四川省安岳县周礼中学2025-2026学年高中毕业班第一次质量检测试题数学试题含解析

四川省安岳县周礼中学2025-2026学年高中毕业班第一次质量检测试题数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是()A． B． C． D．2．已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图像，可将函数的图像（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．4．设分别为的三边的中点，则（）A． B． C． D．5．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（）A． B． C． D．6．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()A． B．C． D．7．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里9．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，若F到直线的距离为，则E的离心率为()A． B． C． D．10．函数的大致图像为（）A． B．C． D．11．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B． C． D．112．已知函数，若，则的最小值为（）参考数据：A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．能说明“在数列中，若对于任意的，，则为递增数列”为假命题的一个等差数列是______.（写出数列的通项公式）14．已知随机变量服从正态分布，，则__________．15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________.16．若函数为偶函数，则．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.18．（12分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：于点P，点F为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线与曲线E相切于点，过Q且垂直于的直线为，直线，分别与y轴相交于点A，当线段AB的长度最小时，求s的值．20．（12分）已知数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：．21．（12分）为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.（1）求的值；（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？文科生理科生合计获奖6不获奖合计400（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面积；（2）若D，E是BC边上的三等分点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.【详解】关于直线对称的直线方程为：原题等价于与有且仅有四个不同的交点由可知，直线恒过点当时，在上单调递减；在上单调递增由此可得图象如下图所示：其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点设，，则，解得：设，，则，解得：，则本题正确选项：本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.2．C【解析】

依题意可得，且是的一条对称轴，即可求出的值，再根据三角函数的平移规则计算可得；【详解】解：由已知得，是的一条对称轴，且使取得最值，则，，，，故选：C.本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.3．A【解析】

根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，若有且仅有3个零点，则等价为有且仅有3个根，即与有三个不同的交点，作出函数和的图象如图，当a=1时，与有无数多个交点，当直线经过点时，即，时，与有两个交点，当直线经过点时，即时，与有三个交点，要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间，即，故选：A．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.4．B【解析】

根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.【详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:,故选:B本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.5．A【解析】试题分析：设公差为或（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.6．B【解析】

根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除.【详解】根据函数图象得定义域为，所以不合题意；选项，计算，不符合函数图象；对于选项，与函数图象不一致；选项符合函数图象特征.故选：B此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.7．C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．8．C【解析】

设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程．【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里．故选：C．本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．9．A【解析】

由已知可得到直线的倾斜角为，有，再利用即可解决.【详解】由F到直线的距离为，得直线的倾斜角为，所以，即，解得.故选：A.本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于的方程或不等式，本题是一道容易题.10．D【解析】

通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数的定义域为，当时，，排除B和C；当时，，排除A.故选：D.本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.11．B【解析】

，选B.12．A【解析】

首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值.【详解】由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为.故选：A本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．答案不唯一，如【解析】

根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.【详解】由题意知，不妨设，则，很明显为递减数列，说明原命题是假命题.所以，答案不唯一，符合条件即可.本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是否满足命题中的条件，属基础题.14．0.22.【解析】

正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．15．【解析】

利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果.【详解】由正弦定理可知，，即.故答案为：.本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题.16．1【解析】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由题意可知：由，求得点坐标，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，由韦达定理，由，由为锐角，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线斜率的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）根据题意是等腰直角三角形，，设由得则代入椭圆方程得椭圆的方程为（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在，可设方程为设由得由直线与椭圆有两个不同的交点则即得又为锐角则即②由①②得或故直线斜率可取值范围是本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．18．（1）（2）【解析】

（1）因为，可得，即可求得答案；（2）分别设、的斜率为和，切点，，可得过点的抛物线的切线方程为：，联立直线方程和抛物线方程，得到关于一元二次方程，根据，求得，，进而求得切点，坐标，根据两点间距离公式求得，根据点到直线距离公式求得点到切线的距离，进而求得的面积.【详解】（1），，解得，抛物线的方程为.（2）由题意可知，、的斜率都存在，分别设为和，切点，，过点的抛物线的切线：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切线的方程为，点到切线的距离为，，即的面积为.本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式19．（1），（2）．【解析】

根据题意设，可得PF的方程，根据距离即可求出；点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，根据导数的几何意义和斜率公式，求，并构造函数，利用导数求出函数的最值．【详解】因为抛物线C的方程为，所以F的坐标为，设，因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴，所以圆M的半径为，点，则直线PF的方程为，即，所以，又m，，所以，即，所以E的方程为，，设，，，由知，点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，由，所以，，所以，，所以，．令，，则，由得，由得，所以在区间单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值也是最小值，即AB取得最小值此时．本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．20．（Ⅰ），．（Ⅱ）见解析【解析】

（1）由，分和两种情况，即可求得数列的通项公式；（2）由题，得，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案.【详解】（Ⅰ）解：由题，得当时，，得；当时，，整理，得．数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，故．故得证．本题主要考查根据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.21．（1），，.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析【解析】

（1）根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列，即可得解