福州市2024-2025学年高三第二次质量检测数学（含答案）

(在此卷上答题无效)7.金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸.我国南京金箔

2024-2025学年高三年级第二次质量检测锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录.K系列的矩形金箔

数学试题K₀,K₁,K₂,…,K₁₃共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的

比值都相同；②每一序号的金箔(K₁₃除外)对裁后，可以得到两张后一序号的金

(完卷时间120分钟；满分150分)

箔.比如1张K₁金箔对裁后可以得到2张K₂金箔.若K₄金箔的较短边长为

友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、越界答题!210mm,则K金箔的较长边长约为

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，A.9mmB.13mmC.18mmD.26mm

只有一项是符合题目要求的.

8.已知椭圆C:的左、右焦点分别为F₁,F₂,点A在C上，点B

1.已知全集U=AUB={1,2,3,4},A∩(CvB)={2,4},B∩(CvA)={1},则A∩B=

A.{1,2,3,4}B.{1,3}C.{2,3,4}D.{3}在y轴上，F₁A⊥F₁B,且3AF₂=2F₂B,则cos∠BAF₁=

2.复数的共轭复数是

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多

A.1+√3iB.√3+iC.1-√3iD.√3-i

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

3.已知圆台上下底面积分别为π,4π,母线长为√5,则该圆台的体积为

9.抛物线y²=4x的焦点为F,准线与x轴交于点M,点A在抛物线上(除原点外),则

A.当AF⊥x轴时，

4.已知,则sinacosβ=B.当|AF|=3时，△AMF的面积为2

C.以AF为直径的圆与y轴相切

D.△AMF外接圆的面积最小值为π

5.已知|a|=3,|b|=2,(a-3b)·(a+2b)=-18,则a与b的夹角为

10.若数列{an}为递增数列且数列也为递增数列，则称{an}为“重增数列”.下

A.45°B.60°C.90°D.120°

列数列中，是重增数列的有

6.若函数f(x)=x",x∈(0,+∞)的图象如图所示，则函数

g(x)=logax+loga(2-x)的图象大致为A.{3”}B.{n⁵}C.{log₂n}D.{sinn}

11.定义在R上的函数f(x),g(x)满足：①当x>0时，f(x)>0,且g(x)>0;

②g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y);③g(x-y)=g(x)g(y)-f(x)f(y),则

A.g(0)=1B.g(x)为偶函数

C.f(x)为奇函数D.f(x)为周期函数

ABCD

高三数学—1—(共4页)高三数学—2—(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.18.(17分)

12.已知随机变量ξ~N(4,σ²),若P(ξ≤5)=0.6,则P(3<ξ<4)=

已知函数f(x)=(x+1)In(x+1)-1,g(x)=—ax²+2x-e

13.函数

(1)求f(x)的最小值；

14.已知∈动直线与函数的图象交于三点，且点

aR,lf(x)=x³-3x²+axA,B,CA(2)Va∈R,写出一条与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切的定直线的方程(无需

在轴的左侧，为线段的中点，则点的横坐标的取值范围为

yMBCM写出求解过程);

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(3)当x≥0时，f(x)≥g(x),求a的取值范围.

15.(13分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB-bcosA=a-c.

(1)求B;

(2)若b²=ac,△ABC的面积为√3,求△ABC的周长.

19.(17分)

某商店售卖一种珠环，消费者从红、蓝两种颜色的装饰珠中各选出偶数个，按

16.(15分)随机的顺序用绳子穿成“串”(穿在一根绳子上，之后固定位置不可移位),再将绳子

已知0为坐标原点，双曲线E:经过点A(-5,2),左、右首尾相接连成“环”.小王现在选了6个红珠4个蓝珠穿成一个“串”.

(1)如果小王将这一串装饰珠剪了一刀分成了两串，每串各有5个装饰珠，求

焦点分别为F₁(-6,0),F₂(6,0).

这两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠的概率；

(1)求E的离心率；

(2)在把10个装饰珠连成环后，小王剪了两刀将珠环分成各含4个装饰珠和6个装

(2)一组平行于OA的直线与E相交，证明这些直线被E截得的线段的中点在同

饰珠的两串.设4个装饰珠串里红珠的个数为随机变量求的分布列与期望；

一条直线上.X,X

(3)如果小王选了2m个红珠和2n个蓝珠以任意顺序连成一个“环”(m,n∈N*),

求证：只需要在合适的位置剪两刀，总可将环分成两串，每串都恰好是m个红珠和n

17.(15分)个蓝珠.

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2

的正方形，PA=AB,AB⊥PD,∠PAD=120°,E为线段

PD的中点.

(1)证明：直线PB//平面ACE;

(2)求直线AE与平面PAC所成角的正弦值.

高三数学—3—(共4页)高三数学—4—(共4页)

2024-2025学年高三年级第二次质量检测

数学参考答案

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试

题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题

的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分

数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.D2.C3.C4.D

5.B6.A7.D8.A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.ACD10.AB11.ABC

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.0.113.14.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.

15【命题意图】本小题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积等基础知识，考查逻辑思维

能力、运算求解能力、空间想象能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转

化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性，满分

13分.

【解析】解法一：(1)因为acosB-bcosA=a-c,

由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sinA-sinC,·……·………·………·2分

所以sinAcosB-sinBcosA=sinA-sin(A+B),……··…·…3分

=sinA-sinAcosB-sinBcosA,…………4分

即2sinAcosB=sinA,…··…···……·………………5分

因为sinA≠0,所以··…….·………6分

高三数学参考答案(第1页共11页)

因为B∈(0,π),所以…………7分

(2)因为△ABC的面积

所以ac=4………………………9分

因为b²=ac=4,所以b=2,

由(1)得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=(a+c)²-3ac…………10分

所以ac=(a+c)²-3ac,故(a+c)²=16……………………11分

解得a+c=4…………………12分

所以△ABC的周长a+b+c=6……………13分

解法二：(1)因为acosB-bcosA=a-c,

由余弦定理得……2分

即(a²+c²-b²)-(b²+c²-a²)=2ac-2c²,

即2a²-2b²=2ac-2c²,

所以a²+c²-b²=ac……………5分

所以……………6分

因为B∈(0,π),所以…………………7分

(2)由(1)得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac,

因为b²=ac,

所以ac=a²+c²-ac,整理得(a-c)²=0…………………9分

即a=c,又,所以△ABC为等边三角形，

即a=b=c,…………10分

因为△ABC的面积

所以a=2………………………12分

所以△ABC的周长为6………………………13分

解法三：(1)同解法一………………………7分

高三数学参考答案(第2页共11页)

(2)由(1)得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac,

所以b²≥ac,

当且仅当ac时取“·”,……·………………9分

因为b²:ac,

所以a=b=c,……………………·10分

因为△ABC的面积

所以a=2,……·…··………····12分

所以△ABC的周长为6.………·……·………………·…13分

16.【命题意图】本小题考查双曲线的标准方程及简单几何性质、曲线与方程、直线与双

曲线的位置关系等基础知识，考查逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力等，考查

数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运

算等核心素养，体现基础性与综合性，满分15分，

【解析】解法一：(1)依题意，得…………………3分

解得

所以E的离心率……………·………·…··……···…6分

(2)由(1)知E的方程为………8分

直线OA的斜率,设平行于OA的一组直线方程为,与E交于点

B(x,y₁),C(x₂,y₂),线段BC的中点为M(x₀,yo)…

由

得,即…………………10分

高三数学参考答案(第3页共11页)

所以

因为·……··……………···…13分

所以yo=-2x₀,

即这些直线被E截得的线段的中点在同一条直线y=-2x上.……··………15分

解法二：(1)因为两焦点分别为F₁(-6,0),F₂(6,0),所以c=6,1分

2a=√(-5+6)²+2²-√(-5-6)²+2²=4√5,即a=2√5,……·.…………4分

所以E的离心率……………………6分

(2)由(1)知E的方程为·………···……··…….··……···8分

直线OA的斜率,设平行于OA的一组直线与E交于点B(x₁,y₁),C(x₂,y₂),线段

BC的中点为M(x₀,y。)、

由

···………….·………·12分

显然x₁≠x₂,y1+y₂≠0,所以·………··……··………13分

所以即yo=-2x₀,

即这些直线被E截得的线段的中点在同一条直线y=-2x上……15分

(注：未交待x₁≠x₂,Y1+y₂≠0不扣分.)

17.【命题意图】本小题考查棱锥的概念、直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平

面所成角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，

考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性，满分15分

高三数学参考答案(第4页共11页)

【解析】(1)证明：连接BD交AC于点H,连接HE,1分

因为四边形ABCD是正方形，

所以H是BD中点，又E为线段PD的中点，……………2分

所以HE//PB,…··………·………·……··3分

又HEc平面ACE,PBø平面ACE,

所以直线PB//平面ACE.…·……………·………6分

(2)因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD,

又AB⊥PD,AD∩PD=D,所以AB⊥平面PAD,……………8分

在平面PAD内作Ax⊥AP,分别以Ax,AP,AB为x,y,z轴的正方向建立如图所示的

空间直角坐标系A-xyz,···………··…··……··……………··…9分

又底面ABCD为边长为2的正方形，PA=AB,则PA=2,又∠PAD=120°,

得A(0,0,0),P(0,2,0),D(√3,-1,0),C(√3,-1,2),…10分

AC=(√3,-1,2),AP=(0,2,0),,…11分

设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),

则即

取z=-3,得n=(2√3,0,-3),……………13分

设直线AE与平面PAC所成角为θ,

·…………··……··………····15分

高三数学参考答案(第5页共11页)

即直线AE与平面PAC所成角的正弦值为

18.【命题意图】本小题考查导数的概念及其几何意义、函数的最值、不等式证明等基础

知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力等，考查数形结合思想、化归与

转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等

核心素养，体现综合性与创新性，满分17分.

【解析】解法一：(1)f(x)的定义域为(-1,+∞),…·………··……···……·1分

f'(x)=1n(x+1)+1…·…2分

当时，f'(x)<0,f(x)单调递减，

当时，f'(x)>0,f(x)单调递增，…·……·……·…4分

故

(2)存在定直线y=x-1与曲线y=f(x)与y=g(x)都相切…………8分

理由如下：因为g'(x)=ax+2-e*,g'(0)=1,f(0)=-1=g(0),f'(O)=1=g'(0),

所以曲线f(x)与曲线g(x)在(0,-1)处的切线方程均为y=x-1,即存在定直线y=x-1与

曲线y=f(x)与y=g(x)都相切.

(注：本小题给出正确答案即得满分，无需说明理由.)

(3),x∈(0,+∞),

因为x≥0时，f(x)≥g(x),所以H(x)≥0恒成立，…………9分

H'(x)=1n(x+1)-1-ax+eˣ,

令h(x)=H'(x),则

令T(x)=eˣ-x-1,则T'(x)=eˣ-1,

当x∈(-∞,0)时，T'(x)<0,T(x)单调递减，

当x∈(0,+∞)时，T'(x)>0,T(x)单调递增，

故T(x)mm=T(0)=0,故eˣ-x-1≥0,即e≥x+1,,………·……···……···11分

高三数学参考答案(第6页共11页)

则a≤2时，…………12分

所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(0),

又h(0)=0,所以h(x)≥0,即H'(x)≥0,

所以H(x)在[0,+∞]上单调递增，从而H(x)≥H(0),

又H(0)=0,所以H(x)≥0,·………·……………13分

当a>2时，

因为x∈(0,+∞),则

在[0,+∞]上单调递增，……·…….·……····………·14分

而h'(0)=2-a<0,故存在x₀∈(0,Ina),h'(x₀)=0,……15分

从而当x∈(0,x₀)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

所以当x∈(0,x₀)时，h(x)=H'(x)<H'(0),

又H'(0)=0,所以H'(x)<0,所以H(x)在(0,x₀)上单调递减，

所以H(x。)<H(0),又H(0)=0,

故H(x。)<0,与H(x)≥0矛盾，故不合题意……16分

综上所述，实数a的取值范围为(-∞,2).………………17分

解法二：(1)同解法一…·……·………·………………·………··……5分

(2)同解法一·……………·………8分

(3),x∈(0,+∞),

因为x≥0时，f(x)≥g(x),所以H(x)≥0恒成立，…………9分

H'(x)=1n(x+1)-1-ax+e*,

令h(x)=H'(x),则有

则a≤2时，……11分

高三数学参考答案(第7页共11页)

当x∈[0,+∞]时，

故T(x)在(0,+∞)上单调递增，T(x)≥T(0),又T(O)=0,所以T(x)≥0,故h'(x)≥0,

………·……12分

所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，从而H'(x)=h(x)≥h(0),又h(0)=0,所以H'(x)≥0,

所以H(x)在(0,+∞)上单调递增，从而H(x)≥H(0),又H(0)=0,所以H(x)≥0恒成立；

…………………13分

当a>2时，

因为x∈[0,+∞],则

故在[0,+]上单调递增，………14分

而h'(0)=2-a<0,故存在x₀∈(0,Ina),h'(x₀)=0,………15分

从而当x∈(0,x₀)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

所以当x∈(0,x₀)时，h(x)=H'(x)<H'(O),

又H'(0)=0,所以H'(x)<0,所以H(x)在(0,x₀)上单调递减，

所以H(x₀)<H(0),又H(0)=0,

故H(x₀)<0,与H(x)≥0矛盾，故不合题意……·……·………·16分

综上所述，实数a的取值范围为(-∞,2).……··……··……··17分

解法三：(1)同解法一…………5分

(2)同解法一……………………8分

(3),x∈(0,+∞),

因为x≥0时，f(x)≥g(x),所以H(x)≥0恒成立，·……·………··……·………9分

H'(x)=In(x+1)-1-ax+e*,

高三数学参考答案(第8页共11页)

令h(x)=H'(x),则有

因为x∈[0,+∞],则有……··………·…………···……·11分

在[0,+∞]上单调递增，…··……····…···.···12分

所以当a≤2时，h(x)≥h'(0),又h'(0)=2-a≥0,故h'(x)≥0,

所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，从而H'(x)=h(x)≥h(0),又h(0)=0,所以H'(x)≥0,

………………………13分

所以H(x)在[0,+∞]上单调递增，从而H(x)≥H(0),又H(0)=0,所以H(x)≥0恒成立；

·……··………··……···……···………·14分

当a>2时，h'(0)=2-a<0,

又有h'(x)在[0,+∞]上单调递增，故存在x₀∈(0,lna),h'(x。)=0,15分

从而当x∈(0,x₀)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

所以当x∈(0,x₀)时，h(x)=H'(x)<H'(O),

又H'(0)=0,所以H'(x)<0,所以H(x)在(0,x₀)上单调递减，

所以H(x₀)<H(0),又H(0)=0,

故H(x₀)<0,与H(x)≥0矛盾，故不合题意.……·……16分

综上所述，实数a的取值范围为(-∞,2).…··………··……··…………·………··17分

19.【命题意图】本小题考查古典概型、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考

查逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力，考查数形结合思想，化归与

转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创

新性，满分17分.

【解析】(1)设两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠为事件A,·