2026届上海市六校高三上学期期中联考数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市六校2026届高三上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时3.设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（）．A. B. C. D.4.已知，，，C在函数，图像上，则下列判断错误的是（）A.存在，使得的点C有且只有一个B.任意，使得的点C至少一个C.存在，使得的点C有且仅有两个D.任意，使得的点C最多两个二、填空题：本题共12小题，共54分.5.函数的零点为___________.6.设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________.7.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.8.设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为___________.9.若，，，则的最小值为________．10.若满足，则曲线在点处切线的倾斜角为__________.11.设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________．12.若，则集合B的子集的个数为_______.13.在中，是边的中点.若，，，则________.14.已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，___________.15.设，的最小值为___________.16.已知A，B两点在曲线上，C，D两点在曲线上，给出下列四个结论：①的最小值为；②当与坐标轴平行时，最小值为2；③当四边形为正方形时，设正方形面积为S，则；④当直线均为曲线和的公切线时，线段的中点在轴上．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

18.某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的pH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计这30天河流pH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若pH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中pH值在的称为“轻度超标日”，pH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率.

19.如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，.（1）证明：；（2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离.

20.已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.（1）若，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求证；（3）求的最小值.

21.给定函数，若过点恰能作曲线的条切线，则称是的“秩点”，切点的横坐标为的“秩数”.（1）若是函数的“秩点”，求其“秩数”；（2）证明：是函数的“0秩点”；（3）记使函数的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为.证明：对，，且，有.上海市六校2026届高三上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时3.设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（）．A. B. C. D.4.已知，，，C在函数，图像上，则下列判断错误的是（）A.存在，使得的点C有且只有一个B.任意，使得的点C至少一个C.存在，使得的点C有且仅有两个D.任意，使得的点C最多两个二、填空题：本题共12小题，共54分.5.函数的零点为___________.6.设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________.7.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.8.设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为___________.9.若，，，则的最小值为________．10.若满足，则曲线在点处切线的倾斜角为__________.11.设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________．12.若，则集合B的子集的个数为_______.13.在中，是边的中点.若，，，则________.14.已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，___________.15.设，的最小值为___________.16.已知A，B两点在曲线上，C，D两点在曲线上，给出下列四个结论：①的最小值为；②当与坐标轴平行时，最小值为2；③当四边形为正方形时，设正方形面积为S，则；④当直线均为曲线和的公切线时，线段的中点在轴上．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

18.某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的pH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计这30天河流pH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若pH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中pH值在的称为“轻度超标日”，pH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率.

19.如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，.（1）证明：；（2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离.

20.已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的