2025绵阳市绵中初升高自主招生考试数学试题+解析

2025绵阳市绵中初升高自主招生考试数学试题+解析一、选择题

1.若\(a^2+b^2=1\)，则\(a+b\)的取值范围是（）

A.\([1,1]\)

B.\([\sqrt{2},\sqrt{2}]\)

C.\([0,2]\)

D.\([1,2]\)

答案：B

解析：由\(a^2+b^2=1\)可知，\(a\)和\(b\)的取值范围为\([1,1]\)。考虑\(a+b\)的最大值和最小值，当\(a=1\)且\(b=0\)时，\(a+b\)取得最大值1；当\(a=1\)且\(b=0\)时，\(a+b\)取得最小值1。因此\(a+b\)的取值范围为\([\sqrt{2},\sqrt{2}]\)。

2.若\(a\cdotb<0\)，且\(a^2+b^2=2\)，则\(a+b\)的取值范围是（）

A.\([0,2]\)

B.\([2,2]\)

C.\([\sqrt{6},\sqrt{6}]\)

D.\([2,\sqrt{6}]\)

答案：D

解析：由\(a\cdotb<0\)可知\(a\)和\(b\)异号，且\(a^2+b^2=2\)。考虑\(a+b\)的最大值和最小值，当\(a=1\)且\(b=1\)时，\(a+b\)取得最小值2；当\(a=1\)且\(b=1\)时，\(a+b\)取得最大值\(\sqrt{6}\)。因此\(a+b\)的取值范围为\([2,\sqrt{6}]\)。

二、填空题

3.若\(a,b\in\mathbb{R}\)，且\(a^2+b^2=1\)，则\(a^3+b^3\)的取值范围是________。

答案：\([2,2]\)

解析：考虑\(a^3+b^3\)的最大值和最小值。首先，\(a^3+b^3=(a+b)(a^2ab+b^2)\)。因为\(a^2+b^2=1\)，所以\(a^2ab+b^2=1ab\)。由于\(a^2+b^2=1\)，所以\(a\)和\(b\)的取值范围为\([1,1]\)，故\(ab\)的取值范围为\([1,1]\)。因此\(1ab\)的取值范围为\([0,2]\)。又因为\(a+b\)的取值范围为\([\sqrt{2},\sqrt{2}]\)，所以\(a^3+b^3\)的取值范围为\([2,2]\)。

4.已知\(a,b\in\mathbb{R}\)，且\(a^2+b^2=2\)，则\(a^4+b^4\)的最小值是________。

答案：2

解析：由\(a^2+b^2=2\)，可得\(a^4+b^4=(a^2+b^2)^22a^2b^2=42a^2b^2\)。因为\(a^2+b^2=2\)，所以\(a^2b^2\leq1\)。因此\(a^4+b^4\geq42=2\)。等号成立当且仅当\(a^2b^2=1\)，即\(a=b\)。

三、解答题

5.设\(a,b\in\mathbb{R}\)，且\(a^2+b^2=3\)，求\(a+b\)的取值范围。

答案：\([\sqrt{6},\sqrt{6}]\)

解析：设\(a=\sqrt{3}\cos\theta\)，\(b=\sqrt{3}\sin\theta\)，其中\(\theta\in[0,2\pi)\)。则\(a+b=\sqrt{3}\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta=\sqrt{6}\sin(\theta+\pi/4)\)。因