教学材料《测量》-阅读材料1

1.1测量误差概述测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求进行观测，但在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。例如，测量某一三角形的三个内角，其和不等于理论值180°；又如所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零；再如在用测回法测量水平角时，同一测站点两次测量得到的水平角不相等。这些现象说明观测值中包含有各种测量误差。1.1.1测量误差产生的原因引起测量误差的因素有很多，概括起来主要有以下三个方面：（1）测量仪器因素。由于制造工艺上的局限性，测量仪器轴线间的几何关系不可能绝对达到设计要求，这样测量结果中就不可避免地包含了这种误差。下一页返回1.1测量误差概述（2）观测者的因素。由于观测者的感觉器官的鉴别能力的限制性，在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生一定的误差。同时，观测者的操作技术水平和工作态度也将对观测结果的质量产生不同程度的影响。（3）外界条件的因素。观测时的外界条件，如温度、湿度、风力、大气折光、能见度等都是随时变化的，直接影响观测结果。如温度的变化会使钢尺长度发生细微的变化，致使测量的结果带有由于尺长变化而引起的误差。上述三方面因素就是我们所说的观测条件。观测条件与观测成果的精确程度有很大的关系，观测条件好时，观测成果精度就高；观测条件差时，观测成果精度就低。下一页

返回上一页1.1测量误差概述1.1.2测量误差的分类及特征误差按其特性可分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。1.系统误差（SystemError）系统误差是在同一观测条件下，对同一测量对象进行多次测量，绝对值大小和符号保持恒定，或随着测量条件的变化，以可预知的方式，按一定规律变化，其特征是具有确定性。例如，某尺子的公称尺寸为1000mm，实际尺寸为1000.001mm，误差为-0.001mm；若按公称尺子使用，始终会存在-0.001mm的系统误差。系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大；但它又具有一定的规律性，一般可采用一定方法消除或减弱其影响。下一页

返回上一页1.1测量误差概述2.随机误差（RandomError）随机误差也叫偶然误差。在假设系统误差已消除或修正的情况下，在同一观测条件下，多次测量同一物理量时，出现的误差时大时小、时正时负，完全是随机的，没有确定的规律。当测量次数足够多时，误差的大小及正负都服从某种统计规律，其特征具有不确定性。例如，在水平角测量时，因人眼的鉴别能力不同而引起的瞄准误差，在读数的时候因反光镜进光不佳而引起的读数误差等均属随机误差。随机误差服从统计规律，可采取多次测量取平均值的方法减小其影响，但不能消除。3.粗大误差（或粗差）（AbnormalError）下一页

返回上一页1.1测量误差概述粗大误差（或粗差）也称为过失误差，是指明显超出规定条件下所预期的误差。测量过程中，因为较强的外界干扰、测量条件的意外变化、测量者的操作不当、粗心大意等造成的差错。例如，看错刻度、读错数字、记错单位、计算错误、仪器有毛病等造成的过失误差，不属正常测量范畴，应该严格避免。含有过失误差的测量值称为粗大值或“坏值”，应该剔除。在观测中，系统误差和随机误差往往是同时产生的。当系统误差设法消除或减弱后，决定观测精度的关键是偶然误差。下一页

返回上一页1.1测量误差概述1.1.3偶然误差的特性偶然误差服从某种统计规律，观测次数愈多，规律愈明显。例如，对一个四边形的四个内角进行测量，四边形各内角之和l不等于其真值360°[

多边形内角和理论值即真值公式是（n–2）×180°］。用X表示真值，则l与X的差值

称为真误差（即偶然误差），即

=X–l

（1-1）设在相同的观测条件下观测了176个四边形，按式（1-1）计算出176个内角和观测值的真误差。再按误差的绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表1-1中。从表1-1可以看出：（1）超过0.24″的误差没有出现，最大误差就是0.24″。下一页

返回上一页1.1测量误差概述（2）绝对值较小的误差（小于0.12″的误差）有134个，绝对值较大的误差（大于0.12″的误差）有42个，前者大于后者。（3）正误差的个数是87个，负误差的个数是89，只相差两个。通过长期对大量数据统计和分析，人们总结出了偶然误差的四大特性：（1）偶然误差的绝对值有一定的限值。（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会多。（3）绝对值相等的正、负误差出现的机会相同。（4）偶然误差的算术平均值随观测次数n

无限增加而趋于零，即（1-2）式中，[

]——

偶然误差的代数和，[

]=

1+2+…+n

返回上一页1.2衡量精度的指标精确度简称精度，反映偶然误差与系统误差综合大小的程度。精确度高，是指测量结果既精密又准确，即随机误差与系统误差均小。在测量工作中，常用以下几种标准评定测量成果的精度。1.2.1中误差在同一观测条件下，对某被测量量进行狀次重复观测，其观测值为l1，l2，…，ln，相应的真误差为

1，2，…，n。则观测值的中误差用m

表示，即（1-3）式中，[

]——真误差的平方和，[

]=

12+22+…+n2下一页

返回1.2衡量精度的指标【例1-1】已知两组观测值，各组均为等精度观测（相同观测条件下观测），它们的真误差分别为：一组：二组：试计算两组观测值各自的中误差m1，m2。解：根据式（1-3）计算两组观测值的中误差为比较m1和m2可知，m1

＜m2，第一组的观测精度比第二组的高。下一页

返回上一页1.2衡量精度的指标1.2.2容许中误差容许中误差又称为极限误差或限差，是在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值。由偶然误差的特性可知，偶然误差的绝对值有一定的限值。通常情况下，我们将2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许值，即

限

=2m或限

=3m如果某个观测值的偶然误差超过了限差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。下一页

返回上一页1.2衡量精度的指标1.2.3相对中误差从理想的测量角度来看，可以把误差分为两类：绝对误差与相对误差。前面提到的真误差、中误差和限差都是绝对误差。中误差的绝对值与相应观测结果之比称为相对中误差，常把分式写成分子为1的分数，即（1-4）【例1-2】丈量两段路程，D1

=500m，m1

=±4cm；D2=1000m，m2=±4cm。这段路程的测量精度一样吗？解：虽然m1

=m2

，但我们要判断精度高低，就不能只用中误差而要用相对中误差即下一页

返回上一页1.2衡量精度的指标显然，后者的精度比前者的高。

返回上一页1.3算术平均值及中误差1.3.1算术平均值在同一观测条件下，对某被测量进行多次重复观测，可取其算术平均值作为最终观测结果。下面我们来证明一下这个结论，也就是为什么算术平均值是最可靠值（或称为最或然值）。设对某被测量进行了n

次等精度观测，观测值分别为l1，l2，…，ln，其算术平均值Y为：（1-5）如果观测量的真值为X，观测值为li，则观测值的真误差为

1，2，…，n为：

1

=X–l1

2

=X–l2下一页

返回1.3算术平均值及中误差…

n

=X–ln将以上各式两边相加，并除以n，得（1-6）根据偶然误差的第四个特性，当观测次数n

无限增大时，则有那么可以得到Y≈X当观测次数n

无限增大时，算术平均值Y

无限趋近于真值X。但实际上，观测次数总是有限的，用观测值算出的算术平均值较观测值更接近于真值。我们就把算术平均值称为最或然值或最可靠值。根据误差理论可知，如果观测值的中误差为m，则算术平均值的中误差mx

为:下一页

返回上一页1.3算术平均值及中误差（1-8）【例1-3】设有一垂直角，等精度观测了4个测回，各测回的观测值中误差是m=±7.0″，求4个测回的算术平均值中误差mx。解：用式（1-8），得到1.3.2用观测值的改正数计算中误差计算观测值中误差的公式为下一页

返回上一页1.3算术平均值及中误差要注意当用这个公式计算的时候，观测值的真误差是已知的，也就是说真值是知道的。但在实际工作中，我们往往无从得知真值，用此公式计算就行不通。所以，只有采用另外的数据来计算。设观测值的算术平均值与观测值之差为观测值改正数，即最或然误差，用

v表示，v=Y–l

。设在同一观测条件下，对某被测量进行了狀次观测，观测值分别为l1，l2，…，ln。v1=Y–l1v2=Y–l2（1-9）…vn=Y–ln下一页

返回上一页1.3算术平均值及中误差将式（1-9）两边相加，得[v]=nY-[l]

，由Y=[l]/n，得[v]=0。得出一个结论，进行等精度的多次观测，观测值改正数的总和为零。通常用此作为计算检核用。那么怎样用观测值改正数计算观测值的中误差呢？我们一起来看，由真误差和观测值改正数的定义可以得到（1-10）下一页

返回上一页1.3算术平均值及中误差（1-11）由式（1-10）减去式（1-11）得出（1-12）下一页

返回上一页1.3算术平均值及中误差将式（1-12）两边分别平方相加，得[

]=[vv]+n（X–Y）2+2（X–Y）[v]因为[v]=0，得[

]=[vv]+n（X–Y）2（1-13）将式（1-13）两边分别除以n，得[

]/n=[vv]/n+（X–Y）2式中，（X–Y）是算术平均值的真误差，该值无法求得，常用算术平均值中误差代替，于是把式（1-8）代入，得[

]/n=[vv]/n+m2/n（1-14）又，则，代入式（1-14）得下一页

返回上一页1.3算术平均值及中误差得到由此，我们就得到了观测值中误差的直接计算公式为（1-15）

返回上一页1.4误差传播定律在实际测量中，有很多数据不能直接通过仪器测得，而是通过其他已知数据间接推导而出。例如，在进行距离丈量的时候，如果两点间的高差很大，就不能直接丈量，而是测出两点间的斜距和高差，然后根据勾股定理得出两点间水平距离。用d

表示平距，l

表示斜距，h

表示高差，。l、h

本身的观测值就存在误差，由此计算出来的犱肯定也存在误差，这种关系就叫误差传播。已知量和未知量之间必然存在某种函数关系，才会使误差传播，这种传播必然存在某种定律，称为误差传播定律。我们就来研究以下两类函数的中误差的传播定律。1.4.1线性函数的中误差设线性函数为下一页

返回1.4误差传播定律Z=k1x1+k2y（1-16）式中，k1、k2

——常数；

x、y——独立直接观测值。设独立直接观测值x、y

相应的中误差为mx、my，函数Z

的中误差为mZ。当观测值x、y

中分别含有真误差

x、

y

时，函数Z

产生真误差

Z，即Z+

Z=k1（x+x）+k2（y+y）（1-17）用式（1-17）减去式（1-16），得

Z=k1

x+k2

y设对x、y

各独立直接观测了n

次，则有下一页

返回上一页1.4误差传播定律（1-18）取上式两端平方和，并除以n，得同样由偶然误差的第四个特性可知，当n→∞时，[xy]/n趋近于零。由此可把上式变为下一页

返回上一页1.4误差传播定律同样根据中误差的定义，得mz2=k12mx2+k22my2

即（1-19）值得注意的是，Z

可能不是两个观测值的线性函数，而是一组观测值x1，x2，…，xn，的线性函数时，即Z=k1x1+k2x2

+knxn

（1-20）根据上面的推导方法，可求得此时

Z的中误差为（1-21）由式（1-16）可推知和差函数与倍数函数的中误差。（1）对于和差函数Z=±x±y，此时k1=±1，k2=±1，即（1-22）如果mx=my=m，则。又当Z=±x1±x2±…±xn时，可推得（1-23）下一页

返回上一页1.4误差传播定律由此可得到结论，和差函数的中误差，等于各观测值中误差平方和的平方根。如果m1=m2=…=mn=m，则（1-24）即n

个等精度观测值代数和的中误差，等于观测值中误差的倍。（2）对于倍数函数Z=kx，则mz=kmz

（1-25）得出结论，倍数函数中误差等于倍数乘以观测值中误差的积。【例1-4】在1∶1000的地形图上测量两点间的距离，图上的距离d=80.4mm，在地形图上量距中误差md=±0.2mm，计算出两点间的实地水平距离D

及其中误差mD。解：根据条件得到下一页

返回上一页1.4误差传播定律水平距离D=1000×80.4mm=80.4m中误差mD=1000×（±0.2mm）=±200mm=±0.2m1.4.2非线性函数的中误差设非线性函数也就是一般函数为Z=f（x1，x2，…，xn）（1-26）设x1，x2，…，xn为独立直接观测值，中误差分别