2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学试题+解析

2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学试题+解析一、选择题（每题5分，共25分）

1.设集合A={x|0≤x≤4}，B={x|x<2或x>5}，则A∩B等于（）

A.空集

B.{x|0≤x<2}

C.{x|2≤x≤4}

D.{x|0≤x≤5}

答案：B

解析：集合A是闭区间[0,4]，集合B是(∞,2)∪(5,+∞)，交集即为两个集合共有的部分，因此A∩B={x|0≤x<2}。

2.若a=3^x，b=3^y，则a+b的最小值为（）

A.6

B.9

C.18

D.36

答案：B

解析：由基本不等式知，a+b≥2√(ab)=2√(3^x×3^y)=2×3^(x+y/2)。因为3^x和3^y均为正数，所以当x=y时，a+b取得最小值，此时a+b=2×3^(x+y/2)=2×3^x=9。

3.已知函数f(x)=x^33x+1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内的根的个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=±1。f(0)=1，f(1)=1。因为f'(x)在(0,1)内为正，所以f(x)在(0,1)内单调递增，故方程f(x)=0在区间(0,1)内只有一个根。

4.在三角形ABC中，a=8，b=10，cosA=3/5，则三角形ABC的面积S等于（）

A.12

B.24

C.36

D.48

答案：B

解析：由余弦定理得c^2=a^2+b^22abcosA=64+1002×8×10×(3/5)=144，所以c=12。再由海伦公式S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2=15，得S=√[15×(158)×(1510)×(1512)]=24。

5.若函数f(x)=2x^33x^2x+1在x=1处的切线与x轴平行，则切点的坐标为（）

A.(1,1)

B.(1,0)

C.(2,1)

D.(2,0)

答案：A

解析：f'(x)=6x^26x1，切线平行于x轴，即f'(1)=0。将x=1代入f'(x)得f'(1)=661=0，所以切点横坐标为1。再将x=1代入f(x)得f(1)=231+1=1，所以切点坐标为(1,1)。但题目要求切线与x轴平行，因此正确答案为(1,1)。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若函数y=f(x)的图像关于点(2,3)对称，则f(1)=______。

答案：2

解析：图像关于点(2,3)对称，意味着f(2+x)+f(2x)=6。令x=1，得f(3)+f(1)=6。又因为图像关于点(2,3)对称，所以f(3)=3。代入上式，得f(1)=2。

7.若函数f(x)=x^2+ax+b在x=1处的切线斜率为3，则a+b=______。

答案：4

解析：f'(x)=2x+a，切线斜率为3，即f'(1)=3。将x=1代入f'(x)得2+a=3，解得a=1。再将a代入f(x)得f(x)=x^2+x+b。因为f(x)在x=1处的切线斜率为3，所以f(1)=1^2+1+b=3，解得b=1。所以a+b=2。

8.若a，b，c成等比数列，且a+b+c=12，abc=27，则a，b，c分别为______。

答案：1，3，9或9，3，1

解析：因为a，b，c成等比数列，所以b^2=ac。又因为abc=27，所以b^3=27，解得b=3。将b=3代入a+b+c=12，得a+c=9。由等比数列的性质，得a/c=c/a，即a^2=c^2。将a^2=c^2代入a+c=9，得a=c=4.5。但a，b，c为整数，所以a，b，c分别为1，3，9或9，3，1。

9.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，则a+b+c=______。

答案：1

解析：f'(x)=3x^2+2ax+b，令f'(1)=0，得3+2a+b=0。又因为f(x)在x=1处取得极小值，所以f''(1)>0，即f''(x)=6x+2a>0。将x=1代入f''(x)，得6+2a>0，解得a>3。将a>3代入3+2a+b=0，得b<62a。又因为f(1)=1+a+b+c，所以a+b+c=f(1)1。因为f(x)在x=1处取得极小值，所以f(1)为f(x)在x=1处的函数值，即f(1)=1+a+b+c。所以a+b+c=1。

10.若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)，则函数f(x)=______。

答案：周期函数

解析：f(x+1)=f(x)表示函数f(x)的周期为1。所以f(x)为周期函数。

三、解答题（每题15分，共45分）

11.已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求函数f(x)的单调区间。

答案：单调增区间为(∞,1)和(3,+∞)，单调减区间为(1,3)。

解析：f'(x)=3x^212x+9，令f'(x)=0，得x=1或x=3。当x<1时，f'(x)>0，所以f(x)在(∞,1)上单调递增；当1<x<3时，f'(x)<0，所以f(x)在(1,3)上单调递减；当x>3时，f'(x)>0，所以f(x)在(3,+∞)上单调递增。

12.在三角形ABC中，a=5，b=7，C=60°，求三角形ABC的面积。

答案：12.25。

解析：由余弦定理得c^2=a^2+b^22abcosC=25+492×5×7×(1/2)=49，所以c=7。再由海伦公式S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2=11.5，得S=√[11.5×(11.55)×(11.57)×(11.57)]=12.25。

13.已知函数f(x)=x^2+ax+b，若f(x)在x=1处取得极大值，且f(x)在x=2处取得极小值，求a和b的值。

答案：a=4，b=5。

解析：f'(x)=2x+a，令f'(1)=0，得2+a=0，解得a=4。又因为f(x)在x=2处取得极小值，所以f''(x)=2>0。将x=2代入f'(x)，得f'(2)=44=0。因此，f(x)在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值。所以f(1)为f(x