2026年高考数学二轮复习模块七 平面解析几何（天津）（解析版）

模块七平面解析几何（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】椭圆可化为，可知焦点在轴上，焦点坐标为，设所求椭圆方程为，则，又，即，所以，所求椭圆的标准方程为.故选：B.2．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】抛物线的焦点为，则抛物线标准方程为，不妨设点，则由，解得，可知抛物线准线方程为，则长度即点到准线的距离，为.故选：B.3．两平行直线与之间的距离是，则（）A．-2 B．-12 C．12 D．14【答案】C【详解】因为直线与平行，所以，即，得：，将变形为：，则直线与之间的距离是，所以，所以，解得或（舍去），所以.故选C.4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】双曲线的离心率为，即，解得，所以该双曲线的渐近线方程为.故选：A.5．点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设点，，因为为的中点，所以，则，即，又因为动点在圆上，所以，则，则点轨迹方程为.故选：C.6．在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】

由过的直线与圆切于点可得：，则，由此可得切线的斜率为，即可得切线方程：，整理得：，令，可得，即焦点，所以即，所以椭圆方程为，故选：C.7．已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（

）A．若，则的面积为2B．使为直角三角形的点有6个C．的最大值为D．若，则的最大值为【答案】C【详解】，，，选项A，，，点为椭圆上的点，，，联立，解得，，故选项A正确；选项B，当时，，点为短轴的两个端点，故这样的有2个；当，，点有两个，故这样的有2个；当，，点有两个，故这样的有2个；综上可知，使为直角三角形的点有6个，故选项B正确；选项C，，，，，，，，，故选项C错误；选项D，，，，，，的最大值为，故选项D正确.故选：C.8．已知圆和圆，则下列结论中正确的是（

）A．圆与轴相切B．两圆公共弦所在直线的方程为C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线D．两圆的公切线段长为【答案】C【详解】将圆和圆化成标准方程为：圆和圆，所以两个圆的圆心坐标和半径分别为.因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误；因为，所以两圆相交，所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程，即，所以B错误；因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确；根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误；故选：C.9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，点满足，，则下列说法正确的有（

）①双曲线的离心率为；②与的面积的比值为；③双曲线的渐近线方程为；④与的内切圆半径之比为.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】由已知得，因为，，所以垂直平分，所以，.设，则，所以，所以，所以，即.在直角三角形中，，所以可得，离心率，所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以①③均正确.，②正确.设与的内切圆半径分别为，，则，假设，可以推出，矛盾，所以，④错误.故选：C.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为．【答案】【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，将代入得，故所求双曲线方程为，即.故答案为：11．已知圆上两点，，O是坐标原点，，则的最大值为.【答案】【详解】由题意得圆上两点，，得，

设的中点为，则，由，得，所以，可得点的轨迹是以为半径，为原点的圆，则，表示两点到直线的距离之和的倍，而为的中点，故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值为，所以的最大值是.故答案为：.12．双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为.【答案】【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，则，由，解得，因为，所以，求得，即，由，解得，由正弦定理可得：，则由，得，由，得，则，所以，，所以双曲线的方程为.故答案为：.13．已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为.【答案】【详解】直线的方程转化为令，解得，所以点的坐标为，又圆的圆心与点关于直线对称，则，设圆的方程为，且圆的圆心到直线的距离为，又，则.即圆的半径为.则圆的方程为故答案为：.14．已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，若的平分线经过与轴的交点，则.【答案】8【详解】由题意可知，，准线为，则与轴的交点为.因为过上一点作的垂线，垂足为，所以.由于，所以直线的方程为，即.那么到直线的距离为.根据角平分线的性质可得，即，化简得①，又点在抛物线上，则有，代入①式可得，解得或(,舍去).故答案为：8.15．已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点若，则双曲线的离心率的取值范围是【答案】【详解】已知，是双曲线的左、右焦点，所以.以为圆心，为半径的圆的方程为，双曲线的一条渐近线为，联立渐近线与圆的方程得，化简得，设，根据韦达定理得.所以.而，所以有，化简得，所以解得，又，所以.故答案为：.三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为.(1)求椭圆的离心率；(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，，，，的面积为，则，即，所以椭圆的离心率为.（5分）（2）由（1）知，则，而，即，则，则，则椭圆的方程为，即.易知直线的斜率存在，设直线的方程为，则，即，联立，得，（10分）因为直线与椭圆有唯一交点，所以，即，则，解得，则，所以，，即，，所以直线的方程为，即，因为平分，又点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以，所以，所以椭圆方程为.（14分）

17．（15分）已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程：(3)已知实数，满足圆的方程，求的取值范围.【答案】(1)(2)或.(3).【详解】（1）由题意知点到直线的距离为圆C的半径，由点到直线的距离公式可得，所以圆的方程为.（5分）（2）因为直线与圆相交与，两点，且，利用垂径定理和勾股定理，可得圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意；（7分）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可得，解得，所以直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或.（10分）（3）表示点到点的距离的平方，又圆心C到点的距离为，所以点到点的距离的最小值为，最大值为，所以的最小值为9，最大值为49，即的取值范围是.（15分）18．（15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（4分）（2）由题意可设，，，且，.直线的方程为.由消去，整理得.成立.由，解得.所以.所以.（8分）①当直线轴时，，解得，由椭圆的对称性可得.又因为，所以.（10分）②当直线不垂直轴时，即时，，直线的斜率.同理.因为，，三点共线，所以.所以.在和中，，，所以.因为，均为锐角，所以.综上，若，，三点共线，则.（15分）19．（15分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点.(1)若直线的斜率为1，求弦的长；(2)若线段的中垂线与抛物线的准线交于点，且，求直线斜率.【答案】(1)8(2)直线的斜率为或【详解】（1）因为抛物线，即的焦点为，所以.由于直线的斜率为1，且过，所以直线的方程为，即.联立该直线与抛物线方程得，解得，所对应的.所以，所以.所以弦的长为8.（5分）（2）当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时的中垂线方程为，由于抛物线的准线为，所以.当时，，所以，所以，所以，所以直线的斜率不为0，设为，则直线的方程为，即.联立直线与抛物线方程为，解得，对应的，（10分）所以不妨取.所以线段中点的坐标为，而线段中垂线的斜率为，所以线段中垂线的方程为，即.联立该直线与准线方程得，解得，所以.所以，.所以,化简得，所以解得.所以直线的斜率为或.（15分）20．（16分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上的动点，且面积的最大值为8.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于，两点，求（O为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程；(3)是否存在常数使得过原点作以为圆心，以为半径的圆的两条切线和，当，的斜率存在时总有斜率的乘积为定值，若存在求出的值，并求出斜率乘积；若不存在说明理由.【答案】(1)(2)面积最大值为4，此时直线方程为或.(3)存在，，斜率乘积为.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，所以.当点位于椭圆的上顶点和下顶点时，面积取最大值为8，即，所以.根据，将和代入化简得，解得，，所以椭圆方程为.（5分）（2）椭圆的右焦点，若直线的斜率不存在时，其方程为.