2026《初中数学•53同步练习》九年级下册(BS)

5年中考科学选题|分层训练|高效培优含2025年中考真题分项精练初中数学九年级_下册北师大版吃透重难点吃透重难点首都师范大学出版社CAPITALNORMALUNIVERSITCAPITALNORMALUNIVERSIT5年中考3年模拟初中数学初中数学Value-addedservices扫码获取，惊喜无限!内容数学课件同步配营声速数学课件同步配营声速打包下载全书资源④第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数查看全部资源>本书配套资源查看全部资源>英语“分单元词汇表”英语“分单元词汇表”位解题，练透讲透破疑难53初中同步53初中同步◎课文外教朗读、单词朗读◎课文外教朗读、单词朗读匹配最新教材，朗读分清音版、配乐版、跟读版|听力音频●5-3初中同步◎课文外教朗读、单词朗读◎听力音频122—1—第一章直角三角形的边角关系 1 1 3 5 7 9 题型1已知两直角边解直角三角形题型2已知一直角边和斜边解直角三角形题型3已知一边和一锐角解直角三角形题型4已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形题型5“等角代换法”解直角三角形题型6“定义法”解直角三角形题型7“参数法”解直角三角形题型8“化斜为直”解直角三角形 模型1构造单直角三角形模型2构造“背靠背”式三角形模型3“母抱子”型模型4“互拥抱”型 第二章二次函数 21 22第1课时二次函数y=x²,y=-x²的图象与性质 22第2课时二次函数y=ax²,y=ax²+c的图象 第3课时二次函数y=a(x-h)²,y=a(x-h)²+k的图象与性质 第4课时二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 29易错点1忽略二次项系数不等于0的条件易错点2应用二次函数的性质漏解出错易铁点3忽略自变量的取值范围出错微专题函数值的大小比较P26含参数的二次函数最值问题围墙问题P34新课标中华优秀传统文化运算能力几何直观应用意识模型观念推理能力几何直观模型观念重难题微课七巧板中的三角函数勾股圆方图与三角函数三角函数的实际应用二次函数图象与三角形面积二次函数的实际应用抛物线与直线的交点问题P42T10点与圆上的点的距离问题圆周角定理在灯光装置中的T10T11T12—2—索引新考向数学文化尺规作图阅读理解题数学文化数学文化规律探究题代数推理跨学科跨化学·仪器P80T1 30第1课时确定二次函数表达式 第2课时由三点确定二次函数表达式 32 第1课时利用二次函数求几何图形的最值问题 第2课时利用二次函数解决利润问题 35第3课时利用二次函数解决抛物线形问题 37 39题型1由函数的基本形式求表达式题型2由图象中的信息求二次函数表达式题型3利用表格信息求二次函数表达式题型4几何应用中求二次函数表达式题型5实际问题中求二次函数表达式 41第1课时二次函数与一元二次方程 第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 43 题型1二次函数图象与其他函数图象综合题型2根据二次函数图象的特征确定a,b,c及相关的代数式的符号题型3利用二次函数的图象比较大小题型4利用二次函数图象的对称性解决问题题型5利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集 46题型1线段最值问题题型2面积问题题型3特殊三角形存在性问题题型4平行四边形存在性问题 50 52 54 56 58 62第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质 第2课时切线的判定与三角形的内切圆 64—3— 66方法1见半径，证垂直方法2有公共点：连半径，证垂直 68 70 72 74方法1直接公式法方法2整体法方法3和差法方法4转化法方法5容斥原理法 76模型1定点定长型模型2点圆最值模型3线圆最值模型4定弦定角型模型5四点共圆 80类型2数学与地理共绘类型3数学与物理联动类型4数学为运动赋能 83 85 89 91 91精练2方程与不等式 98精练4几何图形初步、相交线、平行线及三角形 110 索引索引学科特色易错题教材变式等角转化法构造法转化思想数形结合思想将军饮马模型P46整体思想整体思想几何画板二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质P25二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质P27圆周角的定义及圆周角定理直线和圆的位置关系P62与圆有关的阴影部分面积的定点定长型P76定弦定角型P77四点共圆P77隐圆问题P79反比例函数P100P43全书思维导图全书思维导图锐角三角函数：正切、正弦、余弦特殊角的三角函数值直角三角形的边角关系三角函数的计算直角三角形的边角关系解直角三角形锐角三角函数的实际应用坡度问题，仰角、俯角问题，方向角问题二次函数的相关概念二次函数的图象与性质用待定系数法求二次函数的表达式二次函数的实际问题对称轴、顶点、开口方向、增减性、最值二次函数与一元二次方程数学九年级下册圆的旋转不变性、轴对称性、中心对称性弧、弦与圆心角的关系数学九年级下册基本性质垂径定理及其推论基本性质圆周角定理及其推论圆内接四边形的性质点在圆内、点在圆上、点在圆外相交、相切、相离切线的性质与判定三角形的内切圆、内心点在圆内、点在圆上、点在圆外相交、相切、相离切线的性质与判定三角形的内切圆、内心与圆有关的位置关系正多边形的半径、边心距、中心角、内角、外角、周长、面积正多边形与圆圆内接正多边形的作法弧长扇形的面积第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数=3,BC=4,则tanA=()tanC=√2,BC=3,则AB的值估计在(号：)A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间=90°,若三角形各边同时扩大至原来的2倍，则A.不变B.扩大至原来的2倍如图所示，方方和圆圆分别将两根木棒AB,CD斜立在墙AE上(墙垂直于地面),其中AB=10cm,CD=6cm,BE=6cm,DE=2cm,更陡?请说明理由.第第一章直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系知识点2坡度(或坡比)与坡角行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为80m,其上升的垂直高度CB为40m,A.30°B.2:√3C.1:√3D.1:2已知AB=10,,求BC的长.CC第8题图坡AB的斜面坡度i=1:√2(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高BC=15m,则迎水坡面AB的长度是_m.:能力提升BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶(含各级台阶的高),那么斜坡AB于点0.则tan∠AOC的值为()=8,则tan∠ACD的值为.「2024江西中考，★」将如图1所示的七巧板拼成如图2所示的四边:素养提优90°,AC=2,BC=1,求的值.小邕想构使DA=AB,连接BD,可得问题即转化为求∠D的正切值.请按小邕的思路求的值.【拓展延伸】如图2,在Rt△ABC中，∠C=90°,AC九年级下册北师大版九年级下册北师大版第2课时锐角三角函数基础夯实：知识点1正弦和余弦=3,则sinB=()99AA5.如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为α,关D.陡缓程度与α的三角函数值无关8,BC=15,则下列三角函数值正确的是()x轴上，另一边经过点P(2,2√3),求角α的三个三角函数值.第第一章直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系AB=AC=10,BD⊥AC于点D(1)求AD的长.(2)求tan∠ABC的值.九年级下册北师大版D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于0,则图中线段的比不能表示sinA的是()九年级下册北师大版数据回答下列问题.第9题图第10题图★」如图所示的是由四个全等直角三把你发现的规律写出来并加以证明.a,b,c,且满足把你发现的规律写出来并加以证明.sinB的值为.(1)求AD的长.(2)求cos∠DAE的值.通过以上三个特殊例子，你发现了什么规律?把你发现的规律写出来并加以证明.知识点130°,45°,60°角的三角函数值实际问题A.1.59米B.2.07米示的是小月荡的一个不均衡来小正方形的边长均为1,点A,B,C都是格点，则始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若杠3米，AB可以绕着点0自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为米.(结果保留根号)斜坡CD的坡度i=1:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 米.=60°,∠B为锐角，且tanA,cosB恰为一元二次方程2x²-3mx+3=0的两个实数根，求m的值并判断△ABC的形状.素养提优：,根据上述角的余切的九年级下册北师大版九年级下册北师大版3三角函数的计算基础夯实：(1)求cosB的值.(2)求∠B,∠A的度数(结果精确到1°).2.用计算器求值(结果精确到0.0001).第一章第一章与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A已知AB=13.20m,求AD的长(精确到0.1m).参考数据：sin23.8°≈0.tan23.8°≈0.44,sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.8tan36.9°≈0.75.直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是()单位表示出这个度数，则选项中的按键顺序正确初中数学九年初中数学九年级下册北师大版过程中，你通过特殊角三角函数值或计算器的应用，可能了解到sin15°,sin25°,sin35°,sin45°,α的取值范围是的梯子.(1)在保证人安全攀爬的情况下，这架梯子的顶端最高可以抵到的高度是多少米(运用去尾法，取整数)?(2)当梯子底端距离墙面2.4米时，α等于多少度(结果取整数)?此时人是否能够安全使用这架梯子?(1)用计算器计算并验证sin25°+sin(3)请借助所给图形证明上述猜想.视中心建筑结合了前沿的科技成果和现代的建筑某数学兴趣小组在安徽广播电视中心附近一建筑物楼顶D处测得安徽广播电视中心顶端A处的仰角为45°,底部B处的俯角为22°.已知建筑物CD的高约为86.2米，请计算安徽广播电视中心的高度.(结果精确到1米.参考数据：sin22°≈0.37,解直角三角形A.计算tanA的值求出∠AB.计算sinA的值求出∠AC.计算cosA的值求出∠AD.先根据sinB求出∠B,再利用∠A+∠B=90°求 =90°,∠A=15°,分别以点A,B为圆心，大于交AC于点D,连接BD.若BD=4,则BC的长为第2题图第3题图BC的长度为()A.√3B.2AC的长及∠A的正切值.(1)求AC的长.(2)求sinA,cos∠OCA与tanB的值.(1)若BC=√3,AC=1,求∠B的度数及AB的长.(2)若∠A=60°,AB=10,求AC,BC的长.第第一章直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系初中数学九年级初中数学九年级下册北师大版这时容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻第7题图第8题图第7题图第8题图落在边BC上的点F处，若BC=10,200m,CD=100m,求AD,BC的长.(结果精确到专项突破1解直角三角形的常见类型练题型题型1已知两直角边解直角三角形AC=6√2,求这个三角形的其他元素.解直角三角形90°,BC=2,,求AC的长和∠B的余弦值(1)求sin∠BAC的值.(2)求点B到直线MC的距离.题型3已知一边和一锐角解直角三角形C的值.C的值.“等角代换法”解直角三角形方法解读“等角代换法”解直角三角形是指通过构造等角，将三角函数值转化为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值.直角三角形的边角关系第直角三角形的边角关系第一章初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版题型6“定义法”解直角三角形=24,则tanC=题型8“化斜为直”解直角三角形作垂线构造直角三角形时尽量“不破坏”特殊角30°,∠B=45°,BC=3√2,求AB的长.“参数法”解直角三角形作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB,连接BD.(2)若,求tan∠ABC的值.1212智慧八了非直角三角形，往往通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路：(1)作垂线构造直角三角形；三角函数的应用知识点1方向角的定义及应用行15km到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北A.5√3kmB.C.30kmD.30√第1题图第2题图灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔80海里的AP南偏东45°方向上的B处.这时A,B两处相距 海里.(结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD,EF在AH两H,E在同一条直线上),在D处测得筒尖顶部A的仰角为45°,在F处测得筒尖顶部A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.参考数据：图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD//EG,滑台的高DG为4米，且坡面BC的坡度为1:1,为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1:√3.(1)求新坡面AC的坡角及AC的长.墙EF,为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案能否通过?请说明理由.(参考数据：3≈1.73)直角三角形的边角关系第直角三角形的边角关系第一章织一次定向越野拉练活动.如个检查点分别为点B和点C,行进路线为A→B→C→A.点B在点A的南偏东25°方向示的为该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7m,测速仪C和E之间的距离CE=830m,一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°,在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°,小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为40s(图中所有点都在同一平面内).(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1m).用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的(1)求BD的长度(结果保留至小数点后一位(2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留至小数点后一位)?初中数学九初中数学九年级下册北师大版利用三角函数测高知识点工测量底部可以到达的物体的高度趣小组在A处用仪器测得一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的米2.如图，利用标杆BE测量树CD的高第一章长是2.4米，若第一章 米.的一座墩台，始建于明嘉靖十八年(1539年).该墩廊的军事防御体系.随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低.为了解长城第一墩的现存高度.某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动.图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B,F,D是地面同一直线上的三个点(点D,F都在保护栅栏外),在D,F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°,∠AEG=22°,其中CD=EF=1.7m(测角仪的高度),DF=CE=5.5m,求长城第一墩的高度AB.直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系台的海拔为1600m,小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔.他在该观景台上选定了一点A,在点A处测得C点的仰角∠CAE=42°,再在AE上选一点B,在点B处测得C点的仰角α=45°,AB=10m,求山顶C点处的海拔.(小明身高忽略不≈0.90)初中数学九初中数学九年级下册北师大版休闲娱乐的选择.某滑雪赛道的侧面简化示意图如坡面长7.5米.小华从A处测得C处的仰角为22°,从B处测得C处的仰角为45°,已知AN⊥DN,求滑雪赛道的高度CD.(结果精确到1米.参考数据：王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A,B处测出的点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高.如图，AB的长为5m,高BC为3m.他在点A处测得点D的仰角为45°,在点B处测得点D的仰角为38.7E在同一平面内.你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗?若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由.(参考0.80,结果精确到1m)水平地面C,D两处测量高架桥桥墩AB的高度(桥墩垂直于水平地面).在C处测得桥墩顶部A处的仰角顶部A处的仰角为30°,测得C,D两点之间的距离为20米，直线AB,CD在同一平面内，请你用以计算桥墩AB的高度.(结果精确到1米，参考数据：sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,taCA信号塔EB专项突破2构造直角三角形解三角形练模型构造单直角三角形当∠CAB=53°时，他才能开门，那么BD长为 模型2构造“背靠背”式三角形通过在三角形内作高AD,构造两个直角三角形求不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面留根号).足为D,求桥塔AD的高度(结果保留根号).第第一章直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系“母抱子”型初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版生活中应用广泛.如图，0,C是同一水平线上的两点，无人机从0点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°,A,C两点的距离为24m.续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为(2)已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，则这辆校车是否超速?说明理由.0.75,√3≈1.73)“互拥抱”型模型展示分别解两个直角三角形，其公共边BC是解题的关键.BC=BC.测得东门B的俯角为30°,然后沿AB方向飞行60校园西门A与东门B之间的距离.(结果精确到0.1tan63.4°≈2.00超速和超载.某校八年级数学活动小组设计了如下路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直，测得CD的长为15米，在l上取点(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：√2≈第一章自主检测限时一、选择题(每小题5分，共30分)如图所示的为人行天桥的示意图，若高BC为10米，斜道AC长为30米，则sinAAA小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m,又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°,则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2√3m,则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为第一章第一章直角三角形的边角关系智能机器人已经应用于社会生活的各个方面.如图得其矩形底座ABCD的高BC为20cm,上部显示屏EF的长度为60cm,侧面支架EC的长度为130cm,∠ECD=80°,∠FEC=130°,则该机器人的最高点F距地面AB的高度为()直角三角形的边角关系A.(30+130sin80°)cmB.(A第6题图第8题图二、填空题(每小题6分，共24分)初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版方式叠放在一起，若AB=6cm,则阴影部分的面积第9题图第10题图第9题图之一，有同学想测量其高度AB,他开始站在广场D点位置，仰角53°时可以看到黄鹤楼的顶部A,他后退12.5米到F点，在此处仰角45°时可以看到黄鹤楼的顶部A,该同学的眼睛距地面1.4米，B,D,F在同一水平面的同一条直线上且与AB垂米.参考数据：米.参考数据：三、解答题(共46)11.(15分)如图，在四边形ABCDcos20°≈0.94,√3≈1.732)船在A处测得小岛C位于A的北偏西沿正北方向航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C位于B的南偏西60°方向，且B,C相距15(1)求该渔船航行的距离AB.(2)求B处与小岛D之间的距离BD(结果取整BCDA两座建筑物AD,BC,其中BC=18m.从A,B之间的E(1)求∠CDE的度数.(2)求建筑物AD的高度(计算过程和结果中的数据不取近似值).二次函数第二章二次函数第二章牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，理).经调查发现每件售价为99元时，日销售量为牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，理).经调查发现每件售价为99元时，日销售量为售量会增加2件.已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x(元),主播每天的利润为w(元),则wA.w=(99-x)[200+2(x-B.w=(x-50)[200+2(x-99)]C.w=(x-50)[200+2(99-x)]此时该汽车的行驶速度为100km/h,那么该车是否会撞到前方落石?(不考虑汽车变道和司机的A.2,0,-1B.2,2第二第二章二次二次函数知识点2根据实际问题列二次函数关系式①面积为10cm²的矩形中，矩形的长y(cm)与宽品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出(元)的关系.个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗),设这个A.y=-x²+30xB.y=-x²+15x初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版二次函数的图象与性质第1课时二次函数,y=-x²的图象与性质BCDABCDC.与y轴不相交D.最高点是原点C.y₁>y₃>y₂(1)求m的值.关于原点0的对称点D的坐标为·(3)试判断点B,C,D中，哪些点在抛物线y=-x²(1)求V与r之间的函数关系式，并在图中画出与反比例函数的图象的交点个数为()(2)连接OA,OB,求△AOB的面积第2课时二次函数,y=ax²+c的图象与性质④若(m,n),(p,n)是该抛物线上的两个不同的与性质C.顶点坐标为(-1,2)6.1.志在±I已知点(-4,y₁),(-1,y₂),(2,y₃)都在函数y=-x²+b的图象上，则y₁,y₂,y₃C.y₂>y₃>y₁第二章 第二章 对于函数和(1)求a的值.大小.(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这三个:能力提升CBDACBD所示.-5;③最大水深为3.2m;④若池塘中水面的宽度A.1(1)求点A,B,C的坐标(用含c的代数式表示).(2)求ac的值.=2x的图象与抛物线y=ax²+3相交于点A(1,b).(1)求a与b的值.线y=ax²+3的顶点是C,求△ABC时点P的坐标.C.3≤m≤11或m=2初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版第3课时二次函数y=a(x-h)²,y=a(x-h)²+k的图象与性质说法错误的是()A.图象的开口B.图象的对称轴是直线x=2的图象上有,B(1,y₂),C(5,y₃)三点，则y₁,Y₂,y₃的大小关系是(用“<”连接).时，y有最大值，且抛物线过点(1,-3).(1)求抛物线的解析式.(3)求抛物线与y轴的交点坐标.右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是()A.y=2(x+3)²+4B.y=2(x-3)²+4轴对称的抛物线的表达式为(1)请在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函的图象.(2)说出两条抛物线之间是如何通过图形的变化得(3)当-1≤x≤4时，求二次函数的最大值.第第二章下列判断不正确的是()A.抛物线的开口向下B.抛物线的顶点坐标是(2,1)C.对称轴为直线x=-2一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)²的图象大致为()初中数学九年初中数学九年级下册北师大版11.「2024甘肃中考」如图1,抛物线y=B(2,2√3),点11.「2024甘肃中考」如图1,抛物线y=B(2,2√3),点C为OB的中点.(1)求抛物线y=a(x-h)²+k的表达式.(2)过点C作CH⊥OA,垂足为H,交抛物线于点E,求线段CE的长.(3)点D为线段OA上一动点(0点除外),在OC②如图3,连接BD,BF,求BD+BF的最小值.数y=-x²+4.(1)在图中画出此二次函数的大致图象(不要求列表).(4)若函数的最大值为-1,求h的值.图3图1图2图3图1y₂),(7,y₃)都在二次函数y=-(x-2)²+c的图象A.y₁>y₂>y₃B.y₁>y₃>y₂C.1<y₂<y₁DB(1,y₂)在抛物线0)的图象与性质D.抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3)C.(-5,1)3.(1)已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y=4x²+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线(1)用配方法将y=-x²+6x-8化成y=a(x-h)²+kA.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,C.a<0,b>0,c<0D.a>0,b<0,c<0第5题图第6题图第7题图+b+c=0;④若(-5,y₁),(2,y₂)是抛物线上的两第第二章C.2b-c<0D.a-b+初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版y=ax²+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2,且图象经过点(6,0),则下列结论错误的是C.若ax²+bx₁=ax²+bx₂且x₁≠x₂,则x₁+x₂=4D.若(-1,y₁),(3,y₂)两点都在抛物线y=ax²+bx+cbx+c交x轴于点A,B,交y轴于点C,且点A在点B的左侧，顶点坐标为(3,-4).(1)求b与c的值.(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积与△ABC的面积相等?若存说明理由.轴交于A,B两点.(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴.①求抛物线的解析式.②对称轴上是否存在一点P,使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2)当b≥4,0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15,求b的取值范围.2x-3(m≤x≤2)的最小值为-4,最大值为5,则m的取值范围是时，二次函数y=x²+2ax-3的最 专项突破3二次函数中的常见错误练易错y=-x²+4x-1图象上三点.若0<x,<1,x,>4,5.已知关于x的二次函数y=ax²-2ax+1(a范围.(2)1≤x≤2.(3)-2≤x≤2.为常数)的图象经过点A(-2,5),对称轴为直线x常数)的图象经过点(0,3),(6,3).(1)求b,c的值.数式表示)二二次函数第二章初中数学九年级下册1师初中数学九年级下册1师确定二次函数的表达式第1课时确定二次函数表达式知识点1利用一般式求二次函数表达式1.(1)醒在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3过点A(1,0)和B(2,-1),则抛物线的表达式为(2)在平面直角坐标系中，将y=x²+3x+2的图象平移，使平移后的抛物线经过(4,3),(0,3)两点，则平移后的抛物线的表达式为2.如图，已知二次函数y=x²+bx+c图象经过点 A(1,-2)和B(0,-5).(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.(2)当y≤-2时，请根据图象直接写出x的取值范围.知识点2利用顶点式求二次函数表达式是(1,2),且经过点(0,5),则二次函数的表达式是A.y=-3(x+1)²+2B.y=3(x+1)²+2与抛物线相同，顶点为(-2,1),则与抛物线抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则OM为m. 知识点3利用交点式求二次函数表达式分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…0123…y…0m0…(1)根据表格填空：抛物线与x轴的交点坐标是(2)求这个二次函数的表达式.c的图象经过点A(1,0),B(0,-3),且对称轴到yx…01…y…1…素养提优：+bx-3的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两平移m(m>0)个单位后均落在二次函数(3)在二次函数图象上取点D(不与点C重合),使得在C,D之间的图象上(含C,D两点),该第第二章二次二次函数轴于点C,且OA=20C=80B.点P是第三象限内(2)若PC//AB,求点P的坐标.(3)连接AC,求△PAC面积的最大值及此时点P初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版第2课时由三点确定二次函数表达式知识点已知三点坐标求二次函数的表达式x…035…y…0bx+c的图象经过A(-3,0),B(1,0),C(0,-3)三能力提升：过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C.直线AB交于点D,设点P的横坐标为m.m为何值时线段PD的长度最大?并求出最大值.(2)如图1,过点B的直线l:y=x-1与抛物线的另5.新点双如图，已知平面直角坐标系中的四个A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).二次函数y= 二次函数的应用第1课时利用二次函数求几何图形的最值问题知识点利用二次函数求几何图形的最值锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD,AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为()第1题图第2题图(1)□ABCD的面积y(cm²)与x((2)当x取时，y的值最大，最大值为.均以1cm/s的速度向点B,C,D,A能力提升块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是m².新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙，围成I、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①,利用全部围墙的长度，但要在 定CG,DG的长.图①图②第第二章积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点0(如6.6m,OE=1.4m,OB=6m,OC=5m,OD=3m,班长买来可切断的围栏16m,准备利用已有围墙，围出一初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版(2)求直线BC和曲线DE的表达式.块边角料ABCDEF块边角料ABCDEF,其中AB,BC,CD,EF,AF是线段，曲线DE可以看成反比例函数象的一部分.王师傅想利用这块边角料截取一个矩形MNGH,其中M,N在AF上(点M在点N左侧),点H在线段BC上，点G在曲线段DE上.测量发8,CD//AF,且CD和AF之间的距离为4.若以AF所在直线为x轴，以AF中点0为原点建立平面直角坐标系，令点G的纵坐标为m.(1)若截取的矩形有一边是CD,则截取的矩形的微专题围墙问题长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m.设矩形菜园的边AB的长为xm,面积为Sm²,其中AD≥AB.某学习小组给出下列结论：①x的取值范围为6≤x≤10;②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m²;③S的最大值为养室，一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建总长为27m的墙体外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围第2课时利用二次函数解决利润问题中国电影票房的纪录，商家推出A,B两款纪念品.知识点利用二次函数解决利润问题按100元一件出售时，能售出500件.若每件每涨价1元，销量就减少10件，则该产品能获得的最多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示：电影票售价x/(元/张)(1)请求出y与x之间的函数关系式.(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成(3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大?每天的最大利润是多少?已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元.(1)求A,B两款纪念品每个的进价.(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A,B两款纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个?(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价为60元时，可售出200个，每个售价每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价为式，并求出W的最大值.第第二章初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版该蔬菜需求量y需求(吨)关于售价x(元/千克)的函该蔬菜需求量y需求(吨)关于售价x(元/千克)的函部分对应值如下表：(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式.需求量y求吨②该蔬菜供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为y供给=x-1,函数图象见图1.(元/千克)关于月份t的函数表达式分别为x售价=y↑y↑300函数图象见图2.0请解答下列问题：(1)求a,c的值.(2)根据图2,在哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大?请说明理由.0请解答下列问题：(1)求a,c的值.(2)根据图2,在哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大?请说明理由.(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.(1)求出y₁与x的函数解析式.(2)若商场准备销售甲、乙两种商品共25件，其中乙商品的销售数量不少于4件且不多于8件，为使总利润最大，应销售甲、乙两种商品各多少件?最大总利润是多少元?3636智慧最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断地学习；不是已有的东西，而是不断地获取；不是已达到的高度，而葛翼一继续不断地攀登.第3课时利用二次函数解决抛物线形问题知识点利用二次函数解决抛物线形问题安装了一个柱形喷水装置OM,喷y/m头M向外喷水，水流在各个方向M上沿形状相同的抛物线路径落下，出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是缆垂度为0.1785km,主缆最低处距离桥面0.0015km,桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线是抛物线的一部分.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m,现以0为原点建立如图所示的直角坐标系.(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点0正上方2.25m处?二二次函数第二章初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图所示大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图所示方式建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的函数解析式.(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过?请说明理由.喷泉落在直径为4m的圆内，喷泉的水流均看成抛物线的一部分，下层喷泉的喷水口设在圆心0处，落地点与圆心0的水平距离为2m,水流的最高点距离地面1m;上层喷泉的喷水口设在圆心0的正中心线l为y轴建立如图3所示的平面直角坐标系，(1)求图3中下层喷泉所对应抛物线C₁的函数解析式.(不必写x的取值范围)(2)当图3中上层喷泉所对应抛物线C₂的函数解①试推算b,c应满足的数量关系；②结合实际环境，要求上层喷泉C₂的水流最大高度不低于2.8m,且不高于3.45m,求出b的取值范围.专项突破4求二次函数表达式的常见类型练题型方法1利用一般式求二次函数表达式1.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过点(-4,0),和(0,-4),求该抛物线的表达式.方法2利用顶点式求二次函数表达式的图象开口向下，顶点坐标为(2,3),且过点(0,1),则该二次函数的解析式为()方法3利用交点式求二次函数表达式(-3,0),(1,0),(0,3),则该抛物线的顶点坐标是方法4利用平移法求二次函数表达式平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为题型2由图象中的信息求二次函数表达式5.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x=-1,则这个二次函数的表达式为()D.y=-x²-2x+3题型3利用表格信息求二次函数表达式x…0123…y…0m(1)直接写出m的值和函数图象的对称轴.(2)求该二次函数的解析式.(3)若A(p,y₁),B(p+1,y₂)两点都在该函数的图象题型4几何应用中求二次函数表达式AC=6,BC=8,动点P,Q分别从A,C两点同时出发，点P沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运为ts.(2)设△PCQ的面积为S.①求S关于t的函数表达式(不需注明t的取值范围).②当t为何值时，S取得最大值?这个最大值是多少?二二次函数第二章初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版的售价y(元/箱)与第x周之间满足二次函数关价为32元/箱；第5周时，售价为23元/箱(销售初的增多售价逐渐下降).(1)根据题意求y与x之间的函数关系式，并求第(2)若在该段时间内，每周猕猴桃的进价s(元/箱)与第x周之间满足关系式s=-2x+25,且平均每是其桥拱的示意图，某一时刻，测得水面宽20m,拱顶离水面5m,以桥拱的顶点为坐标原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求此抛物线的解析式.(3)为迎佳节，拟在图1的桥拱上悬挂0.4m长的灯笼.如图2,为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m(此时水面是指(2)中最高水位的水面).要求相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m,在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后挂的灯笼最多可以是多少盏.江同学们知道，研究性学习才是获取知识的真正手段.只有学会研究学习，培养自觉的研究学习习惯，才能在今后的学习和工作中有所创新，有所作为.江同学们知道，研究性学习才是获取知识的真正手段.只有学会研究学习，培养自觉的研究学习习惯，才能在今后的学习和工作中有所创新，有所作为.二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程基础夯实(知识点1二次函数与一元二次方程的关系ax²+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程 (1)方程ax²+bx+c=0的解是(2)方程ax²+bx+c=-3的解是(3)方程ax²+bx+c=5的解是mx+n(m≠0)与二次函数y₂=ax²+bx+c(a≠0)的图A.x<3B.x>-4C.-4<x<3D.x>3或x<-4≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0).二二次函数第二章:能力提升：点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(n,0),有下x013y500为直线x=1;③方程ax²+bx+c=5的其中一个解是(1)若该二次函数的图象与直线y=2a²有两个交x轴于A,B两点，将该抛物线位于x轴下方的部“图象W”,图象W交y轴于点C.(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式.初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版知识点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根0.54)两点，则关于x的一个根可能是A.2.18B.2.68C.-0.+bx+c的自变量x与y的对应值，可知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的一个解的大致范围是若关于x的方程x²+2x-3-m=0的解为x₁,x₂(x₁<x₂),关于x的方程x²+2x-3-n=0的解为x₃,x₄(x₃A.x₃<x₁<x₂<x₄B.x₁<x₃<x₄C.x₁<x₂<x₃<x₄D.y=x²-4x-6.(1)将抛物线的解析式化为顶点式.第二第二章x…0246…y……两个根为(精确到0.1,误差不超x01234y5过0.2).过0.2).-4)为顶点的二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax²+A.2<x<3B.3<x<4C.4<x<5D.5<x<6=0的近似解(精确到0.1).初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版专项突破5二次函数的图象信息题的五种常见类型练题型题型1二次函数图象与其他函数图象综合=ax²+bx+b在平面直角坐标系中的图CBDACBD与y=axA.2个B.3个题型3利用二次函数的图象比较大小(-2,-3)和(3,-3),如果点(1,y₁)与(2,y₂)在此题型2根据二次函数图象的特征确定a,b,c及相关的代数式的符号A.b>0B.c<0第6题图第7题图有三点A(-3,y₁),B(0,y₂),C(2,y₃),则y₁,y₂,y₃题型4利用二次函数图象的对称性解决8.已知二次函数y=a(x-2)²-3的部分图象如图所x轴相交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴相交于点或不等式的解集A.-1<x<3B.x<-1或x>3第10题图第11题图(a≠0)与直线y=mx+n(m≠0)交于A(-1,p),B(4,q)两点，则不等式ax²-mx+c>n的解集是 x,y的部分取值如表：x0123…y…mn0…根据表中数据解决下列各题：(1)该函数图象的对称轴是直线(2)该函数图象与x轴的交点的坐标是某班数学兴趣小组对函数y=lx²-2xl的图象和性质进行了探究，探究过程x…0123y3m0103(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标出该函数图象的另一部分. (4)进一步探究函数图象解决问题：②在(2)问的平面直角坐标系中画出直线y=-x+1,根据图象写出方程Ix²-2xl=-x+1的一个正数根约为(精确到0.1)第第二章(3)在所给图中画出该函数的大致图象.(5)不等式ax²+bx-3>x-3的解集是初中数学九年级下册北师大版初中数学九年级下册北师大版专项突破6二次函数与几何图形的综合练题型(1)求解线段最值问题时，一般先建立二次函数模型表示出线段的长，再化为顶点式判断最值.(2)线段之和(周长)最小——“将军饮马”问题：先作对称点，把求和的两条线段转化到一条线段上，再利用勾股定理求线段的长度.(3)求解线段之差最大问题时，一般将两定点转化到定线的同侧，当两定点与动点共线时，线段之差最大.经过点A(-1,0),B(0,3).(1)求这条抛物线的解析式.(2)如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP,BP,当AP+BP的值最小时，求点P的坐标.(1)求抛物线的解析式.(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A,B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,坐标.△ABC面积的一半?若存在，请直接写出点Mx轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,0A=2,0B=6,D是直线BC上方抛物线上一(2)设点D的横坐标为t.②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形?若侧),与y轴交于点C.(2)在坐标平面内是否存在点E,使以点A,B,C,E第第二章二二次函数滨走为了认识事物原理，为了寻找真理，启迪智慧.读书时要注意：第一滨走为了认识事物原理，为了寻找真理，启迪智慧.读书时要注意：第一，读书不宜太慢；第二，不要装模作样；智慧限时第二章自主检测限时一、选择题(每小题6分，共36分)B.持续向上B.持续向上CDBACDBb),例如，4⊗3=(4+2×3)×(4-3),则函数y=(x+1)⊗2的最小值为()某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200y与x近似成二次函数关系.0.6-其部分图象如图所示.根据图0.35.坐标平面上有二次函数y=-(x+7)²+12的图象，今将此图象向右平移10个单位，平移过程中此图象与y轴的交点也会跟着变化.假设此图象与y轴的交点为P,在平移过程中，P点位置的变化情C.先向下再向上D.先向上再向下是常数，a>0)过点(1,0),(m,0),且2<m<3,该抛物线与直线y=kx+c(k,c是常数，k≠0)相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点(点A在点B左侧).下列说法：①bc<0;②3a+b>0;③点A′是点A关于直线xax²+(b-k)x<0的解集为0<x<4.其中正确结论的二、填空题(每小题6分，共2得的抛物线解析式为抛出时离地面的高度OA为1.6m,则铅球掷出的水平距离OB为m.第9题图第10题图第9