圆的对称性课件北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版数学九年级下册第三章

圆3.2圆的对称性新课导入（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你是用什么办法解决上述问题的？与同伴进行交流.O3.2圆的对称性

教学过程幻灯片分页内容第1页：情境导入（5分钟）1.展示生活中的对称图形：摩天轮、圆形钟表、奥运五环，提问：“这些图形有什么共同特点？”引导学生回忆轴对称图形、中心对称图形的定义。2.聚焦圆形：“圆作为特殊的平面图形，是否也具有对称性？如果有，它的对称性和我们之前学过的等腰三角形、矩形相比，有什么特别之处？”3.引出课题：今天我们就一起来探究“圆的对称性”，揭开圆对称的神秘面纱。第2页：探究一：圆的轴对称性（10分钟）1.动手操作：请学生拿出准备好的圆形纸片，任意折叠圆，观察折叠后的两部分是否完全重合。重复几次折叠，换不同的折叠方向。2.思考讨论：“每次折叠后，两部分都能重合吗？折叠线是什么？圆有多少条这样的折叠线？”3.得出结论：引导学生总结——圆是轴对称图形，它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。4.深化理解：提问：“为什么说直径所在的直线是对称轴，而不是直径本身？”（明确对称轴是直线，直径是线段）第3页：探究二：垂径定理（15分钟）1.实验探究：在圆形纸片上画一条弦AB，再画一条直径CD，使CD垂直于AB，垂足为E。将圆形纸片沿CD折叠，观察点A和点B的位置关系，以及AE与BE、弧AC与弧BC、弧AD与弧BD的关系。2.小组交流：分享折叠发现，汇总结论：折叠后点A与点B重合，AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。3.抽象定理：引导学生将实验结论转化为数学语言，得出垂径定理——垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。4.定理辨析：展示反例（直径垂直于直径），提问：“如果弦是直径，垂径定理的结论还成立吗？”明确：垂径定理中“弦”不包括直径（或补充：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）。第4页：垂径定理应用（10分钟）1.例题讲解：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。解题步骤：①

过O作OE⊥AB于E，连接OA；②

由垂径定理得AE=AB/2=4cm；③

在Rt△AOE中，OA²=OE²+AE²=3²+4²=25，故OA=5cm，即⊙O的半径为5cm。2.思路点拨：强调“作垂线、连半径”的辅助线方法，将圆的问题转化为直角三角形问题求解。第5页：探究三：圆的中心对称性（10分钟）1.动手操作：取圆形纸片，标出圆心O，在圆上任意取一点A，将圆形纸片绕圆心O旋转180°，观察点A的位置。2.思考延伸：“旋转后点A能与圆上另一个点重合吗？如果绕圆心旋转任意角度，点A还能与圆上某点重合吗？”3.得出结论：圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合（圆的旋转不变性）。4.联系应用：提问：“生活中哪些现象利用了圆的旋转不变性？”（如车轮滚动、转盘游戏等）第6页：探究四：圆心角定理（10分钟）1.定义引入：给出圆心角的定义——顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。2.实验探究：在两个等圆中，分别画两个相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'，观察它们所对的弦AB与A'B'、所对的弧AB与A'B'的关系；再将其中一个圆绕圆心旋转，使两个圆心角重合，验证结论。3.总结定理：引导学生得出圆心角定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。4.推论拓展：提问：“如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？所对的圆心角呢？”得出推论——在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。第7页：巩固练习（10分钟）1.基础题：判断下列说法是否正确：①

圆有无数条对称轴，每条对称轴都是直径；②

垂直于弦的直线平分弦；③

在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等。（答案：①×

②×

③√）2.应用题：如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于E，若弧CD=60°，OE=2，求⊙O的半径。（提示：连接OC，由弧CD=60°得∠COD=60°，CD⊥AB得∠COE=30°，在Rt△COE中，OC=2OE=4）3.小组比拼：让学生分组完成练习，派代表展示解题过程，教师点评纠错。第8页：课堂小结与作业布置（5分钟）1.小结回顾：①

圆的对称性：轴对称（无数条对称轴，直径所在直线）、中心对称（对称中心为圆心）、旋转不变性；②

核心定理：垂径定理、圆心角定理及推论；③

解题技巧：常用辅助线（作垂线、连半径）。2.作业布置：①

教材习题3.2第1、3、5题；②

拓展任务：用圆的对称性解释“车轮为什么是圆形的”。O利用折叠的方法，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.探究新知想一想一个圆绕着它的圆心任意旋转一个角度，还能与原来的图形重合吗？·重合一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合.特别地，圆是中心对称图形，对称中心为圆心.ABCD我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.

圆心角的概念∠AOB∠COD∠AOC∠BOD判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.①②③④在等圆⊙O

和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB

和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA

与O′A′重合.做一做ABOO′O（O′）A′B′A′B′AB你能发现哪些等量关系？说一说你的理由.小红认为ABA′B′O（O′）她是这样想的：∵半径OA

与O′A′重合，∠AOB=∠A′O′B′，∴

半径OB

与O′B′重合.∵

点A

与点

A′重合，点B

与点B′重合，ABA′B′O（O′）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.∵∠AOB=∠A′OB′ABA′B′O（O′）想一想在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.ABA′B′O（O′）

如图，在⊙O中，（1）∵AB=A′B′，∴在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.ABA′B′O（O′）

如图，在⊙O中，（2）∵，∴AB=A′B′在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.ABA′B′O（O′）

如图，在⊙O中，（3）∵，∴AB=A′B′例如图，AB、DE

是⊙O

的直径，C

是⊙O

上的一点，且.BE

与CE

的大小有什么关系？为什么？BOCDAE解：BE

=

CE．理由是：∵∠AOD

=∠BOE，∴BE

=

CE．返回C1.下列说法中，不正确的是(

)A．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个返回2.π我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的几何图形，已知AC，BD为⊙O的直径，AC⊥BD，四边形EFGH是正方形，若⊙O的面积为4πcm2，则图中阴影部分的面积是________cm2.返回3.CD如图，AB，CD是⊙O的两条弦，连接OA，OB，OC，OD．∠CODCD∠COD返回4.B返回5.A返回6.54°如图，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝42°，那么∠AOE的度数等于________.返回7.返回8.返回9.D如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(

)返回10.B