重难点06 函数的整点、定点、定值问题（3大类型5大题型） （复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第三章函数重难点06函数的整点、定点、定值问题（3大类型5大题型）目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 13固·重难考点拓·创新能力函数的整点、定点、定值问题是中考函数综合题的高频考点，覆盖一次、反比例、二次函数，核心是分析“函数中满足特定数值特征的点/值”，重点如下：一、函数的整点问题核心要求：结合函数图像特征，判断函数图像上（或平面内）是否存在横、纵坐标均为整数的点（即“整点”）。关联难点：1）一次函数整点：①如“已知一次函数y=kx+b，求其图像上的整点坐标”（需结合k、b的取值，分析整数解）；②拓展：“直线上是否存在整点，使该点到某定点的距离为整数”。2）反比例函数整点：如“反比例函数的图像上有哪些整点”（需结合k的因数分解，找整数对(x，y))。3)二次函数整点：①如“抛物线y=ax²+bx+c上是否存在整点”（需代入整数x，验证y是否为整数）；②拓展：“抛物线上的整点能否构成特定图形（如等腰三角形）”。二、函数的定点问题核心要求：分析函数图像是否恒过某一固定点（与函数中的参数取值无关）。关联难点：1）一次函数定点：如“含参数的一次函数y=k(x-2)+3恒过哪个定点”（令参数系数为0，求解x、y）。2）二次函数定点：如“含参数的抛物线y=ax²+(a-1)x+2恒过哪个定点”（整理为关于参数的式子，令系数为0）。3）反比例函数定点：特殊场景：如“反比例函数与一次函数的交点是否为定点”（联立方程，分析解是否与参数无关）。三、函数的定值问题核心要求：分析函数中某一量（如线段长度、角度、面积、比值等）是否为固定数值（与函数上点的位置或参数无关）。关联难点：1）线段/比值定值：如“抛物线y=x²上任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，则是否为定值”（代入坐标推导）。2）面积/角度定值：①如“反比例函数上任意一点与原点、坐标轴围成的矩形面积是否为定值”（利用反比例函数k的几何意义）；②如“一次函数y=x+1与y=-x+3的交点与两坐标轴围成的三角形内角是否为定值”。3）多函数综合定值：如“一次函数与二次函数交点的横、纵坐标之和是否为定值”（联立方程，利用韦达定理推导）。四、多函数综合的整点、定点、定值问题核心要求：结合一次、反比例、二次函数的图像特征，分析跨函数的整点、定点、定值。示例：“含参数的一次函数与二次函数的交点是否为定点，且该点是否为整点”。题型01整点问题类型一一次函数整点问题1．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（

）A．75,115 B．85,2．（2025顺义区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点M的坐标是3,2，点M就是一个整点．已知一次函数y=−x+b的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，如果△AOB内部（不包括边上）的整点只有3个，那么b的取值范围是（

）A．2<b<3 B．2<b≤3 C．3<b<4 D．3<b≤43．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，有一动直线l：y=kx−2k−3，点A2,6先向右平移4个单位长度再向下平移8个单位长度得到点B(1)求直线AB的解析式；(2)①△AOB的面积为______；②判断直线l是否经过点2,−3；(3)设直线l与△AOB的边OB、AB分别交于点M、N，如果△BMN内部只有5个整点（不包括边界），直接写出k的取值范围．4．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，x轴上有一点A−3,0，C−2,0，过点C作CD∥y轴，设点D的纵坐标为a，将点A先向右平移3个单位长度再向上平移(1)在图中画出直线AB，并求直线AB的解析式；(2)若直线AB与线段CD有交点，求a的取值范围；(3)若直线y=kx−k+2与x轴，直线AB围成的封闭图形(不包括边界)有4个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出k的取值范围．5．（2025·河北石家庄·二模）如图，直线l1:y=kx−4(k为常数，k>0)与y轴交于点A，直线l2:y=−12x+k(1)若点B坐标为0,2，求k的值和点C坐标；(2)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当k为整数时，求C为整点时的坐标；(3)设在直线x=1上，且落在△ABC内部（不含边界）整点的个数为m，直接写出m的值．类型二反比例函数整点问题6．（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数y=kxx>0的图象与直线l1：y=x交于整点A，与直线l2:y=−x+2t交于整点B和整点C，直线l1与l2交于整点D，若线段7．（2025·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kx与直线y1=12x，y2=2x分别交于第一象限内的点A，点B，将线段OA，OB和函数y=kx(x>0)的图象在8．（2025·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为1，1，4，(1)若反比例函数的图象经过正方形ABCD的中心．①求k的值；②若反比例函数图象与CD交于点E，连接BD，BE，求△BDE的面积．(2)若在反比例函数图象的上方，且在正方形ABCD内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则k的取值范围是_____．类型三二次函数整点问题9．（2025·上海浦东新·模拟预测）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线y=tx2−4tx+4t−2与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t10．（2025·湖南娄底·模拟预测）我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”．在平面直角坐标系中，点A−3,1，B0,2，点C在线段AB上运动，过C点作与x轴平行的直线l，l与抛物线y=−x2−4x+b始终有交点．设直线l与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为n，若n满足0<n≤1511．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：(1)求函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：第一步：在函数y=x−1的图象上取两点(1,0)和(0,−1)；第二步：分别求出这两个点关于点(0,0)的对称点_____和______；第三步：函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”为______．(2)是否存在点P，使得函数y=1x+1关于点P(3)函数C1:y=ax2−2ax+2a(a>0)关于点(2,2)的“对称函数”为C2，函数①若a=12，求②若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．12．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数y=ax2−2ax+1(a≠0)的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线G(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线x=______；(2)当a=3时，求抛物线G1(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线G1围成的中间封闭区域(不包括边界)为W①当a=3时，直接写出区域W内的整点个数；②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．13．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数y=x(1)若点Am−3,y1，Bm,y(2)若当−1≤x≤3时，函数y=x2−m+2x−2m(3)平移二次函数y=x2−m+2x−2m的图象，使其顶点与原点重合，得到二次函数L，若直线y=mx+2m14．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3aa≠0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与(1)求A、B两点的坐标；(2)当a=−1时，动直线x=m与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q，线段PQ的长为d，求d关于m的函数解析式；(3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围．15．（2025邯郸市模拟）如图，抛物线C1：y1=ax2+2ax+a+2与抛物线C2：y2=−x2+mx−5交于点B1,−2，且分别与y(1)直接写出a，m的值；(2)嘉嘉说：C1可由C2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，(3)作直线AD，将直线AD向下平移nn>0个单位长度后得到直线l，求直线l与抛物线C1，C2(4)直接写出抛物线C1与C2在四边形题型02定点问题类型一一次函数定点问题16．（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，有直线y=kx−2kk≠0，则该直线过定点（

A．2,0 B．0,2 C．−2,0 D．0,−217．（2025·上海·模拟预测）如果不等式kx+b>0的解集为x<−1，那么直线y=kx+b（k<0）一定会经过一个定点，这个定点的坐标为．18．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A−1,2向上平移4个单位长度到点B，点A向左平移2个单位长度到点C，直线l:y=mx+m+2的图象与直线BC交于点D(1)画出直线BC并求直线BC的解析式；(2)嘉嘉说：m有唯一值不可取；淇淇说：无论m为何值（唯一不可取的值除外），直线l总经过一个定点；请选择其中一人的说法进行说理．(3)当直线l与直线BC的交点D到x轴的距离恰为3时，求m的值．19．（2025·河北唐山·一模）如图，直线l1经过A−1,0,B0,1两点，已知D4,1，点P是线段BD上一动点（可与点B、D重合）；直线l2:y=kx+2−2k（k(1)求直线l1(2)无论k为何值时直线l2过定点，直接(3)在点P的移动过程中，直接写出k的取值范围______．(4)当k=−3时，设直线y=a与直线l1，l2及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称．直接写出类型二二次函数定点问题20．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点，连接DE，CE,BD交于点G．

(1)若BD⊥CE，BD=1，CE=12，则四边形(2)若BD+CE=32，△ABC的最大面积为S．设BD=x，求S与x之间的函数关系式，并求(3)若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y=k1x−k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y=k2x+b交该图象于另一点Q，过点21．（2025·四川南充·中考真题）抛物线y=ax2+2ax−154a≠0与x轴交于(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图1，抛物线上两点Pm,y1，Qm+2,y(3)如图2，点M−1,−5，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN=∠HMN．探究直线l是否过定点？若直线l22．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线C1:y=ax2−2x过点(4,0)，顶点为Q．抛物线C2:y=−(1)直接写出a的值和点Q的坐标．(2)嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C淇淇说：无论t为何值，C2请选择其中一人的说法进行说理．(3)当t=4时，①求直线PQ的解析式；②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x(4)设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA,xB，且xA<xB．点M在C1上，横坐标为m2≤m≤xB．点N在C2上，横坐标为nxA≤n≤t．若点23．（2025·福建福州·三模）已知抛物线y=13x2−2x+c交x轴于原点O和点A，直线y=kx+b交抛物线于点B和点C，其中点B为y(1)求抛物线顶点坐标．(2)当k=−1，b=43时，若点P为直线BC下方抛物线上一点，求△BCP面积最大时，点(3)若始终有∠AOB−∠AOC=90°，直线BC是否过定点？若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由．24．（2025·广东佛山·三模）已知二次函数y=mx【特例分析】（1）当m=−2，−1，2时，其图象对应为图中的y1，y2，y3【性质探究】（2）观察图象，发现二次函数y=mx【性质运用】（3）将函数y=mx2−2mx+3图象向下平移4m个单位，若所得图象的顶点落在（4）设点Mm,a，N2,b在该二次函数的图象上，且a<b，实数（5）已知点P12,6−m，Q3225．（2025·湖北武汉·三模）如图，抛物线y=12x2−3x+4与x轴交于A，B两点（点A在B(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图（1），D为抛物线上一点，连接AD，若AC平分∠OAD，求点D的坐标；(3)E，F是对称轴右侧第一象限抛物线上的两动点，直线AE，AF分别交y轴于M，N，如图（2）若OM⋅ON=2，直线EF经过定点P，求出P点的坐标．26．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线C1:y=ax2−2ax+c经过点1,2，与x(1)求抛物线C1(2)如图1，直线y=34x交抛物线C1于S、T两点，M为抛物线C1上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E,MF⊥ST(3)如图2，平移抛物线C1的顶点到原点得抛物线C2，直线y=x+b交抛物线于P、Q两点，已知点H0,1，连接PH、QH分别交抛物线于另一点N、M题型03定值问题二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值.27．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线y=ax2+bxa≠0经过点(1)求该抛物线的对称轴；(2)点A(x1,y1)和B(x①若a=12，且x1=x②当y2y1=x2x1时，若28．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于两点O(0,0)、A(2,0)，将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2，点P是抛物线y(1)求抛物线y2(2)设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求(3)如图②，若抛物线y3=x2−8x+t与抛物线y1=x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点29．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A−2,5，点(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x2=x(3)如图2，点P在第二象限，x2=−2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1−1，过点M作30．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图1，二次函数y=815x2−415x−285与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D坐标为−1,0，过点D(1)求证：DE=DF.(2)求m的值．(3)如图2，过点A的直线交y轴于点P，过点E作EG⊥AP，连接FO交AP于点H，此时∠GHF=90°，求FH−GH是否为一定值．如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．31．（2025·广东广州·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为A3，(1)求二次函数的解析式；(2)点P为∠OAB内部一个动点，且AP=3，点P关于直线AB的对称点为P1，点P关于x轴的对称点为P2，问(3)点C为二次函数y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点，点Q为二次函数y=ax232．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为A4,0，且与y轴交于点0,83，点B的坐标为4,3，点C为抛物线上一动点，以点C为圆心，CB长为半径的圆交x轴于M，N(1)求此抛物线的函数表达式；(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦MN的长．(3)如图2，若直线BC过点1,0，求证：三角形CBN是等边三角形．1．（2025·云南玉溪·三模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4ax+4a+3(a<0)与x轴的交点为A(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有10个整点，求a的取值范围．2．（2025·河南南阳·二模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y=kxx>0交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A、B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，(1)求双曲线y=kx的解析式，并直接写出点(2)若横、纵坐标均为整数的点称为整点．图中由曲线AC及线段AB、BD、CD围成的封闭区域内（含边界）整点个数有几个？（直接写出结果）(3)沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分∠ABD时，请直接写出平移的距离．3．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线y=kx（x>0）经过点2,2和点M4,n，经过双曲线上的点A且平行于OM的直线与y轴交于点B，点A在点M左上方，设G为y轴、直线AB、双曲线y=kx（x>0）及线段(1)G内整点最多有个；(2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围．4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线C1：y=ax2−4与x轴交于A，(1)求抛物线的解析式；(2)如图（1），点Q是直线AE上一动点，直线BQ交抛物线于点D，若S△QDE=3(3)如图（2），将抛物线C1沿x轴对称得到抛物线C2．不过原点的直线l1与抛物线C2交于点M，交y轴的负半轴于点F，直线l2∥l1，直线l25．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax−5a(a>0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C(1)求线段AB的长；(2)当a=12时，若△ABD的面积是△ACD面积的两倍，求点(3)延长CD交x轴于点F，AD=DF，试探究直线DE是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．6．（2025·安徽芜湖·三模）已知抛物线y=x2−2mx+n的顶点A始终在直线y=2x−3上，且与直线y=2x−3的另一个交点为B，抛物线与y(1)用含m的代数式表示n，并求出n的最小值；(2)已知点A在第一象限，过点B作BM⊥x轴于点M，过点A作AE⊥BM于点E，连接AC，CE，BC．①BE的长是否为定值？请说明理由．②若△ABC的面积是△ACE的面积的2倍，求m的值．7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+x+c(a>0)与x轴交于A−2,0,B(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接CD，若∠ACD为锐角，且tan∠ACD<14，求点D(3)如图2，经过对称轴上一定点P作一次函数y=kx+b与抛物线交于M,N两点．若1PM+11．（2025·云南丽江·一模）在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数y=|ax(1)当a=1时，①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质；②如果关于x的方程|ax2−2ax+a−3|−m=0(2)在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点0,4平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有10个“整点”时，求a的取值范围．2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2−2ax−3a（a是常数，且a<0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y(1)求点A，点B的坐标；(2)如图2，二次函数y=ax2−2ax−3a（a是常数，且a<0）的图象为L1，图象L1中位于y轴右侧的部分作关于y轴的对称图象，该对称图象记为图象L2．若直线l：y=m（m是常数）交图象L1于点D，E（点D在点E的右侧），并与图象L2交于点(3)抛物线y=ax2−2ax−3aa<0的图象与x轴分别交于A，B两点，将抛物线沿3．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线y=ax2−2ax−3aa<0交x轴于A，B两点，交(1)直接写出点A，B的坐标；(2)如图（1），当a=−1时，连接AC，点P在第四象限内抛物线上，若∠PAB=2∠ACO，求点P的坐标；(3)如图（2），若顶点为H，在第一象限的抛物线上取点D，连接H