法和代数法．

|manbt|

①几何法．mxny的最值：设mxnyt，圆心C(a,b)到直线mxnyt的距离为d，

m2n2

由dr即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值．

yy

的最值：即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值．

xx

②代数法．mxny的最值：设mxnyt，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，

求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值．

yy

的最值：设t，则ytx，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个

xx

值，一个为最大值，一个为最小值．

知识点5：圆与圆位置关系及判断

（1）几何法

位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示

两圆相离

dr1r2

0

两圆内含

dr1r2

两圆相交

2r1r2dr1r2

两圆内切

dr1r2

1

两圆外切

dr1r2

其中和分别是圆和圆的半径

r1r2C1C2,d|C1C2|.

（2）代数法

联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数210

两圆的公共点个数210

两圆的位置关系相交.外切或内切相离或内含

知识点6：两圆的公共弦

（1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当

两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．

（2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出

两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解．

【题型1圆的切线方程】

例1（25-26高二上·上海浦东新·月考）经过点2,4且与圆x2y24相切的直线方程为．

例2（24-25高二下·上海·月考）圆x2y25的过点M(1,2)的切线的一般式方程为.

变式1（24-25高二下·上海·月考）已知圆M:x2y24x0，点A1,3，则经过点A且与圆M相切的直

线方程为.

变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过点4,3且与圆x2y225相切的直线的方程．

22

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）（1）如图，已知点Mx0,y0为圆C:xy4上一点，求过点M的

圆C的切线l的方程．

（2）过点M2,23且与圆x2y24相切的直线的方程．

【题型2弦长问题】

例3（23-24高二下·上海宝山·月考）直线xy10被圆x2y22x4y0所截得的弦长为（）

A．3B．23C．3D．6

例4（24-25高二上·上海·月考）在圆C:x2y22x6y0内，过点E(0,1)的直线被该圆所截得弦AB的长

度的最小值为.

变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）过点1,1的直线l与圆C：x24xy20相交于A、B两点，则AB

的最小值是．

变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆x2y26x8y25r2与x轴相切，求这个圆截y轴所得的

弦长．

变式3（23-24高二上·上海宝山·月考）在平面直角坐标系xOy中，过点P0,1且互相垂直的两条直线分别

22

与圆O:x2y24交于点A，B，与圆M:x2y11交于点C，D.

(1)若直线AB的斜率为3，求ABM的面积；

235

(2)若AB，求CD的长；

3

【题型3过交点方程】

例5（24-25高二下·上海·月考）若直线ykx1与曲线yx24x3恰有两个公共点，则实数k的取值

范围是（）

4444

A．,B．0,C．1,D．1，

3333

22

例6（24-25高二上·上海·月考）已知直线l:yx2与圆O:xy4相交于A、B两点，则ABAO的值

为.

变式1（23-24高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：yx上在第一象限内的点，

B5,0，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若ABCD0，则点A的横坐标为.

变式2已知圆C:x2y2ax2ay50恒过定点A，B，则直线AB的方程为．

变式3（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线l1:2xy10和l2:xy20的交点为P，求以点P

为圆心，且与直线3x4y10相交所得弦长为12的圆的标准方程．

【题型4位置关系问题及求解参数】

y

例7如果实数x,y满足等式(x2)2y23，则的最大值是（）

x

133

A．B．C．D．3

232

例8（24-25高二下·上海宝山·月考）若直线l:kxy3k0与曲线C:1x2y1有两个不同的交点，则

实数k的取值范围是．

2

变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线ykx2与圆x1y21相交，则实数k的取值范围

是．

2y

变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知实数x、y满足x2y23，求的取值范围．

x

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线yxm和曲线y1x2有两个交点，求实数m的取值

范围．

【题型5利用位置关系求最值】

例9（23-24高二上·上海宝山·月考）设A、B为圆x2y21上的两动点，且AOB120，P为直线

l:3x4y150上一动点，则PAPB的最小值为.

例10圆x2y24上的点到直线4x3y250的距离的最小值是．

变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）直线mxny10（m0，n0）截圆x22xy22y0的弦

14

长为22，则的最小值为.

mn

22

变式2已知直线l:xy40与圆C:x1y12，求圆C上各点到直线l的距离的最大值．

变式3已知圆C的圆心坐标为1,2，且圆C与直线l:x2y70相切，过点A3,0的动直线m与圆C

相交于M、N两点，点P为MN的中点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求OP的最大值．

一、填空题

2

1．（23-24高二上·上海·月考）若直线xy10是圆xay21的一条对称轴，则a．

2．（24-25高二上·上海松江·期中）若圆C：x2y22mx4y10关于直线y=3x+1对称，则实数

m.

3．（23-24高二上·上海·期末）过点1,1作圆x2y22的切线，则切线方程为.

2

4．（24-25高二上·上海·月考）过点M3,3作圆C:x1y225的切线，则切线的一般式方程为．

5．（24-25高二下·上海·月考）过点A1,1作圆(x3)2(y4)225的切线l，则直线l的方程为.

22

6．（23-24高二下·上海黄浦·月考）已知直线l：xy50，圆C：x2y281，则直线l被圆C

所截得的线段的长为．

7．（24-25高二上·上海·期中）若圆x2y22x30与直线xy10相交于A、B两点，则弦AB的长

为．

8．（23-24高二上·上海·月考）已知bR，若圆x2y29上恰有四个点到直线yxb的距离为1，则b的

取值范围是.

9．（24-25高二上·上海闵行·月考）已知圆C:x2(y2)2R2(R0)上恰好存在2个到直线y3x2的距

离为1的点，则R的取值范围是.

10．（24-25高二下·上海·月考）在以点3,2为圆心，2为半径的圆上取任意一点Px,y，若

3x4ya63x4y的取值与x,y无关，则实数a的取值范围是.

11．（25-26高二上·上海松江·期中）关于x的方程1x2kx21有两个不同的实数根，则实数k的取

值范围.

12．（25-26高二上·上海·期中）过点1,2的直线l与曲线y4x2有且仅有两个不同的交点，则l的斜

率的取值范围为.

二、单选题

13．（23-24高二上·上海·期末）已知圆C:x2y22x10，当圆心C到直线l:ykx3的距离最大时，

实数k的值是（）

11

A．B．C．－3D．3

33

y

14．（21-22高二下·上海普陀·期中）已知实数x、y满足方程(x2)2y21，那么的最大值为（）

x

133

A．B．C．D．3

223

2y

15．（24-25高二下·上海·月考）点Mx，y在圆x2y21上运动，则的取值范围是（）

x

，），

A．3B．3

，