安徽A10联盟2025-2026学年下学期高三数学2月开学考试卷（含解析）

数学满分150分，时间120分钟一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.1.已知集合A=x∣x2<6A.{−1,2}B.{−2.设z=2+i1+iA.12+32iB.3.如下一组数据:85，105，94，96，102，98，89，99，98，100，则这组数据的第80百分位数是()A.102B.101C.100D.994.在等差数列an中，a3+a4=7，A.23B.21C.19D.175.已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为()A.22B.33c.16.已知圆C与直线x+y=1相切,且经过坐标原点和A2,−1A.523B.5337.已知函数fx=sin2x，将fx的图象向右平移π12个单位长度，得到函数gx的图象.若∀α∈−5π12,−π4A.7π12,3π4B.7π8.若函数fx=eax−sinx在0,A.−1,0B.c.−1,二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a<b<0A.a−cC.aD.110.设Sn为数列an的前n项和,且SnA.a2=C.S2029−11.在三棱锥P−ABC中，AB=A.若PA=PB=PC=2B.若△PAB，△PBC，△PCA的周长均为4，则三棱锥C.若△PAB，△PBC，△PCA的内切圆的面积均为π9，则三棱锥D.若∠APB=∠BPC=∠CPA=三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知log2a+log413.已知向量e是单位向量，向量a在e上的投影向量为2e，向量b在e上的投影向量为3e，则a−b14.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点为F1,F2，且F2是抛物线C2:y四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某校积极推进“五育并举”育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了100名学生，得到如下列联表.性别是否喜欢围棋合计是否男生20女生2050合计100(1)补充完整列联表，根据α=0.01(2)为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲、乙两人晋级决赛，决赛规则如下:五周三胜,没有平局.已知每局甲胜乙的概率为23,在甲第一局失败的条件下,求甲最终获胜的概率.附:χ2=nadα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a(1)求A的大小；(2)若a=25，AQ为△ABC的角平分线，且AQ=117.(15分)如图几何体是圆锥PO的一部分，且AO=2PO=2，点C是AB上一点(不与A，B重合)，二面角P(1)求证:OA⊥PB(2)取PB的中点D，连接CD，若CD//平面POA(i)求∠AOC(ii)求点C到平面PAB的距离.18.(17分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C的右支于P，Q两点.(i)求直线l倾斜角的取值范围；(ii)过P作l1的平行线交l2于M,过Q作l2的平行线交l1于N19.(17分)已知a,k∈R,fx=xlnx,gx(1)求a,k(2)若fx1=fx(i)求实数b的取值范围；(ii)求证:1x2026届高三2月学情检测数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BCBADCDB1.BA={x∣−6<x2.Cz=2+i1+i=3.B将数据由小到大排序为:85,89,94,96,98,98,99,100,102,105,又10×80%=8,故这组数据的第80百分位数是4.A由题意得,2a1+5d=7a1+5d=5.D设轴截面的斜边为2,则R球=1，所以V球=436.C注意到点A2,−1在直线x+y=1上,所以圆心落在直线x−y=3上,又圆C过O0,0和A2,−1,所以圆心落在直线4x−2y7.D由题意得,gx=sin2x−π6,当α∈−5π12,−π4时,2α−π6∈−π,−2π3,则gα∈−32,0.因为存在三个实数8.B由题意得,f′x=aeax−cosx,f′′x=a2eax+sinx,当0<x<π2时,f′′x>0,所以二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案BCDACABD9.BCD由a<b,−c<−d得a−c<b−d,故A错误;由−a>−b>0,c>d>0得−ac>−bd,即ac<bd,故B正确;由a2>b2>10.AC令n=1,得S2−a1=1,即a2=1,故A正确;令n=2,得S3+a2=2,所以S3=1,故B错误;令n=2027,得S2028−a2027=2027①,令n=2028,得S2029+a2028=2028②,则②一①,得11.ABD作PD⊥平面ABC,垂足为D,则D为△ABC的外心,又△ABC为等边三角形,所以D为△ABC的中心,故A正确;如图,有1+a+b=1+b+c=1+c+a=4,化简得a=b=c=1.5,由A知B正确;内切圆的半径均为13，所以即a故选ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.2由题意得,log2a+12log2a=13.1令OA1=2e,OB1=3e,过A1作OA1的垂线l1,在l1上任取一点A,则a=OA,过B1作OB114.2设Px0,y0,则y02=2px0,对y2=2px求导得y′=py,所以kyy=py0,又kyy=y0x0+c,所以y0x0+c=py0,即y02=px0+四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)由题意得，2×2性别是否喜欢围棋合计是否男生302050女生203050合计5050100(2分)零假设H0:根据列联表,得χ2=根据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据推断H因此可以认为H0成立,即性别与喜欢围棋无关联.(7(2)在甲第一局失败的条件下，甲最终获胜的概率有两种情况:甲3:1胜乙,其概率P1=甲3:2胜乙,其概率P2=故甲最终获胜的概率P=P16.(15分)(1)由sin2A+cos−2sin所以−2sinAcosA因为A∈0,π,所以sinA≠0,则(2)△ABC中，由余弦定理得25即b+c2−因为AQ为△ABC的角平分线,所以1即bc=c联立①②，解得bc=5，所以S△ABC图117.(15分)(1)由题意得二面角P−AB−O的大小为如图1,取AB的中点Q,连接PQ,则PQ⊥AB,OQ⊥AB,所以∠所以∠PQO=所以PO=QO,又AO=2PO所以∠OAB=45∘,所以∠AOB=又OA⊥OP,且OB,OP⊂所以OA⊥平面POB,所以OA⊥(2)(i)如图2，取OB的中点E，连接DE,CE显然DE//平面POA,因为CD//平面POA,CD∩DE=D,所以平面CDE//平面POA,又平面CDE∩平面ABC=EC,平面POA∩平面ABC=OA,所以EC//OA.(7(ii)如图3,以O为坐标原点,分别以OB,OA,OP为则P0所以PA=0设平面PAB的法向量为n=由n⋅PA=0n⋅PB=0得2y所以平面PAB的一个法向量为n=1所以点C到平面PAB的距离d=n图218.(17分)(1)由题意得，a=b，c=2，所以所以C的方程为x22(2)(i)当直线l斜率存在时，此时直线l与C的右支有2个交点，满足题意.(4分)当直线l斜率不存在时,设直线l:联立y=kx−2x由P,Q两点均在C的右支,得解得k<−1或k综上,直线l倾斜角的取值范围为π4,(ii)联立y=−xy=x联立y=xy=−x+当直线l斜率存在时,x1=x2,y1=−y2当直线l斜率不存在时,xM则kMN(13分)要证明MN//PQ,只需证k只需证x1+x2−k由(i)知,x1+x2=4k综上,MN//PQ19.(17分)(1)由题意得，f′x设y=k与fx=x则f′x0=1+lnx0=0由y=k与gx=x所以−e−1−a=−(2)(i)由fx1=fx2=gx3=gx4=b由(1)知,fx在0,1e上单调递减,在1gx