2026年高考数学二轮复习专题01 基本不等式的应用7大考向（重难）（天津）（解析版）

重难点01：基本不等式的应用内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津高考基本不等式均为5分填空题，核心考最值，常与向量、函数、方程等综合；2026年大概率延续5分填空，聚焦配凑/1的代换/消元求最值，强调一正二定三相等，可能与恒成立、解析几何结合提升综合度。预测2026年：题型与分值：5分填空题（13或14题），分值与题型不变。仍以条件最值为主，侧重配凑法、1的代换、消元法，强化等号条件验证。可能与解析几何（如直线与圆、椭圆）、函数恒成立、向量数量积结合；或考多元变量（三元）的均值不等式，提升思维量但不超纲。中档为主，少数题目因综合度提升略偏难，区分度在条件转化与等号严谨性。考向1：直接法求最值条件和问题之间存在基本不等式的关系转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．1．（2024·天津河东·二模）已知，，且，则的最小值是．【答案】【详解】因为，所以，即，所以，应填答案．点睛：本题旨在考查基本不等式的灵活运用，求解时先运用基本不等式，即，进而得到，从而获得答案．运用基本不等式的三个条件是“正”＼“定”＼“等”缺一不可，这是运用基本不等式的前提．2．设，则最小值为【答案】4【分析】将原式进行配凑变形得，结合基本不等式可求出代数式的最小值.【详解】原式，，则，，，，，当且仅当，时，即时等号成立，又，当时等号成立，所以原式，故最小值为4.故答案为：43．（2025·天津·模拟预测）已知正数，满足，若，则．【答案】6【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值.【详解】由题意，由，得，即，故．又，所以，当且仅当即时，等号成立，此时，解得或，则，所以.故答案为：.4．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，，且存在，使得，则的最小值为．【答案】4【分析】由递推关系结合基本不等式的性质，得，此时时等号成立，；再由条件，求得首项的最小值.【详解】设等比数列的公比为，，因为，，所以由基本不等式得，，所以，当且仅当，即时等号成立．则，所以，即的最小值为4．故答案为：45．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是.【答案】【分析】由题意，，则，按照、、分类讨论，结合基本不等式求得的最值即可得解.【详解】由题意可变为，其准线为，设点，则，，所以，当时，；当时，；当时，，当且仅当时，等号成立，此时，所以；当时，，当且仅当时，等号成立，此时，所以；综上所述，的最小值为.故答案为：.考向2：配凑法求最值将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．1．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为．【答案】【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由于，故，且，故，当且仅当，结合，故当时等号取到，故答案为：2．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为.【答案】【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值.【详解】因为，可得，因为，则，因为，则，且，如下图所示：以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系，则、、、、，；设点、，其中，，，，所以，，可得，因为，则，则，，所以，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：；.3．（2025·天津·模拟预测）在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是．①为定值3

②面积的最大值为③的取值范围是

④若为中点，则不可能等于【答案】①②④【分析】对于①:利用和数量积的计算公式可求；对于②：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于③：先判断出，结合的范围即可判断；对于④：利用求出范围，即可判断.【详解】设.对于①:因为，所以D为BC的中点.因为，所以，即，所以.因为，所以，所以.故①正确；对于②：，又，当且仅当“"时,取“=”此时，所以.故②正确；对于③：因为，所以，所以.当时，D、E重合，取得最大值3.可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故③错误；对于④：若为中点，则.故④正确.故答案为：①②④.4．（2024·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为.【答案】（或）【分析】由题意可知：.若是虚轴长的倍，列式整理可得，即可得渐近线方程；若的周长为8，分析可知，结合定义整理可得，代入结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可知：，且该双曲线的焦点在x轴上，若是虚轴长的倍，则，即，所以该双曲线的一条渐近线为（或）；由题意可知：∥，且为线段的中点，可知分别为，的中点，则，可得，结合对称性可知，又因为点A在双曲线上，则，即，可得，整理可得，解得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：（或）；.5．（2025·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，.（1）若，则；（2）与的面积之比的最小值为.【答案】/【分析】根据，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得，根据三点共线可得，利用三角形的面积公式可得，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）；（2）因为，所以，因为M，O，N三点共线，故，即，又因为，而，，则，即，当且仅当时取等号，所以与的面积之比的最小值为.故答案为：；.考向3：消元法求最值根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围。1．（2024·天津河西·二模）如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为.【答案】；【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设，，，进而根据题意得，再根据坐标运算得，进而结合基本不等式求解即可.【详解】根据题意，如图，建立平面直角坐标系，因为，所以，所以，，所以，向量在向量上的投影向量为，故其模为.因为，分别为线段，上的动点，所以，设，，所以，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：；2．（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为；的最小值为.【答案】/0.5【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可求出第一空，建立平面直角坐标系，依据条件建立方程，结合基本不等式求解第二空即可.【详解】因为所以，由共线，则，解得作，以为原点建立平面直角坐标系，设且，则，而的面积为，则，故，则，则，当且仅当时取“=”，所以的最小值为故答案为：；.3．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为.【答案】4【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可.【详解】因为二次函数的值域为，所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为，所以的最小值为，所以，即，而，当且仅当时取等，此时.故答案为：44．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，则向量在向量上的投影向量的模为；（2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为.【答案】4；【分析】根据三角形面积公式可得，即可根据投影向量的定义求解（1），根据重心的性质，结合基底表达，即可根据向量的数量积运算律，结合基本不等式求解（2）即可.【详解】（1）因为，所以，解得，则，结合，解得，由投影向量公式得在向量上的投影向量为，故向量在向量上的投影向量的模为，（2）如图，根据题意可知为的重心，故，

又为线段上靠近的三等分点，故,因此，，，由（1）知，故，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为.故答案为：4，5．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为．【答案】4【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由，故，当且仅当时等号成立，故最小值为4，故答案为：4考向4：1的代换法求最值1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.模型1：已知正数满足，求的最小值。模型2：已知正数满足求的最小值。2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．1．（2025·天津红桥·二模）已知正实数，满足，则的最小值为【答案】【分析】先把整理为，对，利用基本不等式求出最小值，即可求出的最小值.【详解】因为正实数，满足，所以当且仅当，即时等号成立，所以.故答案为：.2．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为【答案】【分析】先对进行等式变形，利用把原式化简为，再利用均值不等式可得，然后由函数在区间上是单调递减，即可得到最小值为.【详解】由，因为，所以上式，又因为，，由均值不等式得：，利用函数在区间上是单调递减可知：，当且仅当时取到最小值.故答案为：3．（2025·天津·联考）如图，在中，与BE交于点，，则的值为；过点的直线分别交于点设，则的最小值为.

【答案】4【分析】设，将分别代入，利用共线定理的推论列方程组求出，然后根据求解可得；将代入，根据共线可得，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可.【详解】设，令，因为，所以，所以，又与分别共线，所以，解得.因为，所以，即，解得，即.因为，

所以，所以，因为共线，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：4；.4．（2025·天津红桥·一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则，若，，则的最小值为.【答案】【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值.【详解】在中，，，则，故，故；又，而，，所以，则，又三点共线，所以，结合已知可知，故，当且仅当，结合，即时，取等号；即的最小值为，故答案为：；5．（2025·天津南开·月考）如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为.【答案】2【分析】选取向量为基底，把用基底表示出来，再求出数量积即可；用表示出，再利用共线向量的推论结合基本不等式求出最小值．【详解】在中，，，设，则，由三点共线，得，解得，因此，因为，，，于是，解得；因为，，，则有，而三点共线，因此，则，当且仅当，即取等号，所以当时，取得最小值.故答案为：；考向5：双换元法求最值双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况。具体操作如下：如分母为与，分子为，设∴，解得：1．（2025·天津和平·开学考试）已知，则的最小值为．【答案】【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.2．（2025·天津武清·模拟预测）已知，，则最小值为.【答案】6【分析】利用对数运算找出，的关系，利用导数求出的最小值，再利用基本不等式即可求出最值.【详解】由，，，得，所以，即，因为，所以；所以，即，令，，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以时，取最小值3，即.因为，所以，因为，当且仅当，且，即，，时等号成立；故的最小值为.故答案为：.3．（2025·天津·二模）若，且，则的最小值为.【答案】5【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为，所以，解得或，因为，所以，则，即，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：5.4．已知，则的最小值为.【答案】/1.6【分析】由可得，又，再用“乘1法”即可求最小值.【详解】因为，所以.所以,当且仅当时等号成立.故的最小值为.故答案为:.5．（2024·天津和平·月考）已知正数满足，则的最小值是．【答案】【分析】根据题意，将等式化简变形，得到的表达式，根据表达式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.【详解】根据题意，由可得，即所以；又因为均是正数，令，则所以，令，则当且仅当，即时，等号成立；所以所以的最小值为;即当时，即时，等号成立.故答案为：考向6：构造不等式求最值当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.1．若实数x、y满足，则的最大值是．【答案】【分析】利用不等式求最值即可.【详解】，解得，当时，取得最大值.故答案为：.2．已知，则的最小值为．【答案】18【分析】根据配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即求解.【详解】（当且仅当，即，解得或时等号成立）.故答案为：183．设，，则的最小值为.【答案】【分析】结合，，利用均值不等式，依次求解，，的最值，即得解【详解】由题意，由，，故，当且仅当，即时等号成立故又当且仅当，即时等号成立当且仅当，即时等号成立故的最小值为，当且仅当，时等号成立故答案为：4．，，且恒成立，则的最大值为．【答案】4【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．【详解】解：由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案为：4．5．（2025·天津南开·三模）已知，，，则的最小值为．【答案】【分析】由题可得，代入所求利用基本不等式即可求解.【详解】由可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.考向7：多次使用不等式求最值通过多次使用基本不等式求得代数式最值的过程中，需要注意每次使用基本不等式时等式成立的条件不同。1．（2025·天津南开·二模）已知，，则的最大值是．【答案】【分析】利用二元均值不等式，求解的最小值，即可求解原式的最大值.【详解】解：因为，，则，即，当且仅当是，等号成立；又，即，当且仅当是，等号成立；故，则，当且仅当是，等号成立.故答案为：.2．（2024·天津红桥·二模）若，，且，则的最小值为【答案】/【分析】结合已知等式，运用基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，因为，当且仅当时取等号，即时取等号，，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故答案为：3．（2025·天津河西·模拟预测）若，，则的最小值为.【答案】8【分析】，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：84．（2025·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为.【答案】【分析】将化简为：，先求的最小值，再求的最大值，即可得出答案.【详解】.因为，，且，所以，当且仅当即时取等.所以.，即的最大值为.故答案为：.5．（2025·天津·开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为．【答案】【分析】利用变形为，再将变形为，利用基本不等式整理为，进而再用基本不等式求得答案.【详解】由正实数a，b，，可得，所以而，当且仅当即时取等号，故，当且仅当时，即时取等号，故答案为：（建议用时：60分钟）1．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则；的最小值为．【答案】3【详解】

连接AO，并延长交BC于点D，易知点D为BC的中点，所以，.又因为是的中心，所以是的重心，即，所以.因为，，所以，，所以.因为M，O，N三点共线，所以，所以，.因为，，所以，，又，所以，.由，得，，令，当和重合时，为上中线，此时,所以，则，得.根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，所以，.因为，所以，根据二次函数的性质可知，所以的最小值为.故答案为：3，.2．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为；当在上的投影向量为时，.【答案】【分析】（1）首先利用基底法表示数量积，再结合四边形面积公式，以及基本不等式，即可求解的最小值；根据第一问的过程，结合投影向量公式，可以求，，再代入数量积公式，即可求解.【详解】由条件可知，,，所以，所以，，，，，当时等号成立，所以的最小值为；在上的投影向量为，则，即,因为，所以，得，，则.故答案为：；.3．（2025·天津河西·二模）在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对外接球，根据几何关系建立方程求解半径；对内切球，先求出侧面三角形面积进而得到四棱锥表面积，再利用等体积法求出内切球半径，最后得到的表达式，通过换元法结合基本不等式求其最小值及对应的值，最后利用锥体体积公式求解即可.【详解】设正四棱锥的高为，设，连接，则平面，设该正四棱锥的外接球球心为，则在直线上，取的中点，连接、，对外接球，解得：，对内切球：，故四棱锥表面积，由体积法：，所以，令，则，进而，当且仅当，即时，取最小值，此时.因此，该正四棱锥的体积为.故选：B.4．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则，若，则当最大时，的值为.【答案】/【分析】第一空，由题意知，得，由三点共线的结论即可求出；第二空，先求和，由有，得，利用数量积的定义和基本不等式即可求得，由得即可求解.【详解】由题意有，所以，由，所以，所以，，由有，即，即，所以，即，当时，等号成立，当最大时，，，由有，所以，所以，故答案为：；.5．正项等差数列中，，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．6【答案】B【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得.【详解】正项等差数列中，设公差为，因为，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B6．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．2【答案】D【分析】利用基本不等式即得.【详解】因为，所以，当且仅当，且，即时，取等号，所以的最小值为2.故选：D.7．若函数在处取得最小值，则等于（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】由，利用基本不等式求解.【详解】解：因为函数，当且仅当，即时，等号成立，所以等于3，故选：C8．（2024·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（

）A．6 B．9 C． D．18【答案】B【分析】由乘“1”法利用基本不等式即可求解.【详解】，，且，且，，当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9.故选：B.9．（2024·天津和平·二模）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则；若为线段上的一点，且，则的最小值为．【答案】【分析】由平行四边形的面积为，可得，再由数量的定义可求出的值；由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】解：因为平行四边形的面积为，所以，得，所以，如图，连接，则，所以因为三点共线，所以，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：；10．（2025·天津河西·一模）在梯形中，，且分别为线段和的中点，若，用表示.若，则余弦值的最小值为.【答案】/【分析】第一空使用向量线性运算求解即可；第二空以为基底，用数量积的形式表示出，