（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第2章 第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 讲义+随堂检测（教师版）

第③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用【例题1-1】已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（

）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数【答案】C【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C【例题1-2】若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（

）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.故选：A.【变式1-1】函数的单调递增区间是（

）A．B．和C．和D．和【答案】B【解析】如图所示：函数的单调递增区间是和．故选：B.【解题总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断【例题2-1】函数的单调递减区间为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，得，解得或，所以函数的定义域为，令，则开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，所以函数的单调递减区间为.故选：D.【例题2-2】函数的单调递减区间为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A【变式2-1】函数的单调递增区间为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，，解得，又函数在定义域内为单调增函数，且函数在内为单调增函数，根据复合函数的单调性可知：的单调增区间为选项C正确，选项ABD错误.故选：C.【解题总结】讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值【例题3-1】已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为______．【答案】【解析】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，，即，因为函数为增函数，且，所以，．易知在上为增函数，且，，则在上的值域为．故答案为：.【例题3-2】已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为__________.【答案】【解析】由题意得，所以，因为切线与直线垂直，而的斜率为，所以切线斜率为2，即，解得，所以，且，显然是增函数，当时，，所以在上单调递增，故.故答案为：【变式3-1】若函数在区间上的最大值为，则实数_______.【答案】3【解析】∵函数，由复合函数的单调性知，当时，在上单调递减，最大值为；当时，在上单调递增，最大值为，即，显然不合题意，故实数.故答案为：3【解题总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．题型四：利用函数单调性求参数的范围【例题4-1】已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】对任意的实数，都有,即成立，可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得，故选：C【例题4-2】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，在中，函数单调递增，∴，解得：，故选：C.【变式4-1】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得，所以实数的取值范围是.故选：D【变式4-2】已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（

）．A．B．C．或D．或【答案】C【解析】函数的对称轴为，因为函数在上具有单调性，所以或，即或.故选：C【解题总结】若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．1、若在上恒成立在上的最大值．2、若在上恒成立在上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性【例题5-1】已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是R上的偶函数，所以函数的对称轴为，又因为对任意，，且都有成立．所以函数在上单调递增，而，，，所以，所以，因为函数的对称轴为，所以，而，因为，所以，所以，所以．故选：A．【变式5-1】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.函数是奇函数，不符合；函数是偶函数，但是在上单调递减，不符合；函数不是偶函数，不符合；函数既是偶函数又在区间上单调递增，符合.故选：D【解题总结】1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明【例题6-1】（多选）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是偶函数【答案】CD【解析】因为函数的定义域都为R，所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，因为是奇函数，是偶函数，所以，对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误；对于B，因为，所以函数是偶函数，故B错误；对于C，因为，所以函数是奇函数，故C正确；对于D，因为，所以函数是偶函数，故D正确.故选：CD.【变式6-1】下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A,的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故为偶函数，故C错误，对于D，由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，故选：D【解题总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数【例题7-1】已知函数是偶函数，则______．【答案】-1【解析】定义域为R，由得：，因为，所以，故.故答案为：-1【例题7-2】若函数是偶函数，则__________．【答案】1【解析】∵为偶函数，定义域为，∴对任意的实数都有，即，∴，由题意得上式对任意的实数恒成立，∴，解得,所以故答案为：1【变式7-1】已知函数，若是偶函数，则______．【答案】【解析】因为是偶函数，所以，，即，解得.故答案为：.【变式7-2】若函数为偶函数，则__________.【答案】2【解析】∵函数为偶函数，∴即又∵∴故答案为：【解题总结】利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值【例题8-1】已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（

）A．B．C．0D．【答案】C【解析】由函数是奇函数，函数是偶函数，，故，即，将该式和相减可得，则，故选：C【例题8-2】已知奇函数则__________．【答案】【解析】当时，，，则．故答案为：.【变式8-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．【答案】【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，，设，则，则，所以.综上所述，.故答案为：【变式8-2】设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，所以，，因为①，则②，所以①+②得，所以．故选：A．【解题总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.题型九：已知奇函数+M【例题9-1】已知函数，若，则（

）A．B．0C．1D．【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C.【例题9-2】已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于为奇函数，所以，由得，由于所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选：A【变式9-1】已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(

)A．0B．10C．D．【答案】C【解析】令，则，∴f(x)和g(x)在上单调性相同，∴设g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上为奇函数，∴，∴，∴，.故选：C.【变式9-2】已知函数，若，则（

）A．等于B．等于C．等于D．无法确定【答案】C【解析】设，显然定义域为，又，则，所以是上的奇函数；又也是上的奇函数，所以也是上的奇函数，因此，则.故选：C.【解题总结】已知奇函数+M，，则（1）（2）题型十：函数的对称性与周期性【例题10-1】（多选）已知定义在上的函数和的导函数分别是和，若，，且是奇函数，则下列结论正确的是（

）A．B．的图像关于点对称C．D．【答案】ABD【解析】因为是奇函数，所以．因为，所以，所以，则正确；因为，所以，所以，因为，所以，则的图像关于点对称，则B正确；因为，所以，所以（为常数），所以（为常数）．因为，所以．令，得，所以，则．因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以，即是周期为4的周期函数．因为，所以，所以，所以，即是周期为4的周期函数．因为，所以，，所以，，，则，，故，，即C错误，D正确.故选：ABD.【变式10-1】（多选）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（

）A．4为函数的一个周期B．函数的图象关于点对称C．D．【答案】ABC【解析】由得，由求导得，又得，所以，所以，所以，所以，所以4为函数的一个周期，A正确；，故，因此，故函数的图象关于点对称，B正确，在中，令由得为常数，故，由函数的图象关于点对称，，因此，所以由于的周期为4，所以的周期也为4，由于，所以，，所以，故C正确，由于,故D错误，故选:ABC【解题总结】（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.题型十一：类周期函数【例题11-1】定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则∵，∴即∵时，恒成立，∴只需.当时，最小值为（当时）；当时，最小值为（当时），∴所以只需，解得：或∴实数的取值范围是故选：D【例题11-2】已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.当时，则，，所以，，显然当时，，故，，若对于任意正整数不等式恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任意正整数恒成立，设，，令，解得，令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，当时，有单调递减，故数列的最大值为，所以.故选：C.【变式11-1】定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，因为时，，所以,因为函数满足，所以，所以，，又因为，恒成立，故，解不等式可得或.【解题总结】1、类周期函数若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．类周期函数图象倍增函数图象2、倍增函数若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．注意当时，构成一系列平行的分段函数，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性【例题12-1】设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（

）A．B．为奇函数C．在上是减函数D．方程仅有6个实数解【答案】C【解析】由题设，则关于对称，即，，则关于对称，即，所以，则，故，所以，即，故，所以的周期为8，，A正确；由周期性知：，故为奇函数，B正确；由题意，在与上单调性相同，而上递增，关于对称知：上递增，故上递增，所以在上是增函数，C错误；的根等价于与交点横坐标，根据、对数函数性质得：，，所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.故选：C【例题12-2】已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知是定义在上的偶函数，则，又对任意，且，都有，所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以，根据函数的单调性可知：等价为或，即或，解得或，即不等式的解集为.故选：.【变式12-1】已知定义在上的函数，满足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.【解析】（1）依题意，.（2）由（1）知，∴，即，∴，又因为的定义域为，所以函数为偶函数.【解题总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若，则(正比例函数)(2)若，则(指数函数)(3)若，则(对数函数)(4)若，则(幂函数)(5)若，则(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合【例题13-1】已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数为偶函数，∴，即，∴函数的图象关于直线对称，又∵函数定义域为，在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴由得，，解得.故选：D.【例题13-2】已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，故当时，，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，，整理可得，解得.故选：B.【变式13-1】已知是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，所以在上单调递增，由，得，当时，由，得，当时，由，得，所以原不等式的解集为.故选：A.【变式13-2】已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，由得，故为偶函数，当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此为上的单调递增函数，所以不等式等价于，解得,故选：C【变式13-3】已知函数,则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数，所以，令，可得令且，可得在上恒成立，所以，所以在上单调递增，又由，所以函数为偶函数，则在上单调递减，又由，即，即，整理得，解得或，即不等式的解集为.故选：B.【变式13-4】已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A．B．C．∪D．∪【答案】A【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数为奇函数，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以函数在上单调递增，所以可化为，即，所以，即，解得，所以不等式的解集为.故选：A【变式13-5】已知函数，若，则实数范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，令，则，又由，当且仅当，即时，等号成立，所以，则，则在上单调递减，又由，故函数为奇函数，由可化为，故，即，又在上单调递减，则，解得，即.故选：C．【解题总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A．B．C．0D．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性随堂检测1．已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】偶函数的图象关于点中心对称，则，且，故，，故函数为周期为的函数，.故选：C2．已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（

）A．0B．C．1D．【答案】A【解析】因为是定义在R上的奇函数，且满足，所以，，则，即，则，即是以为周期的周期函数，又，当时，，所以.故选：A3.已知是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由为奇函数，得，即，又由为偶函数，得，即，于是，即，因此的周期为8，又当时，，则在上单调递增，由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称，，，，，显然，即有，即，所以a，b，c的大小关系为.故选：D4．已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（

）A．-4052B．-4050C．-1012D．-1010【答案】A【解析】因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数.由是奇函数可知，，所以，则，则，所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期.由得，，则，所以，由得，，即，所以,由，得，又1，所以；在中，令，得，所以..故选：A.5．已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（

）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】C【解析】是奇函数，，即的图象关于点对称，又在上单调递增，在上单调递增，即在上单调递增.由，可得，由图像关于直线对称可知为偶函数，∴在上单调递减，，，是周期函数，最小正周期为4，∵，，∴在上的单调性和在上的单调性相同，在上单调递减.故选：C.6．（多选）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（

）A．B．C．1D．2【答案】AD【解析】令，则，因为，所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数.因为，所以，等价于，即，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.故选：AD7．已知定义在上的函数满足，为奇函数，则_________．【答案】【解析】为定义域为的奇函数，，解得：；由得：，是周期为的周期函数，.故答案为：.8．已知函数，若，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，定义域为，由，可知函数为偶函数，函数图象关于轴对称，又由，令，由可知函数为奇函数，又由，（当且仅当时取等号），可得函数单调递增，且当时，由一次函数在区间单调递增且函数值恒为正，可知函数在区间单调递增，又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，不等式可化为，必有，平方后整理为，解得或，即实数的取值范围为.故答案为：9．利用定义证明函数在区间上为减函数.【解析】任取且，则，因为且，可得，所以，即，即，所以函数是上的减函数.10．设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．(1)求f；(2)证明是周期函数；(3)记，求．【解析】（1）因为对任意的，都有，所以，又，，，∴.（2）设关于直线对称，故，即，又是偶函数，所以，∴，将上式中以代换，得，则是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（3）由（1）知，∵，又，∴.∵的一个周期是2，∴，因此．1．（2023•北京）下列函数中在区间上单调递增的是A．B．C．D．【答案】【解析】对选项，在上单调递增，所以在上单调递减，选项错误；对选项，在上单调递增，所以在上单调递减，选项错误；对选项，在上单调递减，所以在上单调递增，选项正确；对选项，在上不是单调的，选项错误．故选：．2．（2023•新高考Ⅰ）