湖南师大附中2026届高三2月月考试卷（七）数学（含解析）

D.一p:3x∈{x|x>1},x²+16<8x弦AB的长为A.2B.4A.—126B.—70C.一56D.—28A.√3≤m≤2B.1<m≤2C.0<m≤2D.0<m≤√3A.p=2B.x₂=1—iA.若A>B>C,则sinA>sinB>sinCA.Inb<a—1B.(a+1)ln(b+1)>(b+1)lC.b-¹>a⁶-1D.loga+1a>logb+1b数学试题(17)第2真(共7页)15.(本小题满分13分)(1)若w=1,9,求的值；求w的值.P为动点.17.(本小题满分15分)已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,过点F₁的直线交椭圆于P,Q(2)已知直线l与椭圆C交于A,B两点，0为坐标原点，且OA,OB的斜率之积为·,试判断△OAB的面积S是否为定值，并说明理由.数学试题(T7).第5页(共.7页)18.(本小题满分17分)已知函数y=f(x)的定义域为D,区间ISD,则称函数y=f(x)是I上的凹函数.19.(本小题满分17分)a₂—2a₁=b₂—2b₁=—1.(3)是否存在两个不同的正整数s,t,使得as,a₃+1,b₂,b+1可以按某种顺序构成一个新的等差数列?如果存在，求出所有的s,t;如果不存在，请说明理由.数学试题(T7)第7页(共7页)题号123456789CDBDCCAC4.D【解析】因为抛物线为y²=4r,所以p=2,设A.B两点的横坐标分别为x₁,x₂,因为线段AB中点的横坐标6.C【解析】∵只有第5项的二项式系数最大，∴n=8,的展开式的通项为(一1)'Cx⁶-÷+(k=0.1.2,…,8).∴展开式中奇数项的二项式系数与相应的系数相等，偶数项的二项式系数与相应的系数互为相反数.而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小。系数为(一1)C=-56.另,由两式作差得：(r₁+x₂)(r₁一xz)=4(y+y₂)(y₁-y:),即k=,双曲的浙近线方程为当点P在双曲线焦点所在的内部区域时,得0<m<√3,此时直线AB的斜率当点P在双曲线外部(无焦点区域)时，,得m>√3,综上，得3≤m≤2.∴f(x)在(一∞,-1)上单调递减，∴f(x)>f(-1)=2+2cos(一1)=2+2cosI∈(3.4),由函数g(r)=f(x)-a恰有三个零点可得a=4.所以将函数y=h(x)的零点个数问题转化为函数y=|lnr|的图象与直线的交点个数问题，易得直线与x轴的交点坐标为,在点(1,0)的左边.可求得函数y=|lnx|斜率为一I的切线方程为y=-4x+1+2In2,因为1+21n,所以y=|lnx|的图象与直线必有2个交点，如图2所示.即h(x)的零点有2个.D正确.对于C,因为sin²A+sin²B+cos²C<1,所由正弦定理有a²+b<c²,则由余弦定理有对于D,因为A+B+C=π,A=π-(B+C),所以sin因为△ABC为锐角三角形.cosBcosC≠0,两边同时除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC.又因为,所所以tanBtanC-1>0,今1=tanBtanC-1.t>0,则tanBtanC=t+1.根据基本不等式得,当且仅当r=]时等号成立，,即tanAtanBtanC的最小值为8.故D正确.或或当r∈(1,+∞∞)时.(x)>0,f(x)在(1.+∞)上单调递增，今,则所以φ(r)>φ(1)=0,则h'(z)>0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递增，所以h(a)>h(b),即,即(a—1)Inb>所以(x)在(1,+∞)上单调递增，,即log-ia>logb,故D正确。C又r>0,故r的取值范围为0<r<1.C 令所以n的最小值为13.…所以AB+PB²=AP²,所以AB⊥BP.…………3分又因为AB⊥BD.且BP∩BD=B.BP.BDC平而BPD.所以AB⊥平面BPD.…6分(2)如图，建立以B为原点的空问直角坐标系，设二面角P-BD-A的平面角为0.则A(2,0,0),B(0,0.0),D(0,2.0),P(√3cos0.1,√3sin所以AP=(J3cosθ-2,1√3sinθ),平面ABD的法向量为n=(0.0.1).……设直线AP与平面ABD所成角为a.设所以当且仅当1=4,即时取等号，直线AP与平面ABD所成角的正弦值的最大值为设点A到平面BPD的距离为d,点P.到平面ABD的距离为h—√3sin0=√2.17.【解析】(1)因为△PQF₂的周长为8,所以4a=8,解得a=2.…………2分因此椭圆C的标准方程…………………5分直线OA的方程为y₁r-r₁y=0,点B到直线OA的距离为 15分法二：依题可设A(r·y₁),B(x₇·y:),其,即3x₁r₁+4y₁y,-0.若直线AB不垂直于1轴，设直线AB的方程为y=kx十，所以若直线AB垂直于x轴，易知xi=x²=2,.S=|zy₁l=√3.法三：设直线OA,OB的方程分别为y=k₁x,y=kzr,A(x₁,k₁z),B(x:,kgxz),点B(r₂,kzx₂)到直线OA:kIr-y=0的距离为18.【解析】(1)f(x)=1+Inx,所以,所以函数f(x)在(0,+∞)上为凹函数.………………4分…一6所以要证(ab)Y≤a%*,只需证成立，同时取自然对数得,即成立，由(2),取,即所以a₁-b=4.又因为(a,+b)是公差为2的等差数列，所以a₂+b₂=a₁+b₁+2,由已知a₂-2a₁=b₂-2b₁=-1,得a(2)由题意，.记数列{ca}的前n项和为S..代入③式化简得：……………………(3)