（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第1章 第02讲 常用逻辑用语 讲义+随堂检测（教师版）

第页第02讲常用逻辑用语一、充分条件、必要条件、充要条件1、定义如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．2、从逻辑推理关系上看（1）若且，则是的充分不必要条件；（2）若且，则是的必要不充分条件；（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．二．全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．三．含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题的否定为，．（2）存在量词命题的否定为．注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．【解题方法总结】1、从集合与集合之间的关系上看设．（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件．2、常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于大于小于是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例．（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．【典例例题】题型一：充分条件与必要条件的判断【解题总结】1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．【例题1-1】已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，所以；若，则，解得，得不出．所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【例题1-2】已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“直线平面”成立，设，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立；若“平面平面”成立，且直线平面，可推出平面或平面，所以“直线平面”不一定成立.综上，“直线平面”是“平面平面”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-1】“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【变式1-2】已知，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，则不成立，若且，此时推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围【解题总结】1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系．2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错．【例题2-1】若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________.【答案】（只需满足即可）【解析】由可得，则，所以，，解得，因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为.故答案为：（只需满足即可）.【例题2-2】若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】“”是“”的充分条件，，，即实数的取值范围为.故答案为：.【变式2-1】若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是__________.（写出满足条件的一个值即可）【答案】（答案不唯一，满足即可）【解析】由于“”是“”的必要不充分条件，所以，所以的值只需小于即可.故答案为：（答案不唯一，满足即可）题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假【解题总结】1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论．2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可．【例题3-1】设非空集合，满足，则下列选项正确的是（

）A．，有B．，有C．，使得D．，使得【答案】B【解析】，，当⫋时，，使得，故A错误；，，必有，即，必有，故B正确；由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误；当时，不存在，使得，故D错误，综上只有B是正确的．故选：B．【例题3-2】已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．其中是真命题的有（

）A．①③B．②④C．①②D．③④【答案】C【解析】对于①，由得：，，，则，①正确；对于②，，，即，则，②正确；对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；对于④，当时，，，即，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②．故选：C【变式3-1】直线，直线，给出下列命题：①，使得；

②，使得；③，与都相交；

④，使得原点到的距离为.其中正确的是（

）A．①②B．②③C．②④D．①④【答案】C【解析】对于①，若，则，该方程组无解，①错；对于②，若，则，解得，②对；对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；对于④，直线的方程为，若，使得原点到的距离为，则，整理可得，，方程有解，④对.故选：C.题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定【解题总结】1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定．2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否．【例题4-1】命题“”的否定是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，“”的否定是，故选：B【例题4-2】已知命题，不是素数，则为（

）A．，是素数B．，是素数C．，是素数D．，是素数【答案】D【解析】命题为全称量词命题，该命题的否定为，是素数.故选：D.【变式4-1】命题“有一个偶数是素数”的否定是（

）A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数【答案】B【解析】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B题型五：根据命题的真假求参数的取值范围【解题总结】1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可．2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到．【例题5-1】若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C【例题5-2】已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为命题：，，所以：，，又因为为假命题，所以为真命题，即，恒成立，所以，即，解得，故选：D．【变式5-1】若命题“”是假命题，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，若，即或，当时，不等式为，恒成立，满足题意；当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；当时，则需要满足，即，解得，综上所述，的范围是，故选：B.【变式5-2】已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，．易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为．故选：D．1．（2022·天津·统考高考真题）“为整数”是“为整数”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数，例如当时，.所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选：A.2．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.3．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.第02讲常用逻辑用语随堂检测1．有下列四个命题，其中是假命题的是（

）A．已知，其在复平面上对应的点落在第四象限B．“全等三角形的面积相等”的否命题C．在中，“”是“”的必要不充分条件D．命题“，”的否定是“，”【答案】B【解析】对于A：，所以对应的点为，在第四象限，故A正确；对于B：“全等三角形的面积相等”的否命题是，不全等三角形的面积不相等，这显然是假命题．对于C：在中，，由，可得，所以“”是“”的必要不充分条件．故C正确；对于D：命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是：“，”．故D正确；故选：B2．“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令，，若在上单调递增，因为是上的增函数，则需使是上的增函数且，则且，解得.因为⫋，故是的必要不充分条件，故选：C.3．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，所以，因为为偶函数，所以，即，当时，可以推导出函数为偶函数，而函数为偶函数不能推导出，所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A4．已知函数则“”是“在上单调递减”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若在上单调递减，则，解得.所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B5．定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（

）A．①②B．①③C．②③D．①④【答案】D【解析】,故①正确；由可知，可知，所以，故②错误，故AC错误；,,，故③错误，故B错误；对于，显然不是方程的解，可化为，考察函数和的图象的交点，除了(-1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和为，故④正确.故D正确.故选：D6．已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，如果，例如，则，不能推出，如果，则必定有，既不是充分条件也不是必要条件，错误；对于B，如果，根据对数函数的单调性可知，但不能推出，例如，不是充分条件，如果，则，是必要条件，即是的必要不充分条件，错误；对于C，如果，因为是单调递增的函数，所以，不能推出，例如，如果，则必有，是必要不充分条件，错误；对于D，如果，则必有，是充分条件，如果，例如，则不能推出，所以是充分不必有条件，正确.故选：D.7．命题：“，”的否定是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】“，”的否定是“，”.故选：C8．若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，令，满足，但；若，则一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B9．等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（

）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】D【解析】不妨设，则，满足，但是严格减数列，充分性不成立，当时，是严格增数列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D10．（多选）设m，n是空间中两条不同直线，，是空间中两个不同平面，则下列选项中错误的是（

）A．当时，“”是“”的充要条件．B．当时，“”是“”的充要条件．C．当时，“”是“”的充分不必要条件．D．当时，“”是“”的必要不充分条件．【答案】AD【解析】对于A，当时，若，则或或m，相交,若，则或或m，相交，故不是的充分条件，也不是必要条件，故A错误；对于B，根据面面平行的性质B正确；对于C，当时，若，由面面垂直的判定定理得，若，则或或m，相交，故C正确；对于D，当时，若，则m，n平行或异面，若，则或，所以不是的充分条件也不是必要条件，故D错误．故选：AD．11．（多选）下列四个条件中，是的一个充分不必要条件的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】对于A选项，取，，则，但，A不满足条件；对于B选项，由可知，，由不等式的性质可得，所以，，因为，但，所以，是的一个充分不必要条件，B满足条件；对于C选项，若，则，由不等式的性质可得，另一方面，若，取，则，所以，，，所以，是的一个充分不必要条件，C满足条件；对于D选项，取，，则，则，但，D不满足条件.故选：BC.12．命题“，”的否定为______．【答案】．【解析】由全称命题的否定为特称命题知，原命题的否定为.故答案为：.13．命题，命题，则是的____________条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】因为或，而，所以是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14．能说明“若对任意的都成立，则在上单调递增”为假命题的一个函数是_________．【答案】（答案不唯一）【解析】令，则对任意的都成立，但在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上不是增函数.故答案为：.15．设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】因为是假命题，所以是真命题，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以实数的取值范围是，故答案为：1．（2023•北京）若，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】由，，，，反之，若，，令，则，于是，化为，解得，即，，则“”是“”的充要条件．故选：．2．（2023•天津）“”是“”的A．充分不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】，即，解得或，，即，解得，故“”不能推出“”，充分性不成立，“”能推出“”，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选：．3．（2022•天津）“为整数”是“为整数”的条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【答案】【解析】为整数时，也是整数，充分性成立；为整数时，不