江苏省连云港市东港中学2025-2026学年上学期10月阶段测试九年级数学试题(含答案)

江苏省连云港市东港中学阶段测试数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求1.把一元二次方程x(x+1)=3x−2化为一般形式，正确的是(

)A.x2−2x−2=0 B.x2−2x+2=0 C.A.相等的弦，所对的圆周角相等

B.同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长

C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等

D.相等的弦，所对的弧相等3.若关于x的一元二次方程x2−x+m=0的一个根是2，则m的值是(

)A.−1 B.−2 C.−3 D.24.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深，葭长各几何.”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺.设芦苇长x尺，则可列方程为(

)

A.x2+102=(x+1)2 B.(x−1)5.设M=2a2−5a+1，N=a2−6，其中a为实数，则MA.M>N B.M<N C.M≠N D.不能确定6.如图，在矩形ABCD中，BC=8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F.若BF=8，则CD长为(

)A.9 B.10 C.83 7.如图，已知AB是⊙O的一条弦，直径CD与弦AB交于点E，且BE=3AE，已知DE=8，CE=2，则点O到AB的距离为(

)A.23B.333

8.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图．AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为(

)

A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。9.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根是x=−1，则2024−a+b10.写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为2、−1.所写的一元二次方程为______．11.某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程

．12.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE/​/AB，若∠AOC=75°，则CE的度数是______．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=80∘，则∠DCE=

14.用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点.若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为______．15.若关于x的一元二次方程(k−3)x2+5x+1=0有两个不相等的实数根，则k16.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB点D，则∠ACD的度数等于

．

17.等边△ABC的边长为6，P是AB上一点，AP=2，把AP绕点A旋转一周，P点的对应点为P'，连接BP'，BP'的中点为Q，连接CQ.则CQ长度的最小值是______．

18.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=42，点P在以斜边AC为直径的圆上，M为PB的中点．当点P沿圆从点A开始运动一周时，CM长度的最小值是

．

三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

选用适当方法解下列方程：

(1)2(x−1)2−8=0；

(2)x2+2x−5=0；

20.(本小题8分)如图，在平面直角坐标系中，有A0,4，B4,4，(1)在图中经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M坐标为______．(2)点C绕点B顺时针旋转90∘后的点D的坐标为______，此时C点旋转到D点所经过的路径长为______(结果保留根号和21.(本小题6分)

关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

(1)求实数k的取值范围；

(2)若方程的两实数根x122.(本小题8分)

如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在MB，MD上，且AB=CD，M是AC的中点．

(1)求证：MB=MD；

(2)过O作OE⊥MB于点E，当OE=1，MD=4时，求⊙O的半径．23.(本小题10分)

如图，利用一面墙(墙的最大可利用长度为25米)，用栅栏围成一个矩形场地ABCD(靠墙一面不用栅栏)，中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏BC的长为x米，解答下列问题：

(1)AB=______米(用含x的代数式表示)；

(2)若矩形场地ABCD面积为240平方米，求栅栏BC的长．

(3)矩形场地ABCD面积能不能等于280平方米，为什么？24.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90∘，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠F=30∘，EB=8，求图中阴影部分的面积．(25.(本小题8分)阅读材料：已知实数m、n满足m2−m−1=0、n2−n−1=0，且解：由题知m、n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料得m+n=1，∴n根据上述材料解决下面问题：(1)已知实数m、n满足2m2−2m−1=0、2n2(2)已知实数p、q满足p2=3p+2、2q2=3q+126.(本小题8分)定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．

(1)如图1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；(2)如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分别交⊙O于D，C两点，连接CD.分别交AB、OA与点M、点E．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；(3)已知⊙O的直径为10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP=3BP.求AB的长．参考答案一．选择题1.B

2.C

3.B

4.B

5.A

6.B

7.B

8.A

二、填空题9.2029

10.x2−x−2=0

11.361−x2=25

12.14.140°

15.k<374且k≠3

16.50°

17.33−1三、解答题19.解：(1)∵2(x−1)2−8=0，

∴2(x−1)2=8，

∴(x−1)2=4，

∴x−1=±2，

∴x1=3，x2=−1；

(2)∵x2+2x−5=0，

∴x2+2x=5，

∴x2+2x+1=5+1，

∴(x+1)2=6，

∴x+1=±6，

∴x1=−1+20.（1）解：如图，点M坐标为(2,0)，故答案为：(2,0)；（2）如图，点D的坐标为2,2，BC=∴C点旋转到D点所经过的路径长为：90∘故答案为：2,2，2

21.解：(1)根据题意得Δ=(2k−1)2−4(k2+1)>0，

解得k<−34；

(2)x1+x2=2k−1，x1x2=k2+1，

k<−34，

∴x1+x2=2k−1<022.(1)证明：∵AB=CD，

∴AB=CD，

∵M是AC的中点，

∴AM=CM，

∴AM+AB=CM+CD，

∴BM=DM，

∴BM=DM．

(2)解：如图，连接OM．

∵DM=BM=4，OE⊥BM，

∴EM=BE=223.解：(1)根据题意，AB=52−3x+2=(54−3x)米，

故答案为：(54−3x)；

(2)依题意得：x(54−3x)=240，

整理得：x2−18x+80=0，

解得：x1=8，x2=10．

当x=8时，54−3x=54−3×8=30>25，不合题意，舍去；

当x=10时，54−3x=54−3×10=24<25，符合题意．

答：栅栏BC的长为10米．

(3)依题意得：x(54−3x)=280，

整理得：3x2−54x+280=0，

Δ=(−54)2−4×3×280=−454<024.(1)证明：连接OD，如图，

∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC//BE，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在▵ODC和▵OAC中OD=OA∴▵ODC≌▵OAC，∴∠ODC=∠OAC=90∴OD⊥CD，∴CF是⊙O的切线；(2)∵∠F=30∴∠FOD=60∴∠1=∠2=60∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC=BE=8，在Rt▵AOC中，OA=12∴图中阴影部分的面积==2×=16

25.(1)解：由题知m、n是方程2x∴

m+n=−−22=1∴m(2)解：设t=2q，则q=1将q=12t代入2∴p、t是方程x2∴p+2q=−−31=3∴p

26.(1)证明：根据题意，得AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四边形ADOE是矩形，∵AB=AC，根据垂径定理，得AE=∴四边形ADOE是正方形．(2)证明：∵OD⊥OA，OC⊥OB，∴∠AOD=∠BOC=90∴∠AOD+∠AOC=∠BOC+∠AOC，∴∠COD=∠AOB，∴AB=CD；连接AC，设AB，CD交点为G，∴∠ACD=1∴∠ACD+∠CAB=90∴∠AGC=180∴CD⊥AB．∴AB，CD是⊙O的等垂弦．(3)解：当等垂点P位于圆内，如答图所示，过点O作OE⊥AB,OF⊥CD，垂足分别为E，F，根据题意，得AB⊥CD，∴四边形OEPF是矩形，∵AB=CD，∴OE=OF，∴四边形OEPF是正方形，∴OE=OF=PE=PF．∵AP=3BP，设BP=x,AP=3x，AB=AP+BP=4x，∵OE⊥AB，∴AE=BE=1∴OE=OF=PE=PF=x，连接OB，∵⊙O的直径为10，∴OB=5，根据勾股定理，得OB∴5解得x=5,x=−∴AB=4x=4