2025年中考数学真题分类汇编20：特殊的平行四边形（13大考点69题）（教师版）

专题20特殊的平行四边形考点概览考点1矩形的性质考点2矩形的判定考点3矩形的性质与判定考点4菱形的性质考点5菱形的判定考点6菱形的性质与判定综合问题考点7正方形的性质考点8正方形综合问题考点9四边形与基本作图问题考点10四边形与翻折综合问题考点11四边形与最值综合问题考点12四边形与动点问题考点13四边形综合压轴问题考点1矩形的性质1．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿AD,BC剪下后得到一个▱ABCD，若∠1=70°，则∠2A．20° B．70° C．80° D．110°【答案】B【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果．【详解】解：∵▱ABCD∴AD∥∴∠2=∠1=70°；故选B．2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是（

）A．25 B．253 C．255 D【答案】B【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确画出图形并灵活运用相关知识是解题的关键．如图：根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OB=5，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=∵∠AOB∴△AOB∴AB=由勾股定理得，BC=∴矩形的面积=BC故选：B．3．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AEA．1 B．5 C．22 D．10【答案】D【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出BE的长，进而得到BC的长，推出AD的长，进而求出DE的长，再利用勾股定理求出CE的长即可．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠D=90°，∴BE=∴BC=∴AD=5∴DE=∴CE=故选D.4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADBA．95° B．100° C．110° D．145°【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得∠CBD=∠ADB=35°，利用斜边中线的性质求得【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵∠ADB∴∠CBD∵∠ABC=90°，P为∴PB=∴∠CBD∴∠BPF∴∠DPE故选：C．5．（2025·内蒙古·中考真题）如图，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC，BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH=20m，AD=30A．2400m2 B．1800m2 C．【答案】C【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到AB=2【详解】解：∵ABCD是一个矩形草坪，对角线AC，BD相交于点O，∴AO=∵H是BC边的中点，∴OH是△ABC∴OH=∴AB=2∵AD=30∴矩形ABCD的面积为AB⋅故选：C6．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（

）A．12 B．83 C．16 D．【答案】B【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得∠ACB=60°，然后解直角三角形可得AB,【详解】解：如图，∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，∴∠BCD=120°,∠A∴∠ACB∴AB=BC×同理BF=∴AF=2∴矩形的面积是AE×故选：B．7．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF=2,∠【答案】2【分析】如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN=12BE=2，HQ=【详解】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于∵BE=2CF，∴BE=4∵矩形ABCD，∴AN=CN=∴∠ABD=∠BAC∵H是DE的中点，∴HN是△BDE∴HN∥BE，∴∠ABD∴HQ=∵HN∥AB，∴HN∥∵HN=∴四边形HFCN是平行四边形，∴∠NCF=∠NHG=30°，而∴∠HGQ∴∠GHQ∴cos∠∴HG=1÷故答案为：2【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.8．（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF【答案】5【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接BD,BF，先由勾股定理求得BD=10，则BF≤BD【详解】解：连接BD,∵矩形ABCD中，AB=8,∴∠A∴BD=∴BF≤∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，∴GH是△EBF∴GH=∴当点F,D重合时，GH取得最大值为故答案为：5．9．（2025·湖北·中考真题）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是．【答案】2【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长×宽即可解答．【详解】解：根据题意可得矩形的面积是2m故答案为：2m10．（2025·吉林·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE,DF，(1)求证：△ABE(2)当AB=12，DF=13时，求【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）根据矩形得到AB=CD,∠（2）根据全等三角形得到AE=【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=∵∠BAE∴△ABE（2）解：∵△ABE∴AE=∵∠B=90°，∴BE=考点2矩形的判定11．（2025·四川德阳·中考真题）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（

）A．AB∥CD B．AB=BC C．【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形ABCD成为矩形．【详解】解：选项A：∵平行四边形本身就有AB∥∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误．选项B：∵AB=∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误．选项C：∵平行四边形本身就有∠B∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误．选项D：∵矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形ABCD中AC=∴平行四边形ABCD是矩形，该选项正确．故选：D．12．（2025·北京·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G(1)求证：四边形DFCG是矩形；(2)若∠B=45°，DF=3，DG=5，求【答案】(1)见解析(2)BC【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键．（1）由三角形中位线定理可得DE∥CF，即DG∥CF，则可证明四边形DFCG是平行四边形，再由（2）求出CF=5，解Rt△BDF得到BD=32，BF=3，则BC=BF+CF=8；由线段中点的定义可得AB=2BD【详解】（1）证明：∵D，E分别为AB，∴DE是△ABC∴DE∥CF，即∵DG=∴四边形DFCG是平行四边形，又∵DF⊥∴平行四边形DFCG是矩形；（2）解：∵DG=5∴CF=∵DF⊥∴∠DFB在Rt△BDF中，∠B∴BD=∴BC=∵点D为AB的中点，∴AB=2如图所示，过点A作AH⊥BC于在Rt△ABH中，∴CH=在Rt△AHC中，由勾股定理得13．（2025·青海·中考真题）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；(2)若AB=AC，试判断四边形【答案】(1)见解析(2)当AB=AC时，四边形【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质；（1）先证明△AEO≌△BDOAAS，可得（2）由AB=AC，点D是BC边上的中点，可得AD⊥BC即∠ADB=90°【详解】（1）证明：∵点O为AB的中点∴OA=∵AE∴∠EAO=∠OBD在△AEO和△∠∴△AEO∴AE∵AE∴四边形AEBD是平行四边形；（2）证明：当AB=AC时，四边形理由如下：∵AB=AC，点D是∴AD⊥BC即∵由（1）得四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是矩形.考点3矩形的性质与判定14．（2025·山东东营·中考真题）如图，在△ABC中，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与点B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．下列结论：①AC=FG；②SA．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④【答案】C【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°,AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG【详解】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD∴∠CAD∵FG∴∠G∴∠CAD在△FGA和△ACD中，∴△FGA∴AC=FG，故∵BC∴FG∵∠ACB∴FG∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF∴S△∴S△FAB:∵CA∴∠ABC=∠ABF∵∠BDQ∴∠ADC∵∠FQE∴△ACD∴AC∴AD⋅FE∴正确的有①②③④．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．15．（2025·山东东营·中考真题）如图，在△ABC中，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与点B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．下列结论：①AC=FG；②SA．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④【答案】C【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△【详解】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠ADE=∠FAD∴∠CAD∵FG⊥∴∠G∴∠AFG∴∠CAD在△FGA和△∠G∴△FGA∴AC=FG，故∵BC=∴FG=∵∠ACB=90°，∴FG∥∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBFS△FAB=12∵CA=CB，∴∠ABC=∠ABF∵∠FQE∴△ACD∴AC:∴AD⋅FE=∴正确的有①②③④．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．16．（2025·云南·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD=OB．连接AD, CD，记AB=a, BC(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若l2-l【答案】(1)见解析(2)10【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．（1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形ABCD是平行四边形，再由∠ABC（2）由矩形的性质得到l2-l1=b-【详解】（1）证明：∵O是AC的中点，∴OA=∵OD=∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵l2-l∴l2∵四边形ABCD是矩形，∴AB=∴a+∴a+∴b-解得：a=6∵∠ABC∴AC=∴AC的长为10．17．（2025·广西·中考真题）综合与实践树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN=3m，AN=1m，AP=2m，AB=3m，BC=2.5m，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，▱MNPQ也随之移动（MN始终在【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ设遮阳区的面积为Sm2，▱MNPQ【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值；【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，▱MNPQ【答案】（1）S随x的增大而增大；（2）x=3，S=5；（3）S=-2x【分析】（1）根据矩形的性质得tan∠PNA=APAN=2，根据平行四边形的面积公式得S▱MNPQ=（2）根据（1）的结论可得答案；（3）当3<x≤4时，如图，设▱MNPQ向右移动xm后得到▱M'N'P'Q'，设M'Q'交AD于点J，P此时遮阳区的面积为六边形AN'KHQ'J的面积，推出JAM'A（4）分别确定：当0≤x≤1时，当1<x≤3时，当【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，四边形MNPQ是平行四边形，MN=3，AB=3，BC=2.5，MN在AB∴∠DAB=90°=∠DAM，∠又∵如图2，P在AD上，AN=1，AP∴tan∠MA=MN当0≤x≤1时，如图，设PN交AD于点F，PQ交AD于点E，则此时遮阳区的面积为△PEF∵PQ∥∴∠P=∠PNA∴EFPE∴EF=2∴S=∴当0≤x≤1时，S随x的增大而增大，S的值从0增大到当1<x≤3时，如图，设PQ交AD于点G，则PG=x，此时遮阳区的面积为四边形ANPG的面积，∵PQ∥∴四边形ANPG为梯形，∴S=∴当1<x≤3时，S随x的增大而增大，S的值从1增大到综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大而增大；（2）如图3，此时点P落在BC上，则x=3由（1）知：当x=3时，S∴图3情形时，x=3，S（3）当3<x≤4时，如图，设▱MNPQ向右移动xm后得到▱M'N'P'Q'，设M'Q'交AD于点J，P此时遮阳区的面积为六边形AN∴Q'M'∥QM∴∠PNA=∠J∴JAM'A∴JA=2M'∴S==6-=6-=-2x∴从图3情形起右移至M与A重合，该过程中S关于x的解析式为S=-2（4）当0≤x≤1时，当x=1时，S的最大值为：S当1<x≤3时，当x=3时，S的最大值为：S当3<x≤4时，∵-∴当x=72时，S综上所述，当x=72时，S∴当遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了7【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键．考点4菱形的性质18．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点FA．2 B．6-32 C．22 D【答案】D【分析】由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF=90°，BE=EF，再根据菱形的性质，得出【详解】解：由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF在菱形ABCD中，∠B∴∠BAE=∠B∴AE∴AB∴BE∴BF∴CF故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．19．（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD=AC，四边形EFGH的面积为24，且HF=6，则GHA．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解．【详解】如图：连接EG，HF交于点O，因为E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，∴EH∥BD，EH=12BD；FG∥BD，FG=1∵BD=∴EH=∴四边形EFGH是菱形．∴EG⊥HF，OH∴∠HOG∵四边形EFGH面积为24，HF=6∴24=1解得EG=8∴OG在Rt△GH=(故选：B．20．（2025·青海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，BD=6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF=2，则菱形ABCD的面积为【答案】12【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由E，F分别为AB，BC的中点，得EF=12AC=2，所以AC【详解】解：∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF=∴AC=4∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积为12故答案为：12．21．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE．若AB【答案】4【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出△ABC是等边三角形，就可以得知△【详解】解：连接AC，CF，∵AE⊥BC，BE∴AE垂直平分BC∴AB∵菱形ABCD，∴BC∴△ABC∴∠ABC∴∠BAE∵BE∴AE=3∴AF故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键．22．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为【答案】13【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴OA=12∵AE=2∴OE=如图，取OE中点H，连接GH，∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，∴GH=12∴∠GHE∵OF=1∴HF=∴GF=故答案为：13．23．（2025·福建·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA=2,OD=1，则△【答案】1【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出S菱形ABCD=12【详解】解：∵菱形ABCD，OA=2,∴AC=4,BD=2，OA∴S菱形ABCD=∵∠AOE∴△AOE∴S△∴S△故答案为：1．24．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF=3，则EF【答案】85【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接AC，交BD于点O，过点E作EG⊥OD于点G，利用四边形ABCD是菱形，得出AD=AB=45，BO=OD=12BD=8，AO【详解】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EG⊥OD于点∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=45，∴AO=AD∴△DEG∴DEAD∵E是AD的中点，∴DEAD∴EG=2，DG∴FG=∴EF=故答案为：85．25．（2025·四川凉山·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点【答案】5【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，连接OE，由菱形对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OC=6，OD=8，则可由勾股定理求出【详解】解：如图所示，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点∴AC⊥∴∠COD在Rt△COD中，由勾股定理得∵E是边CD的中点，∴OE=∵EF⊥BD，∴∠OGE∴四边形OGEF是矩形，∴FG=故答案为：5．26．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，E, F分别是边AB求证：AF=【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到AB=BC，再由线段的和差关系证明BE=BF，则可利用SAS证明【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=∵AE=∴AB-AE=在△ABF和△BF=∴△ABF∴AF=考点5菱形的判定27．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，请添加一个条件，使平行四边形【答案】AB=AD(或【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可．【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：AB=根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：AC⊥故答案为：AB=AD(或28．（2025·上海·中考真题）在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB:AD的值为【答案】233【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得DF=DE，设DF=DE=m，则EF=【详解】解；∵E关于直线AD的对称点为F，∴DF=设DF=DE=∵四边形AFEB是菱形，∴AB=∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC∴∠ADF∴AD=∴AB:故答案为：2329．（2025·吉林长春·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB【答案】见解析【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键．先由勾股定理逆定理得到∠AOB【详解】证明：∵AB=5,∴OB2+∴OB∴∠AOB∴AC⊥∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．30．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）先证明△AOE≌△COFAAS得到AE=CF，根据▱ABCD（2）根据菱形的性质结合已知条件证明△CBA【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠AEO∵对角线AC的垂直平分线是EF，∴AO=∵∠AOE∴△AOE∴AE=∴四边形AFCE是平行四边形，∵EA=∴四边形AFCE是菱形；（2）解：如图，∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2，∵菱形AFCE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D∴△CBA∴CBCD∴53∴DE=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．31．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=(1)求证：△ABF(2)连接AE，CF，若∠ABD【答案】(1)见解析(2)四边形AECF是菱形，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形和平行四边形的判定等知识；（1）根据垂直的定义可得∠BAF=∠DCE=90°，根据平行线的性质可得（2）根据△ABF≌△CDE可得AF=CE，∠AFB=∠CED，即得AF【详解】（1）证明：∵AF⊥AB，∴∠BAF∵AB∥∴∠ABF∵BE=∴BF=∴△ABF（2）解：四边形AECF是菱形，理由如下：∵△ABF∴AF=CE，∴AF∥∴四边形AECF是平行四边形，在直角三角形ABF中，∵∠ABD∴AF=在直角三角形DCE中，∵EF=∴CF=∵BF=∴AF=∴四边形AECF是菱形.32．（2025·贵州·中考真题）如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF=CE，连接EF，FD，且EF(1)求证：▱ABCD(2)若BE=EF,【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）BE垂直平分AC，根据线段垂直平分线得到BA=（2）先由等腰三角形可设∠3=∠2=∠1=α，求出α=30°，由30°角直角三角形得到BC=2CE=8，可得△ABC为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明CG⊥【详解】（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥∴BE垂直平分AC，∴BA=∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD（2）解：如图：∵EB=∴∠3=∠2=∠1，设∠3=∠2=∠1=∴∠4=∠1+∠2=2α∵BE⊥∴∠3+∠4=90°，∴α+2解得：α∴∠4=60°，∵BE⊥∴BC=2又∵BC=∴△ABC∴∠∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥∴∠FCG∴∠FCG∵CF=∴CG⊥∵∠2=30°，∴CG=∴FG=∴S△【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，30°角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．考点6菱形的性质与判定综合问题33．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点【问题解决】（1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=度，线段BP与线段AC的位置关系是【问题探究】（2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°,∠PEC=60°，探究线段【拓展延伸】（3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE=2FG,【答案】（1）30，BP⊥AC；（2）CE=2BE，理由见解析；（3）AP的长为【分析】（1）根据菱形的性质证明△ABC（2）如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ，证明△BEQ为等边三角形，可得∠BEQ=60°=∠BQE，BE=EQ，求解（3）如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H，证明△HAB∽△BEG，可得AHAB=BEEG，设FG=x，则EF=BE=2x，可得AH=103，证明△APH∽△CPB，再进一步解答即可；如图，当P在线段OC上时，延长AD【详解】解：（1）∵在菱形ABCD中，∴AB=∵∠ABC∴△ABC∵点P与线段AC的中点O重合，∴∠PBC=1（2）如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△∴BE=BQ，∠EBQ∴△BEQ∴∠BEQ=60°=∠BQE∵点E在线段BP上，且∠AEP∴∠AEB=150°，∴∠BEQ=∠CEQ∴∠EQC∴∠ECQ∴CE=2（3）如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H，∵AH∥∴∠AHB∵∠ABC∴∠BAD∴△HAB∴AHAB设FG=x，则∴EG=3∴2x∴AH=∵AD∥∴△APH∴AHBC∴APPC∵△ABC∴AC=∴AP=5×如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H，同理可得：∠H=∠PBC∴△BAH设BE=EF=2m，而∴ABAH∴AH=10同理：△APH∴APCP∴AP=5×综上：AP的长为2或103【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.考点7正方形的性质34．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEFA．10 B．8 C．5 D．4【答案】C【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．根据四边形ABCD为正方形，得出AB=AD=BC=4,∠A=∠B=90°，AE【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∵E为AB的中点，∴AE∴CE=∵EF⊥∴∠AEF又∠BCE∴∠AEF∴△AEF∴AEBC=EF∴EF=∴△CEF的面积=故选：C．35．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（A．2 B．2 C．2+1 D．【答案】B【分析】如图，过G作GH⊥BC于H，由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，证明∠DEF=∠【详解】解：如图，过G作GH⊥BC于∵正方形ABCD，∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC由对折可得：BC=BF，CE=EF，∴∠DEF=∠FDE∴DF=∴CD=∴AC=∴OB=∵∠FBE=∠CBE，GH∴OG=∵BG=∴Rt△∴BH=∴CH=同理可得：CH=∴CG=故选：B.【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.36．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接A'A．A'D∥C．△A'CD的面积=△A'DE的面积【答案】D【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点A'作FG∥AB，分别交AD、BC于点F、G，由折叠的性质得∠AEB=∠A'EB，求得DE=A'E，推出∠EDA=∠EA'D，由∠AEA'是△A'【详解】解：过点A'作FG∥AB，分别交AD、BC于点F由折叠的性质得∠AEB=∠A∵E为边AD的中点，∴AE=∴DE=∴∠EDA∵∠AEA'∴∠AE∴∠AEB∴A'D∥∵正方形ABCD，∴AB=BC=设AB=∵E为边AD的中点，∴AE=由折叠的性质得∠BAE=∠BA'∵FG∥∴四边形ABGF和DCGF为矩形，∴FG=AB=10设DF=CG=x，则∴∠E∴△E∴A'∴A'F=∵A'∴12解得x=2∴DF=CG=2，A∴A'C=∴A'C=∵△A'CD的面积=12∴△A'CD的面积=△∵四边形A'BED的面积等于△A'DE△A'BC∴四边形A'BED的面积≠△A故选：D．37．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B0，-2．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°．得到正方形A'A．-3,5 B．C．-2,5 D．【答案】A【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'∥C【详解】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°．得到正方形A'∴AB=BC=A'B'∵B0∴B'2,0，∴D'故选：A38．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接A．58 B．54 C．55【答案】A【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接GE，证明Rt△EFG≌Rt△EBGHL，可得GF=GB，设GB=GF【详解】解：如图，连接GE，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C∵点E是BC边的中点，∴BE∵将△DCE沿直线DE翻折得△∴∠EFD=∠C∴∠GFE∵GE∴Rt∴GF设GB=GF=根据勾股定理可得AG即2-x解得x=∴DG∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，∴点H到AD,∴S故选：A．39．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=1，∠EBC=30°【答案】38【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC【详解】解：过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB，垂足为M，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC∴∠ABC∴AB∥∴FN=∵S△∴S△∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=∴∠BFC∴∠CFM∴CM=∴BM=∴S△故答案为：3840．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为1,0．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为0,3．则点E的坐标为【答案】-【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设AB=x，可得OA=x-1，在Rt△AOF中，利用勾股定理可求出x=5，根据翻折的性质得出OF=3，【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，如图，设CD与y轴交于点G，AB=∴∠AOG∴四边形OADG是矩形，∴AD=∵点A的坐标为1,0，∴OA=∵将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为0,3∴OF=3，AF=AD在Rt△AOF中，由勾股定理得：∴x2解得：x=5∴DG=设EG=a，则DE=在Rt△EFG中，由勾股定理得：∴4-a解得：a=∴点E的坐标为-3故答案为：-41．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE(2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”【答案】(1)见解析(2)22.5°【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．（1）由正方形的性质可得AB=CB，∠ABD（2）由正方形的性质可得∠BAD=90°，【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=又∵BE=∴△ABE（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD∵DE=∴∠DAE∵∠DAE∴∠DAE∴∠BAE42．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；(2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于【答案】(1)这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直；(2)如果另一端点P在花园边界BC上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析．【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）由四边形ABCD是正方形，则AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°，证明△BAE≌△ADF（2）由（1）得AE=DF，BE=AF，由勾股定理得出AF=5，由S△ABE=12BE⋅AO=1【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=∵DE=∴AE=∴△BAE∴BE=AF，又∵∠ABE∴∠DAF∴∠AOE∴AF⊥∴这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直；（2）解：能修建一条这样的直路，理由如下：由（1）得AE=DF，∵AE=3米，AD∴DF=3米，DC=4米，∴AF∴AF=5∴BE=5又∵在Rt△ABE中有∴5AO∴AO=∴OF=①如果另一端点P在路段OB上，则在Rt△OPF中，∴此种情况不成立；②如果另一端点P在花园边界BC上时，设PC=x，则在Rt△∴x=±∴PC=∵BP=∴能修建成这样的一条直路．43．（2025·四川广安·中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF(1)求证：△ADE(2)若四边形AECF的周长为434，求EF【答案】(1)见解析(2)EF的长为6【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．（1）正方形的性质，得到BC=AD，∠CBD=∠ADB（2）连接AC交BD于点O，根据正方形的性质结合中垂线的性质，推出AF=CF，AE=CE，由△ADE≌△CBF，可得：AF=CF【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AD=在△ADE和△AD=∴△ADE（2）解：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为正方形，BD=10，∴BD垂直平分AC，OA∴AF=CF由（1）知△ADE∴AE∴∵四边形AECF的周长为434∴在Rt△AOF∴BF∴EF答：EF的长为6．考点8正方形综合问题44．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上．连接BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点①∠OCP②OE=③当CE=CB时，④点A与点F之间的距离的最小值为25上述结论中，正确结论的序号有．【答案】①②④【分析】根据正方形的性质可得∠COP=90°=∠BFP，结合∠CPO=∠BPF，可得∠OCP=∠OBE，故①符合题意；证明△COP≌△BOE，可得OP=OE，故②符合题意；当CE=CB时，CF⊥BE，可得EF=BF，∠BFP=90°【详解】解：∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∵CF⊥∴∠COP∵∠CPO∴∠OCP=∠OBE∵∠COP=90°=∠BOE∴△COP∴OP=OE，故当CE=CB时，∴EF=BF，∴BP>BF=如图，取BC的中点R，连接AF,∵∠CFB∴F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当A,F,∵AB=∴RF=∴AR=∴AF=2∴点A与点F之间的距离的最小值为25-2故答案为：①②④【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键.45．（2025·四川南充·中考真题）如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③【答案】①③④【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．由旋转性质得△CBE≌△ABF，可得CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，进而由∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°即可判断①；由CF=BC+BF=AB+BF>【详解】解：由旋转可知：△CBE∴CE=AF，∠BCE∵在正方形ABCD中，∴∠ABC=90°，又∵∠AEM∴∠BEC∴∠AMC=90°，即CM⊥∵AB+BF>∴CF>AF，故如图：∵在正方形ABCD中，∴∠CAB∴∠AMC∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，∵CD=∴∠CAD=∠CMD如图：过N点作NG⊥AC，交AD于∵CE平分∠ACB，∠∴∠ACM∵AM=∴∠ACM∵∠CAD∴∠AGN=90°-∠CAD∴∠CAD=∠AGN∴AN=设AD=在Rt△ANG中，∴2A∴AN=(∵AC=∴CN=∴ANCN=(综上所述：①③④结论正确，故答案为：①③④．46．（2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP=45°，点F在射线DP上，且AE:DF=1:2，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE=22；②AE【答案】①③④【分析】过F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，证明△DHF为等腰直角三角形，推出AE=DH=HF，进而得到AB=EH，证明△BAE≌△EHF，推出△BEF为等腰直角三角形，进而得到∠BFE=∠EBF=45°，进而得到sin∠BFE=22，判断①；延长DC至点G，使CK=AE，连接BK，证明△ABE≌△CBK【详解】解：过F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，则：∵正方形ABCD，边长为4，∴∠A=∠ADC∴∠CDH∵∠CDP∴∠PDH∴△DHF∴DH=∵AE:∴DF=∴AE=∴AE+ED=∴AB=∵∠A∴△BAE∴∠ABE∴∠ABE+∠AEB∴∠BFE∴sin∠BFE=延长DC至点K，使CK=AE，连接∵AB=BC，∴△ABE∴BE=BK，∴∠ABE∴∠GBK又∵BG=∴△BEG∴EG=∴EG2=设AE=x，则：DE=∴△DEF的面积=∴当x=2时，△DEF的面积最大为2；故∵AE=∴DE=设CG=a，则：在Rt△EDG中，由勾股定理，得：解得：a=2∴CG=2=∴点G是线段CD的中点；故④正确；故答案为：①③④【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键．47．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践【问题情境】如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O．连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交【活动猜想】（1）GD与GE的数量关系是_______，位置关系是_______；【探索发现】（2）证明（1）中的结论；【实践应用】（3）若AD=3，AE=1，求【综合探究】（4）若AD=3，则当AP=_______时，【答案】（1）相等，垂直（2）证明见解析（3）3（4）3【分析】（1）根据图形进行猜想即可；（2）过点G作GM⊥BC于M，过点G作NT⊥GM分别交AB、CD于T、N，证明四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，结合正方形性质证明GN=GM=MC=CN=BT=（3）证明Rt△DAE≌Rt△ABF，得出∠ADE=∠BAF，AF=DE，再证明∠AOE=90°，在Rt（4）构造△DGP的外接圆⊙H，连接DH，PH，GH，过点H作HR⊥AC于点R，设⊙H的半径为r，过点D作DT⊥AC于T，证明△HPG是等腰直角三角形，得出PG=2r，求得S△DPG=12PG×DT=324PG，则当PG最小时，△DPG【详解】解：（1）相等，垂直；（2）过点G作GM⊥BC于M，过点G作NT⊥GM分别交AB、CD于T∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠TGM∴四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，∴GN=GM=MC=∴∠DNG∴DC-CN=∵FG⊥AC，∴∠ACB∴CG=∴CM=∴GN=∵AE=∴AB-∴ET=∴Rt△∴DG=GE，又∵∠NDG∴∠EGT∴∠DGE∴DG⊥（3）在正方形ABCD中，由AB=AD，∠DAE∴Rt△∴∠ADE=∠BAF∴∠ADE∴∠AOE∴AF⊥在Rt△DAE中，AD=3得DE=由等面积法得AO×即AO×∴AO=在Rt△OAE中，由（2）可知DG=GE，∴∠GED∴△EOQ∴QO=∴QF=（4）如图，构造△DGP的外接圆⊙H，连接DH，PH，GH，过点H作HR⊥AC于点R，设⊙H的半径为r，过点D由（2）可知DG=GE，∴∠GDP∴∠PHG∵HP=∴△HPG∴HR=∴PG=∵正方形ABCD中，AD=3，△∴AC=2AD∴S△∴当PG最小时，△DPG∴r最小时，△DPG∵DH+∴当DH+HR最小时，由点到直线的最短距离可得，当D、H、R依次共线，且DR⊥AC时，此时如图，点T与R重合，则DR=解得：r=∴PR=∴AP=【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．考点9四边形与基本作图问题48．（2025·山东烟台·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：(1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD(2)在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB=1，BC=2，求【答案】(1)作图见解析(2)3【分析】（1）以D为圆心，DC为半径画弧，以B为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，BE即可；（2）如图，证明AD=BC=2，AB=CD=1，AD∥BC，∠A=90°，可得【详解】（1）解：如图，△BED由作图可得：DE=DC，BE=∴△BCD∴△BED（2）解：如图，∵矩形ABCD，∴AD=BC=2，AB=CD∴∠ADB∵∠EBD∴∠FBD∴FB=设AF=x，则∴12解得：x=∴AF=【点睛】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练的作图是解本题的关键．49．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD，BC分别交于点E，(2)在（1）的条件下，连接BE，DF，求证：四边形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．（1）分别以B、D为圆心，以大于BD长的一半画弧，二者交于M、N，连接MN分别与与边AD，BC分别交于点E，F，则点E和点（2）由线段垂直平分线的定义打得到BE=DE，∠BOE=∠BOF=90°，OB=【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：如图所示，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠BOE∴∠EBD∵AD∥∴∠EDB∴∠EBO又∵OB=∴△EBO∴OE=∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BE=∴四边形BEDF是菱形．考点10四边形与翻折综合问题50．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ=12PF【答案】4【分析】分点P在矩形内部和点P在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，证明△AQH∽△PFA，进而得到AH=12AP=2，进而得到点Q在以AH为直径的圆上运动，得到当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，当点P在矩形外部时，同法可得，点Q在以AK为直径的圆上，得到当点【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD∵翻折，∴AP=当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，则：∴∠AHQ∵PF⊥∴∠PFA∴△AQH∴AHAP∵AQ=∴AHAP∴AH=∴点Q在以AH为直径的圆上运动，∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，∴点Q的运动路径长为：12当点P在矩形ABCD的外部时，作KQ⊥AP，交AB的延长线于点K同法可得：△AKQ∽△PAF∴∠AKQ=∠PAF，点Q在以AK为直径的⊙当点E运动到点C时，如图：∵AB=4,BC=4∴tan∠∴∠BAC∴∠CAD∵折叠，∴∠PAC∴∠PAF∴∠AKQ∴∠AOQ∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的AQ，路径长为60π∴点Q的运动路径总长为：π+故答案为：4【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点Q的运动轨迹，是解题的关键．51．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形ABCD纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB'，折痕与边BC交于点P．当AB'与AB，AD中任意一边的夹角为15°【答案】82.5°或52.5°或37.5°【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论AB'与AB，AD的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出【详解】解：①当AB'与AB的夹角为即∠BAB∵∠BAB'=15°∴∠BAP∵∠ABP∴∠APB②当AB'与AD的夹角为即∠BAB∵∠BAB'=75°∴∠BAP∵∠ABP∴∠APB或∠BA∵∠BAB'=105°∴∠BAP∵∠ABP∴∠APB综上，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°故答案为：82.5°或52.5°或37.5°．52．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点M处．若A、M、E【答案】2【分析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到CE=BE=ME，再根据等角对等边推出AD=AM，设【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=∵EF∥∴∠CEF=∠CBD由翻折得∠CEF=∠FEM∴∠EMB∴CE=∵AD∥∴∠ADM∴∠ADM∴AD=设BE=ME=x，则∴AB=∴ADCD故答案为2253．（2025·四川南充·中考真题）矩形ABCD中，AB=10,AD=17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP=【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM=4．点E在移动过程中，求PM【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN=4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求

【答案】（1）详见解析；（2）513-10；（【分析】（1）连接EF，证明Rt△（2）根据题意得点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上．连接AM，当点P在线段AM上时，PM有最小值．根据勾股定理求出AM（3）过点P作PH⊥AD于H，交BC于点G，证明△PHN∽△DHP，可得HP2=HN·HD，设HN=x，HD=13-x，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到HP=6，AH=8．HG即BE的长为5．【详解】（1）证明：连接EF，

由折叠可得∠APE=∠B=90°∵四边形ABCD为矩形，∠C∵E为BC的中点，BE=∴PE=EC在Rt△EPF与∵EP=EC，∴Rt△∴FP（2）解：AP=AB=10，点E∴点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上．连接AM，

当点P在线段AM上时，PM有最小值．∵AD=17，AB=CD∴DM=6∴AM=∴PM的最小值为AM-AP（3）解：过点P作PH⊥AD于H，交BC于点

∵∠NPD∴∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°．∴∠3=∠2．∵∠PHN∴△PHN∴HPHD∴HP∵AN=4，AD∴DN=13设HN=x，∴AH=x+4∵AB=10∴AP=∵HP∴HP∴x13-解得x=4∴HP=6，AH=8．HG=AB=10设BE=m，则PE=在Rt△PGE中，∴m2解得，m=5即BE的长为5．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．54．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B'处，折痕交AB于点E，再沿着过点，B'的直线折叠，使点D落在B'C边上的点D'处，折痕交CD于点F．将纸片展平，画出对应点B'、D'及折痕CE、B【初步猜想】（1）确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系．创新小组经过探究，发现CE∥B'F，证明过程如下：由折叠可知∠DB'F=∠CB'F=12∠DB'方法一：证明△AB'E≌△方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB'请补充上述过程中横线上的内容．【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程．【尝试运用】（3）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，按上述操作折叠并展开后，过点B'作B'G∥AB交CE于点G，连接【答案】（1）∠ECB'=∠FB'C，BE【分析】（1）根据折叠的性质，折痕为角平分线，结合平行线的性质，得到∠ECB'（2）根据题干给定的2种方法进行证明即可；（3）设BE=x，则B'G=B'E=CF=x，D'F=AE=AB-BE=6-x【详解】解：（1）由折叠可知∠DB'由矩形的性质，可知AD∥∴∠D∴∠EC∴CE智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为BE=（2）法一：∵矩形ABCD，∴∠A∵折叠，∴∠EB'C=∠∴AD-B'D=由（1）知：∠又∵∠A∴∠A又∵∠A∴△A∴B'∵BE=∴BE=法二：作B'G∥AB交CE于点∵CE∥∴四边形CFB∴B'∵矩形ABCD，∴AB∥∴AB∥∴∠B∵折叠，∴∠BEC=∠B∴∠B∴B'∴BE=（3）解：作B'G∥AB交CE于点由（2）可知：B'G=B'∴D'设BE=x，则：B'∴CD如图，当∠B∴∠G∴GD∴∠D又∵∠∴∠CG∴D'∵B'∴∠G∴在Rt△B'GD∴GD'G∴x6-解得：x=35-故BE=3当∠G∵∠B∴∠G∴G、∴B'∵四边形B'∴四边形B'∴∠GC∵∠GC∴∠GC设CF=a，则∴D'FFC=sin∴BE【点睛】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．55．（2025·山东·中考真题）【图形感知】如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC（1）求CD的长；【探究发现】老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A'BED'，其中A'，D（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：①甲：点D'恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点F，如图②乙：点A'恰好落在边BC上，如图3．求DE（3）如图4，连接DD'交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段【答案】（1）CD=45；（2）①四边形DBA'F是矩形，理由见解析；②DE=2【分析】（1）利用勾股定理求得BD=22（2）①由折叠的性质得∠A=∠A'=90°②延长AD和A'D'相交于点Q，连接BQ，证明四边形AB（3）先利用折叠的性质求得∠BPD=90°，推出点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP【详解】解：（1）∵∠BAD∴AD∥∴∠ADB∴△ADB∴ADBD∵∠BAD=90°，AD=2∴BD=∴22∴CD=4（2）①四边形DBA由折叠的性质得∠A=∠A∵∠ABD∴∠A∴四边形DBA②延长AD和A'D'相交于点Q由折叠的性质得∠A=∠A'=90°∵点A'恰好落在边BC∴AB=A'∴四边形ABA∵AB=∴四边形ABA∵∠ABE∴点E在对角线BQ上，∴DQ=AQ-∵四边形ABA∴AQ∥∴△DQE∴DECE∴DE=（3）由折叠的性质得∠EBD=∠EB∴BE是线段DD∴∠BPD∴点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP∴CP≤OC-OP，即点P在∵OC=∴线段CP的最小值为85-【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点P在以BD为直径的⊙O56．（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由；（2）如图②，已知▱ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M【答案】（1）四边形EFGH是矩形，理由见解析；（2）见解析．【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，圆周角定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质．（1）四边形EFGH是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可；（2）分别作AB,CD的中垂线，得到点N,Q，连接NQ，作NQ的中垂线，得到NQ的中点O，以O为圆心，ON的长为半径画圆，⊙O【详解】解：（1）四边形EFGH是矩形，理由如下：由折叠的性质可知，∠AFE=∠EFK∵∠AFB∴2∠EFK∴∠EFK+∠KFG同理可得：∠FGH∴四边形EFGH是矩形；（2）由（1）可知：AF=故F,H分别为AB,CD的中点，点同理：点N,Q分别为AB,CD的中点，点如图，M157．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：【探究发现】如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB>AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN=BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H．连接FH，GN，如图【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出ADAB【答案】[探究发现]：四边形DEGF是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形GFHN是平行四边形；[探究提升]：四边形GFHN为轴对称图形时，ADAB的值为12或【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理；[探究发现]由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE=GE，DF=GF，而[探究证明]同探究发现可知四边形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E为边AD的中点，M为边BC的中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE=BM，AD∥NH，又DE=FG，[探究提升]若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，设AT=x，则AE=2x，可得AD=2AE=4x，DE=AE=2x，求出AB=【详解】[探究发现]：解：四边形DEGF是菱形，理由如下：∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，∴DE=GE∵DF∴GE∴四边形DEGF是菱形；[探究证明]：证明：如图：∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，∴BN=HN∵BN∴HN∴四边形BMHN是菱形，∴NH∵E为边AD的中点，M为边BC∴DE=1∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC∴DE=BM∵四边形DEGF是菱形，∴DE=FG∴FG=DE∴四边形GFHN是平行四边形；[探究提升]：解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：由[探究证明]知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥∵∠A=60°∴∠AET∴AT设AT=x，则∴ET∵E为AD∴AD=2AE∵四边形DEGF是菱形，∴EG∵四边形GFHN是矩形，∴∠GNH∵AD∥NH∴∠HNB∴∠GNK∴KN∵BN∴AB∴ADAB当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：设AD=y，则∵四边形GFHN是菱形，∴GF∵EG∥CD∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN∴AW=EG∴GW∴△GWN是等边三角形，∴WN∴AB∴ADAB综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，ADAB的值为12或考点11四边形与最值综合问题58．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FCA．EC-ED的最大值是25 B．C．EC+ED的最小值是42 D．【答案】A【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性．【详解】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴DE=DF，又∵∠A=∠ABC=90°，AB=4过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH=AD=1,延长FH交AB∴∠GDA∴∠ADE∴△DHF≌△DAE∴∠∴FH⊥DG，即点F在∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，∴HI=AD=BG=1∵∠A=∠ABC=90°，AB=4∴DE=1∴EC-∴BE最大时，EC-当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小,此时EC=42+32=5，ED=1,EC-作点D关于AB的对称点M，连接MC,则ED=EM，AD=AM=1，∠BAM=∠BAD=90°,过M作MN⊥CB于点N，此时∵MN∴四边形AMNB是矩形，∴BN=AM=1，∴EC+ED的最小值=AC=4当E与A重合时，CF=G当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形∴CQ=IB=4-1=3∵△DHF∴FH=∴QF∴FC=综上，FC最大值为13．故D项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键．59．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED、∠E=90°，点F在DE上．连接BF．若2BEA．6 B．62-5 C．35 D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，设BD的中点为G，过点D在AD上方作DH⊥BD，使DH=22.过点H作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，EG，则∠BDH=∠DKH=90°，根据正方形性质，得C6,0，D6,6，A0,6，得G3,3，和BG=32，BGDH=32，根据EG=AG=BG=DG=3【详解】解：以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设BD的中点为G，过点D作DH⊥BD，使DH=22，过点H作HK⊥AD于点∵正方形ABCD边长为6，∴C6,0∴G3,3∴BG=∴BGDH∵∠E∴EG=∴点B、E、A、D在⊙G∴∠ABE∵∠ABD∴∠HDK∴∠HDK∴∠ABE即∠EBG∵2BE∴BEDF∴BEDF∴△BEG∴FH=∴点F是在以点H为圆心，22∵∠DHK=90°-∠HDK∴DK=∴H4,8∴BH=∵BF+∴当点F在BH上时，BF取得最小值，为BF=故选：D．【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．60．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+【答案】13【分析】利用四边形DAEF为平行四边形，得出EF=AD，EF=AD，由E为线段AC上的动点，可知E、F运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，过点B作AC的平行线MN，过点E作关于线段MN的对称点E'，由对称性得BE=BE'，则BE+BF=BE'+BF≤E'F，当且仅当E'、B、F依次共线时，BE'+BF取得最小值E'F，此时，设【详解】解：∵四边形DAEF为平行四边形，∴EF=AD，∵E为线段AC上的动点，∴可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，则如图，过点B作AC的平行线MN，过点E作关于线段MN的对称点E'由对称性得BE=∴BE+BF=BE'+BF≤E'此时如图，设AC与BD交于点O，EE'交MN于点H，延长E'E交∵菱形ABCD中，AC=4，BD∴AO=12AC=2由题可得AC∥∴由对称性可得EH⊥∴AC⊥∴∠OEH∴四边形EOBH是矩形，∴E'∵四边形DAEF为平行四边形，∴DF=AE，∴GD⊥∴∠GDO∴四边形DOEG是矩形，∴GD=EO，∴GF=GD+∴E'即BE+BF的最小值为故答案为：13．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键