全概率公式-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2全概率公式明确目标发展素养1.结合古典概型，了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率，了解贝叶斯公式以及公式的简单应用1.通过对全概率公式概念的学习，培养数学抽象的核心素养2.通过对全概率公式的应用，培养数学建模、数学运算的核心素养知识点全概率公式(一)教材梳理填空1．全概率公式：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：(1)任意两个事件均______，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；(2)A1∪A2∪…∪An＝____；(3)P(Ai)>0，i＝1,2，…，n.互斥Ω全概率公式3.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品，已知三家公司的市场占有率如图所示，且三家公司产品的次品率分别为2%,1%和3%.则任取一件产品，它是次品的概率为________．解析：设B＝“任取一家公司生产的产品为次品”，Ai＝“产品为第i家公司生产的”(i＝甲、乙、丙)，则Ω＝A甲∪A乙∪A丙且A甲，A乙，A丙两两互斥，根据题意得P(A甲)＝0.5，P(A乙)＝0.25，P(A丙)＝0.25，由全概率公式得P(B)＝P(A甲)P(B|A甲)＋P(A乙)·P(B|A乙)＋P(A丙)P(B|A丙)＝0.5×0.02＋0.25×0.01＋0.25×0.03＝0.02.答案：0.024．从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2)＝________.(2)我们还可以从另一个角度去理解全概率公式：①某一事件B的发生有各种可能的原因，如果B是由原因Ai(i＝1,2，…，n)所引起的，则B发生的概率是P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai)．②每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式．③由此可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”，每个原因对结果的发生均有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系．[典例1]

甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率．[方法技巧]全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下：(1)找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为Ai(i＝1,2，…，n)．(2)命名目标的概率事件为事件B.(3)代入全概率公式求解．【对点练清】1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1,0.则他迟到的概率为

(

)A．0.65

B．0.075 C．0.145 D．0解析：设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．易知A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得答案：C2．某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台成品，则该产品合格的概率为________．解析：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2，则有B＝A1B∪A2B，由题意知P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.答案：0.868[解]

设B＝“迟到”，A1＝“乘高铁”，A2＝“乘汽车”，A3＝“乘飞机”．根据题意，有P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.2，[方法技巧]贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求事件过程的某个条件成立的概率，解题步骤如下：(1)找出目标条件所在的完备事件组，并命名．(2)命名已知会发生的结果事件．(3)代入贝叶斯公式求解．【对点练清】已知在所有男子中有5%患有色盲症，所有女子中有0.25%患有色盲症.随机抽一人发现患色盲症，问：其为男子的概率是多少？(设男子和女子的人数相等，保留两位有效数字)解：

设A表示抽到的为男子，B表示抽到的为女子，C表示抽到的人有色盲症.【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通