第04讲 反比例函数的图像、性质及其应用（复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第三章函数第04讲反比例函数的图像、性质及应用目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 102·知识导航·网络构建 303·考点解析·知识通关 404·命题洞悉·题型预测 9命题点一反比例函数的图像与性质题型01根据反比例函数的定义求参数题型02画反比例函数图像题型03根据反比例函数解析式判断其性质题型04比较反比例函数自变量或函数值的大小题型05判断函数经过的象限题型06判断函数的增减性题型07待定系数法求反比例函数解析式题型08以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质题型09与反比例函数有关的最值问题命题点二反比例系数k的几何意义题型01已知反比例系数求图形面积题型02已知图形面积求反比例系数命题点三反比例函数与一次函数题型01反比例函数与一次函数交点问题（基础）题型02反比例函数与一次函数交点问题（综合）命题点四反比例函数与实际应用题型01反比例函数与实际问题题型02函数综合应用05·重难突破·思维进阶 29突破一反比例函数与几何综合（动态问题）突破二反比例函数与几何综合（整点问题）突破三反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题）突破四反比例函数与几何综合（特殊四边形存在性问题）突破五反比例函数与几何综合（其它存在性问题）考点课标要求考法分析反比例函数的图像与性质理解反比例函数y=kx(考查图像所在象限（如2025・浙江温州卷）、增减性的应用（如比较同一象限内点的函数值大小，2025・山东济南卷），常以选择/填空题形式出现。反比例系数k的几何意义掌握反比例函数图像上一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形/三角形面积与k的关系（面积=k或1结合图像求k的值（如2025・江苏苏州卷）、利用面积关系求线段长/点坐标（2025・广东广州卷），是高频考点，难度中等。反比例函数的实际应用能从实际问题（如“路程-速度”“面积-边长”等反比例关系场景）中抽象出反比例函数模型，求解实际问题以解答题形式考查建模（如2025・湖北武汉卷），结合“工作量=效率×时间”等关系列函数式，需验证结果的实际意义。反比例函数与一次函数能联立反比例函数与一次函数的解析式，求交点坐标；能结合图像分析两函数的位置关系、函数值的大小关系综合考查交点计算（2025・四川成都卷）、图像交点与不等式的结合（如“当x取何值时，反比例函数值大于一次函数值”，2025・湖南长沙卷），难度中等偏上。命题预测命题趋势：是中考函数板块的核心考点之一，题型覆盖选择、填空、解答题，以中档题为主，是区分度适中的考点。题型特点：1）图像与性质：侧重考查双曲线的象限分布、增减性（需注意“分象限讨论”），常结合点的坐标分析函数值大小；2）k的几何意义：是高频考点，多结合矩形/三角形面积求k值，或利用k的几何意义推导线段、面积关系；3）综合应用：常与一次函数结合（求交点、分析函数值大小），或融入实际场景（如“压强-受力面积”“路程-速度”等反比例关系）；4）难度梯度：基础题（图像性质、k的几何意义）难度适中，综合题（与一次函数结合）难度中等偏上。命题新方向：近年出现“反比例函数+几何图形（如三角形、矩形）”的综合题，考查数形结合与知识迁移能力。备考建议：1）夯实核心概念：①牢记反比例函数y=②熟练掌握k的几何意义：图像上任意一点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为∣k∣、三角形面积为122）强化图像分析能力：①训练由k的符号判断图像象限”“由点的坐标判断函数值变化”的题型，结合图像理解增减性的“分象限”特点；②练习“反比例函数+一次函数”的图像综合题，掌握“联立解析式求交点”“结合图像解不等式（函数值大小关系）”的方法。3）突破几何意义应用：针对“k的几何意义”，总结“面积→k值”“k值→面积”的双向推导技巧，注意符号（k的正负由图像象限决定）。4）重视实际建模训练：熟悉反比例关系的实际场景（如“工作量固定时，效率与时间成反比”），掌握“设变量→找反比例关系→列函数式→验证实际意义”的建模流程。考点一反比例函数的图像与性质1.反比例函数的定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2.反比例函数的图像与性质k的符号k＞0k＜0图像图像位置图像分别位于（x、y）图像分别位于（x、y）增减性在每个象限内，y随x的增大而在每个象限内，y随x的增大而图像特征1）图像是关于直线和对称的双曲线；2）图像是关于________对称的双曲线；3）图像________________坐标轴，但不与坐标轴相交.【易错易混】1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．3.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：（1）设：设所求的反比例函数的解析式为；（2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程；（3）解：解方程求出k的值；（4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可.【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数.1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数y=−12x的图象一定经过的点是（A．(2,6) B．(−4,−3) C．(−3,−4) D．(6,−2)2．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是6m2，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（A．B．C．D．3．（2025·广东广州·中考真题）若k=−k(k≠0)，反比例函数y=kxA．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限4．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数y=kxk>0的图象交于Am,n，Bm−6,n−6考点二反比例函数中|k|的几何意义类型一单系数k一点

一垂直结论一点

两垂直结论两点一垂直两点两垂直类型二双曲线k符号相同（两条同号k值曲线+平行线）k符号不同（异号k值曲线+平行线）1．（2025·宁夏·中考真题）函数y=k1xk1≠0和y=k2xk2≠0的部分图象如图所示，点A在y=k1x的图象上，过点A作ABA．−3 B．−13 C．12．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=−2x的图象上，连接OA，OB3．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形ABEF的顶点A，B分别在反比例函数y=kxx<0和y=6xx>0的图象上，顶点E，F都在x轴上，AB交y轴于点D．若点C在A．83 B．−83 C．44．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数C1：y=2x和C2：y=5x在第一象限的图象如图所示，平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点考点三反比例函数与实际问题利用反比例函数解决实际问题，要做到：1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．【易错点】1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度v（单位：ms）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P=W2．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强pPa是气球体积Vm3的反比例函数．当V=1.2m3时，p=20000Pa3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为aPa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为Pa4．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（

A．3A B．4A C．5A命题点一反比例函数的图像与性质►题型01根据反比例函数的定义求参数在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可.忽视这个条件，而得到错误结论.【典例1】（2025·山东德州·中考真题）已知点Pa,b在双曲线y1=1x上，点M6a,b，Na,c在双曲线y【变式1】（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）反比例函数的y=3−8x的图象一定经过点1,t，则t【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数y=2mx和y=3−mxm<0的图象上，若点P与点Q关于y【变式3】（2025·浙江宁波·三模）若P(m,a)，Q1m,b两点均在函y=2x的图像上，且−1<m<0A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数►题型02画反比例函数图像【典例2】（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔gāo的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB=1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小点A与点O的距离l11.522.53拉力的大小F300200150120a(1)表格中a的值是；(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．【变式1】（2025·宁夏·模拟预测）【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图1，即FA×L1=FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N．(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的重力变化时，L2的长度随之变化．设重物B的重力为xN，L2①y关于x的函数解析式是____________．②完成下表：x/…1020304050…y/…8a

82b…a=_______；b=______．③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象．【变式2】（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务．题目：请求出y=1小红的过程：1．列表x．．．−2−10234．．．y=．．．−−−1111．．．2．描点3．用平滑的曲线连接．通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x=6时，y有最小值15小明的过程：小明将其问题进行了逆推．求1x−1的最小值→求x−1的最大值→求x通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x=6时，y有最小值15任务：(1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）；(2)请用小红或者小明或者自己的方法求出y=1(3)直接写出y=x【变式3】（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数y=−4(1)根据题意，列表如下：x…−3−10…235…y…124…−4−2−1…在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象．(2)观察图象，发现：①当x>1时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）；②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______．(3)深度思考：函数y1=−4x−1+2的图象可由函数y=−4x−1►题型03根据反比例函数解析式判断其性质【典例3】（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数y=2x，下列结论正确的是（A．点2,2在该函数的图象上B．该函数的图象分别位于第二、第四象限C．当x<0时，y随x的增大而增大D．当x>0时，y随x的增大而减小【变式1】（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数y=−7x．下列选项正确的是（A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大【变式2】（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数y=1A．x>0时，y的值随x的增大而减小 B．x<0时，y的值随x的增大而增大C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）关于函数y=6x有如下结论：①函数图象一定经过点−2,−3；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当x≤−6时，y的取值范围为y≥−1．其中正确的有（A．1 B．2 C．3 D．4►题型04比较反比例函数自变量或函数值的大小1.在同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较.2.不在同一分支上的点，先判断函数值的正负，再比较大小.注:特殊值法也是解决此类问题的常用方法.【典例4】（2025·天津·中考真题）若点A−3,y1,B1,y2,C3,A．y1<y2<y3 B．【变式1】（2025·河北·中考真题）在反比例函数y=4x中，若2<y<4，则（A．12<x<1 B．1<x<2 C．2<x<4 【变式2】（2025·江苏镇江·中考真题）已知点A−1,y1、Ba,y2在反比例函数y=1A．a<−1或a>0 B．−1<a<0C．a>0 D．a<−1【变式3】（2025·内蒙古·中考真题）已知点Am,y1，Bm+1,yA．y1>yC．当m<0时，y1<y2 ►题型05判断函数经过的象限【典例5】（2025·广东广州·中考真题）若k=−k(k≠0)，反比例函数y=kxA．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【变式1】（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数y=−1x的图象是（A． B． C． D．【变式2】（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=m−3x的图象位于第一、三象限，则m【变式3】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像经过第一、三象限，那么一次函数y=kx−k的图像一定经过（A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限►题型06判断函数的增减性【典例6】（2025·福建·一模）已知反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，则它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）已知A−1,y1，B2,y2两点在双曲线【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知点x1,y1，x2,y2在反比例函数y=2m2A．0 B．负数 C．正数 D．非负数►题型07待定系数法求反比例函数解析式由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.【典例7】（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC=DE=FG=1，点A，C，E，G均在双曲线y=kx的一支上．若点A的坐标为4,32，则第三级阶梯的高A．4 B．3 C．72 D．【变式1】（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过Am,−4,B3,n两点，若m<−3，则n【变式2】（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，函数y=kxx>0的图象经过点C和边AD的中点E．若AB=3，BC=4，则k【变式3】（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx(x<0)(1)求m和直线的表达式；(2)根据函数图象直接写出不等式kx+b>m(3)求△ABO的面积．►题型08以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质【典例8】（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数y=kx的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的k的值是【变式1】（2025·甘肃·中考真题）已知点A2,y1，B6,y2在反比例函数y=2（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是．（只需写出一个）►题型09与反比例函数有关的最值问题【典例9】（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数y=6x，则当1≤x≤3时，yx【变式1】（2025·浙江衢州·三模）已知反比例函数y=kxk<0，当2≤x≤3时，函数y的最小值为a，则当−2≤x≤−1时，函数yA．最小值−2a B．最大值−2aC．最大值−a D．最小值−【变式2】（2025·陕西·模拟预测）若反比例函数y1=−1x，y2=2x，当1≤x≤4时，函数y1的最小值是【变式3】（2025·江苏南京·二模）已知反比例函数y=kx（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k=命题点二反比例系数k的几何意义►题型01已知反比例系数求图形面积【典例1】2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1xx>0的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【变式1】（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=−2x的图象上，连接OA，OB【变式2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且OD=12BD，经过点D的反比例函数y=kx的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF，若△OBFA．25 B．26 C．793 D．【变式3】（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)当x<0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2(3)过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为−4，求△BOD的面积．【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数y=kx的图象上有P1，P2，P3，…，P2020等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S(1)当k=1时，S1(2)当k=2时，S1(3)当k=3时，S1(4)当k=n时，S1►题型02已知图形面积求反比例系数【典例2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数y=kx经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO=4，CD:OB=1:3，则A．−12 B．−9 C．−6 D．−3【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点A、B在双曲线y1=k1xx>0上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2=k2xx<0交于点A．−10 B．−11 C．−12 D．−13【变式2】（2025·天津·二模）如图，△ABC的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数y=kx图象上且关于原点对称，AD:DB=1:4，△OBD的面积为24．则A．5 B．6 C．8 D．10【变式3】（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点E，D为函数y=kx−1(k<0)上的两点，过点E作EB⊥y轴，过点D作DC⊥x轴，交直线BE于点A，连接BC，若S△BCO=6【变式4】（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，∠MON的一边ON与x轴正方向重合，点A在射线OM上；过点A作AE⊥x轴于点E，△AOE的面积是12，函数y=kxx>0的图象经过点A；以点A为圆心，以2OA为半径作弧，交函数y=kxx>0的图象于点C；分别过点A，点C作x轴，y轴的平行线，两线相交于点B，连接OB；过点C【构建联系】（1）填空：k=________；【深入探究】（2）求证：点D在直线OB上；（3）请写出∠BOM与∠BON的数量关系，并说明理由．命题点三反比例函数与一次函数►题型01反比例函数与一次函数交点问题（基础）1.求函数解析式时:先将已知交点的坐标代入，求出k再求另一交点的坐标，最后利用待定系数法求得一次函数的解析式.2.根据函数值的大小关系确定x的取值范围时:第一步，确定两函数图像交点的横坐标；第二步，利用数形结合思想得出结论.3.解决与图形面积相关的问题时需注意以下几点:(1)要善于根据点的横、纵坐标求图形的边长；(2)求不规则三角形(三角形三边均不在坐标糊上且均不与坐标轴平行)的面积时，往往将其转为能直接求解的三角形的面积的和或差求解；(3)有时可利用|k|几何意义解决问题【典例1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数y1=k1x+bk1≠0的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数A．b=52 B．△BOC与C．△COD的面积是174 D．当1≤x≤4时，【变式1】（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A−1,−2A．x>2 B．x<−1C．−1<x<2 D．−1<x<0或x>2【变式2】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=mx的图像相交于点A1,n、B−3,−2，且与(1)求一次函数、反比例函数的表达式；(2)连接OA，求△OAC的面积．【变式3】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数y=x−1和y=2x的图象相交于A、(1)A点的坐标为__________，B点的坐标为__________；观察图象，不等式x−1<2(2)若y轴上存在点C，使S△ABC=6，求点►题型02反比例函数与一次函数交点问题（综合）反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.【典例2】（2025·河南郑州·模拟预测）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为

【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为xm，BC为ym.由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的x,y可看成是反比例函数y=8x的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到（1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图2，反比例函数y=8xx>0的图象与直线l1:y=−2x+10的交点坐标为1,8和____________，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或【类比探究】（2）若a=6，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．【问题延伸】（3）当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y=−2x+a，当直线y=−2x+a与反比例函数y=8x【变式1】（2025·贵州·模拟预测）如图：反比例函数y=kxk≠0的图象与正比例函数y=mx的图象交于A、B两点，其中A(1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出B点坐标；(2)将正比例函数y=mx的图象逆时针旋转90°后向上平移b（b>0）个单位长度，得到的一次函数y=ax+b的图象刚好与反比例函数y=kxk≠0【变式2】（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R=2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RLR/Ω…12b46…I/A…a32.421.5…(1)a=______，b=______；(2)根据以上实验，构建出函数y=12x+2x≥0①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______；(3)在（2）的坐标系中画出y1=−x+6的图象，结合函数图象，直接写出当x≥0时，12x+2【变式3】（2025·宁夏银川·模拟预测）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了y=9x(x>0)和y=−x+10的图像，两个函数图像交于A1,9，B9,1两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P【探索发现】（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）若设PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________(1≤x≤9)；（2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像：①列表：x11.52344.569y02.53.543.753.52.50②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当x=________时，y的最大值为________．【迁移应用】连接OP、OQ（请自行完成作图），探究：△PQO的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由．【变式4】（2025·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中，直线l：y=mx−3m+3与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于A3,a，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点【数学理解】（1）求a和k的值；【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接OE，求证：OE把△ABE分成面积相等的两部分；【拓展探究】（3）①如图2，在Rt△KPQ中，∠K=90∘，点N在边KP上，∠QNK=30°，QN=PN②设F为反比例函数y=kx(x>0)的图象上的点，连接OF，若∠AOF=30°，请求出F命题点四反比例函数与实际问题►题型01反比例函数与实际问题利用反比例函数解决实际问题是近年来中考的热点.解题关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质结合方程(组)、不等式(组)求解.【典例1】（2025·河北·一模）有甲、乙、丙、丁四块长方形的小麦试验田，图中的四个点分别表示这四块试验田的长y（单位：m）与宽x（单位：m）的情况，其中表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则面积最大的试验田是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【变式1】（2025·广东深圳·二模）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率fHz是琴弦张力TN的反比例函数．已知当张力T=200N时，频率f=220Hz（即达到标准音高A3）．若要使频率升高到440HzA．增大至150N B．减小至150N C．增大至100N D．减小至100N【变式2】（2025·山东日照·模拟预测）如图，电路中有三个定值电阻R1，R2，R3，且R1，R2的阻值（单位：Ω）满足方程2R2【变式3】（2025·甘肃白银·二模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1=10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持①当水箱未装水h=0m时，压强p为②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8④若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1【变式4】（2025·贵州铜仁·三模）我国传统的计重工具叫称杆也称杆称，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器（如图1），小亮模拟杆称设计了杠杆平衡试验（如图2）：在一根1.2米长，匀质的木杆中点O处绑细绳将木杆吊起来，在点O的左侧距离中点20cm处挂一个重8N的物体，在点O右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，小亮调整弹簧秤与点O的距离L（单位：cm），发现弹簧秤的示数F（单位：N）会随之发生改变，他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格．L5101520253035F321610.786.45.34.6(1)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的大致函数图象；(2)若弹簧秤的最大量程是20N，求L►题型02函数综合应用利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况.【典例2】（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．(2)当4≤x≤10时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？【变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段AB的函数表达式为：y=5x+300≤x≤m，线段BC持续的时间恰为10分钟，曲线CD(1)求m的值及曲线CD的函数表达式，并写出取值范围．(2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达1.8万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于6元/瓶②统计售价x（元/瓶）与需求量y需求（箱）的数据：发现当售价为3元/瓶时，该矿泉水的需求量为100箱，售价每上涨0.5元，需求量就减少③该矿泉水的供给量y供给（箱）关于售价售价x（元/瓶）344.556

y12090807260④5~10月份该矿泉水的售价x售价（元/瓶），x成本（元/瓶）关于月份t的函数表达式分别为x售价(1)写出需求量y需求（箱）和供给量y供给(2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利x利润(3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润．【变式3】（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里OA表示起跳点A到地面OC的距离，OA=45m，以O为坐标原点，以地面的水平线OC为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离ym与水平方向移动的距离xm满足y=ax2+2x+ca≠0．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与AO相距30m，高度（与OC(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10m时，恰好达到最大高度，此时a的值为，他的这次试跳落地点能否达标？（填“能”或“不能”）．(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度vms的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与v150170190210230250270a−−−−−−−①猜想a关于v2②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？突破一反比例函数与几何综合（动态问题）【典例1】（2025·重庆·中考真题）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB=3，BC=4，E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE=CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1．矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1(3)结合函数图象，请直接写出y1<y2时【变式1】（2025·辽宁沈阳·一模）小明同学利用画图的方法研究下列函数y=【初步探究】（1）在平面直角坐标系中画出y关于x的函数图象．列表：x．．．−2−1012345．．．y．．．−2−4−3−2−3−216．．．描点、连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象；【深入探究】（2）求y关于x的函数表达式；【纵深探究】（3）当直线y=t与函数图象有2个交点时，则t的取值范围是___________；【系统探究】（4）点A−1,−4，点B1,−2在函数图象上，点P是函数图象上的一动点，过点P作AB的垂线交x轴于点Q．当线段PQ的长为2时，请直接写出点【变式2】（2024·重庆·中考真题）如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，点P为AB上一点，AP=x，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1(3)结合函数图象，直接写出y1>y2时突破二反比例函数与几何综合（整点问题）【典例2】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：(1)求函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：第一步：在函数y=x−1的图象上取两点(1,0)和(0,−1)；第二步：分别求出这两个点关于点(0,0)的对称点_____和______；第三步：函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”为______．(2)是否存在点P，使得函数y=1x+1关于点P(3)函数C1:y=ax2−2ax+2a(a>0)关于点(2,2)的“对称函数”为C2，函数①若a=12，求②若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．【变式1】（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线G:y=2x(x>0)(1)求t的值；(2)直线l:y=−x+b也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．【变式2】（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线y=kx（x>0）经过点2,2和点M4,n，经过双曲线上的点A且平行于OM的直线与y轴交于点B，点A在点M左上方，设G为y轴、直线AB、双曲线y=kx（x>0）及线段(1)G内整点最多有个；(2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围．突破三反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题）【典例3】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA=2，点B在反比例函数y=kxk>0的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数y=kx的图象在第三象限交于点C．连接CA(1)