初中数学七年级（上册）北师大版期末复习知识清单

初中数学七年级（上册）北师大版期末复习知识清单

一、第一章丰富的图形世界

（一）生活中的立体图形

1、概念与分类【基础】：几何体简称体，分为柱体、锥体、球体三大类。柱体包括圆柱（底面是圆，侧面是曲面）和棱柱（底面是多边形，侧面是平行四边形）；锥体包括圆锥（底面是圆，侧面是曲面）和棱锥（底面是多边形，侧面是三角形）。【易错点】棱柱的侧棱长都相等，棱柱的底面形状相同且平行。常见的几何体如正方体、长方体、六棱柱等都属于棱柱。

2、棱柱的顶点、棱、面【重要】：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱。底面是n边形的棱柱，有2n个顶点，3n条棱（其中n条侧棱），有（n+2）个面（其中n个侧面）。【高频考点】常以填空题或选择题形式考查棱柱的顶点数、面数、棱数之间的关系。

3、点、线、面、体【基础】：图形是由点、线、面构成的。点动成线（如流星划过）、线动成面（如旋转的雨刷）、面动成体（如长方形绕一边旋转形成圆柱）。【拓展】面与面相交得到线，线与线相交得到点。

（二）展开与折叠

1、正方体的展开图【非常重要】【难点】：正方体共有11种展开图，分为四类。“1-4-1”型（中间四连方，两侧各一个，共6种）；“2-3-1”型（中间三连方，一侧一个，另一侧两个，共3种）；“2-2-2”型（中间二连方，两侧各两个，只有1种）；“3-3”型（两排各三个，只有1种）。【考向】识别给定的平面图形能否折叠成正方体，或找出正方体展开图中相对的面。

2、确定相对面的方法【重要】：口诀“隔一相对，Z端是对面”。在同一行或同一列中，间隔一个面的两个面是相对面；构成“Z”字型（两端的小正方形）的两个面也是相对面。【解题步骤】先确定一个面为前面，然后通过折叠想象或利用上述规律，确定其余各个面的相对位置。

3、其他立体图形的展开图【基础】：圆柱的侧面展开图是长方形（或正方形），底面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆；棱柱的侧面展开图是若干个平行四边形（直棱柱为长方形），底面是多边形。

（三）截一个几何体

1、截面的概念【基础】：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面是一个平面图形。

2、常见几何体的截面形状【高频考点】：

（1）正方体的截面：可能是三角形（锐角三角形，不可能是直角三角形或钝角三角形）、四边形（正方形、长方形、梯形）、五边形、六边形。截面最高为六边形。【重要】截面形状取决于平面与正方体几个面相交。

（2）圆柱的截面：横切（平行于底面）得圆；竖切（垂直于底面且过底面圆心）得长方形；斜切得椭圆或椭圆的一部分。

（3）圆锥的截面：横切（平行于底面）得圆；竖切（过顶点）得等腰三角形；斜切得椭圆或抛物线形。

（4）球的截面：无论怎么切，截面都是圆。

（四）从三个方向看物体的形状

1、三视图的概念【基础】：从正面看到的图叫主视图；从左面看到的图叫左视图；从上面看到的图叫俯视图。【重要】三视图是平面图形，反映了立体图形不同方向的轮廓。

2、画小立方体组合的三视图【非常重要】【解题步骤】：

（1）确定主视图的方向（通常选择能反映物体主要特征的方向）。

（2）主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等（即“长对正、高平齐、宽相等”）。

（3）根据俯视图（或实际摆放）标出每个位置小立方体的个数，然后画出主视图和左视图中每一列的层数。

3、由三视图还原几何体【难点】【考向】：

（1）根据俯视图确定底层小立方体的摆放位置和行数、列数。

（2）结合主视图，确定每一列（从前往后看）的最大高度（层数）。

（3）结合左视图，确定每一行（从左往右看）的最大高度（层数）。

（4）综合主、左视图，在俯视图的每个位置上标出可能的层数（取交集），最终确定小立方体的总数或最多（少）需要多少个。【易错点】忽略左视图对行（纵向）高度的限制。

二、第二章有理数及其运算

（一）有理数的基本概念

1、正数与负数【基础】：大于0的数叫正数；在正数前面加上“-”号的数叫负数。0既不是正数，也不是负数。【重要】正数和负数可以表示具有相反意义的量。

2、有理数的分类【基础】：

（1）按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。【拓展】有限小数和无限循环小数都可以化成分数，属于有理数。

（2）按性质符号分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。

3、数轴【非常重要】【高频考点】：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。【考向】

（1）数轴上的点与有理数的关系：不是一一对应（一一对应是全体实数），但有理数都可以找到数轴上的点表示。

（2）利用数轴比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大。

（3）数轴上两点间的距离：数轴上表示数a与数b的点之间的距离为|a-b|。

4、相反数【重要】：

（1）代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。

（2）几何定义：在数轴上，位于原点两侧，且到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。

（3）性质：互为相反数的两个数之和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0。

（4）多重符号化简：一个正数前面有偶数个“-”号，结果为正；有奇数个“-”号，结果为负。

5、绝对值【非常重要】【难点】：

（1）定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，记作|a|。距离具有非负性。

（2）性质：|a|≥0；若|a|=a，则a≥0（非负数）；若|a|=-a，则a≤0（非正数）。

（3）非负性：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。常见非负数有|a|、a²（后续学到）。【解题步骤】常用于求解含绝对值的方程，如|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0且y+3=0。

（4）有理数比较大小【高频考点】：正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

（二）有理数的运算

1、有理数的加法法则【基础】：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

【运算律】加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。【技巧】多个数相加时，可运用运算律将相反数相加、同号相加、凑整相加以简化计算。

2、有理数的减法法则【基础】：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。【核心】将减法统一为加法运算。

3、有理数的乘法法则【重要】：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同0相乘，都得0。

（3）多个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。有一个因数为0，积就为0。

【运算律】乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：(ab)c=a(bc)；乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。【技巧】乘法分配律及其逆用是简化计算和代数变形的重要工具。

4、倒数【基础】：乘积为1的两个数互为倒数。若a、b互为倒数，则ab=1。0没有倒数。倒数等于本身的数是±1。

5、有理数的除法法则【基础】：

（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

6、有理数的乘方【重要】：

（1）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作a的n次幂（或a的n次方）。

（2）法则【高频考点】：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。【易错点】-aⁿ与(-a)ⁿ的区别：前者表示aⁿ的相反数，后者表示n个(-a)相乘。

7、有理数的混合运算【非常重要】【解题步骤】：

（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。

（2）同级运算，从左到右进行。

（3）如有括号，先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。

【技巧】合理运用运算律（特别是分配律）可简化计算；注意运算符号的确定，特别是乘方和负号的处理。

8、科学记数法与近似数【基础】：

（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤|a|<10，n为正整数）。n等于原数的整数位数减1。

（2）近似数：接近准确数而不等于准确数的数。精确度由最后一个数字所在数位决定。【考向】用四舍五入法取近似数，如精确到百分位（或0.01）。

三、第三章整式及其加减

（一）代数式与整式

1、字母表示数【基础】：用字母表示数，可以简明地表达数量关系、运算律和公式。

2、代数式【重要】：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。【易错点】代数式中不能出现“=”、“>”、“<”等关系符号。

3、代数式的值【基础】：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。【解题步骤】“先代入，后计算”。代入负数或分数时，要注意添括号。

4、整式的概念【非常重要】：

（1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（包括符号）；所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。【易错点】π是数字，不是字母；系数是1或-1时，“1”常省略不写。

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。【重要】多项式的每一项都包括它前面的符号。

（3）整式：单项式和多项式统称为整式。

（二）整式的加减

1、同类项【重要】：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。【判断标准】“两相同，两无关”：字母相同且相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关。

2、合并同类项【非常重要】【法则】：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。【解题步骤】一找（找出同类项），二移（利用加法交换律、结合律将同类项移到一起），三合（系数相加），四写（写出合并后的结果）。

3、去括号法则【非常重要】【易错点】：

（1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。

（2）括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变（即“变号”）。

【拓展】括号前有数字因数时，要利用乘法分配律，将数字因数乘以括号内的每一项，注意符号的处理。

4、整式的加减【核心考点】【解题步骤】：

（1）有括号，先去括号（注意符号）。

（2）找同类项。

（3）合并同类项。

（4）结果按某一字母的升幂或降幂排列。

【考向】求多项式的值。常考“先化简，再求值”，因为直接代入数值计算往往比先化简再代入更复杂，且容易出错。

（三）探索与表达规律

1、数字变化规律【难点】：观察一列数，找出其中不变的规律（如等差、等比、循环、平方关系等）。【解题步骤】

（1）标序号：将数字与序号（1,2,3,…）对应。

（2）找关系：看每个数与其序号的关系（如第n个数是2n，n²，n²+1等）。

（3）验证：用前几项验证所找规律是否成立。

2、图形变化规律【热点】：通过观察图形的数量、形状、位置的变化，找出其内在的数量关系。【解题步骤】

（1）数出前几个图形中关键元素（如小正方形个数、线段条数）的数量。

（2）将图形序号与数量对应，转化为数字规律。

（3）用含n的代数式表示第n个图形的数量。

3、代数式中的规律【拓展】：如“杨辉三角”、数列求和公式等，常以阅读理解题形式出现，要求学生理解新定义或新方法，并将其迁移应用到新的情境中。

四、第四章基本平面图形

（一）线段、射线、直线

1、概念与表示【基础】：

（1）直线：向两端无限延伸，没有端点。表示法：直线AB（或BA）或直线l。

（2）射线：由一点向一方无限延伸，有一个端点。表示法：射线AB（A是端点，B是射线上一点）。

（3）线段：有两个端点，不能延伸。表示法：线段AB（或BA）或线段a。

【重要】两点确定一条直线（性质）；两点之间，线段最短（性质）。

2、线段的比较与度量【基础】：

（1）比较方法：叠合法、度量法。

（2）尺规作图：作一条线段等于已知线段。

（3）线段的中点【高频考点】：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。若点C是线段AB的中点，则AC=BC=1/2AB，或AB=2AC=2BC。

3、线段的有关计算【非常重要】【解题步骤】：

（1）明确线段之间的和、差、倍、分关系。

（2）设未知数，根据等量关系列方程（常用方法）。

（3）注意分类讨论思想的应用，特别是当点的位置不确定时（如点在直线上，可能在线段上，也可能在线段的延长线上）。

（二）角

1、角的定义与表示【基础】：

（1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形。

（2）动态定义：角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

（3）表示法：用三个大写字母（顶点字母在中间）、用顶点字母（只有一个角时）、用数字或希腊字母。

2、角的度量【重要】：

（1）单位：度、分、秒，即1°=60′，1′=60″。

（2）换算：大化小乘以60，小化大除以60。注意是六十进制，不是十进制。

（3）方向角（方位角）：通常以正北、正南为基准，描述物体的方向。如北偏东30°，即从正北方向向东偏转30°。

3、角的比较与运算【重要】：

（1）比较方法：叠合法、度量法。

（2）角的平分线【高频考点】：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。

4、角的有关计算【非常重要】【解题步骤】：

（1）识别图形中的角与角之间的和、差、倍、分关系。

（2）结合方程思想，设未知数求解。

（3）注意分类讨论，特别是在没有图形或图形不完整时，需要考虑到射线在角内部或外部的不同情况。

5、多边形和圆的初步认识【基础】：

（1）多边形：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。从一个n边形的某个顶点出发，可作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。

（2）圆：平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。弧、扇形、圆心角的概念。

五、第五章一元一次方程

（一）认识一元一次方程

1、方程与一元一次方程的概念【基础】：

（1）含有未知数的等式叫做方程。

（2）在一个方程中，只含有一个未知数（元），且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。【重要】它的一般形式为ax+b=0（a≠0，a、b是常数）。

2、方程的解【重要】：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根。

3、等式的基本性质【核心】【解题依据】：

（1）性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。

（2）性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

【易错点】除以一个数时，必须保证该数不为0。

（二）求解一元一次方程

1、解一元一次方程的步骤【非常重要】【解题步骤】（以去分母为例）：

（1）去分母：方程两边都乘以各分母的最小公倍数（注意不要漏乘不含分母的项）。

（2）去括号：按照去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号（注意符号变化）。

（3）移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边。移项必须改变符号（依据是等式性质1）。

（4）合并同类项：把方程化为ax=b（a≠0）的形式。

（5）系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，得到x=b/a（依据是等式性质2）。

【易错点汇总】

（1）去分母时，漏乘整数项；

（2）去括号时，括号前是负号，括号内各项不变号；

（3）移项时，忘记变号；

（4）系数化为1时，分子分母颠倒。

（三）一元一次方程的应用

1、列方程解应用题的一般步骤【非常重要】【审、设、列、解、验、答】：

（1）审：审清题意，找出已知量和未知量，分析数量关系，找出等量关系。

（2）设：设出合理的未知数（直接设或间接设）。

（3）列：根据等量关系，列出方程。

（4）解：解所列的方程，求出未知数的值。

（5）验：检验所求的解是否符合方程，是否符合实际意义。

（6）答：写出答案（包括单位名称）。

2、常见题型与等量关系【高频考点】：

（1）行程问题：路程=速度×时间。相遇问题：总路程=甲走的路程+乙走的路程；追及问题：追及路程=速度差×追及时间。

（2）工程问题：工作量=工作效率×工作时间。通常把总工作量看作1。

（3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；售价=标价×折扣。

（4）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息。

（5）调配问题：抓住调配前后数量的变化，找到新的数量关系。

（6）数字问题：用数位上的数字表示数。如一个两位数=十位数字×10+个位数字。

（7）方案选择问题：分别计算不同方案下的结果，再进行比较