2026中考数学高频考点一轮复习：二次函数（含解析）

中考数学一轮复习二次函数一．选择题（共10小题）1．（2025•太平区二模）关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0）2．（2025•三原县二模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣3），（5，﹣3），有下列说法：①当x＜0时，y随x的增大而减小；②若点（0，m），（5，n）在该函数的图象上，则m＞n；③该函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线x＝3．其中说法正确的是（）A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③3．（2025•嵊州市模拟）如图，平面直角坐标系中有四个点E（﹣4，﹣4），F（﹣3，0），M（﹣2，﹣4），O（0，0），二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线y＝ax2+bx+c经过的三个点是（）A．E，F，M B．E，F，O C．E，M，O D．F，M，O4．（2025•衢州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（）A．3 B．2 C．0 D．15．（2025•富锦市二模）小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为xcm的正方形，则盒子的容积V（单位：cm3）与x的函数关系式为（）A．V＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．V＝x（20﹣x）（15﹣x） C．V＝4x2（20﹣2x） D．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x6．（2025•青山湖区三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝bx2﹣ax的图象可能是（）A． B． C． D．7．（2025•西安一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…﹣3m10﹣3…以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝﹣2；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣1和﹣3；④当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞﹣1．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2025•富锦市二模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（2，3），且过点（0，1），则函数解析式为（）A．y=-12（x﹣2）2+3 B．y=12（x﹣2C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝2（x+2）2+39．（2025•永寿县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2025•碑林区二模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：x…﹣5﹣3024…y…120﹣3521…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A．图象的开口向下 B．点（﹣4，5）在该函数图象上 C．当x＞2时，y的值随x的值增大而减小 D．函数的最小值为﹣3二．填空题（共5小题）11．（2025•硚口区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）经过（﹣2，0），（m，0）两点，且2＜m＜3．下列五个结论：①b＜0；②b2﹣4ac＜0；③若抛物线经过点（﹣1，﹣1），则14④若关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，则2＜t＜3；⑤点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞12，x1＜x2，总有y其中正确的结论是（填写序号）．12．（2025•南京模拟）在平面直角系xOy中，将抛物线C1：y＝ax2﹣2atx（a＞0）向右平移2个单位得到抛物线C2，点A(3t2，y1)在抛物线C1上，点B（x2，y2）在抛物线上，当t＝2a，5＜x2＜6时，总有，y1＞y2，则a13．（2025春•青秀区）已知点A（﹣1，﹣1），点B（2，﹣1），如果抛物线y＝x2﹣2ax+a+1（a为实数）与线段AB（不含端点）只有一个交点，那么a的取值范围是．14．（2025•工业园区一模）定义：如果一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图象的“倍值点”．例如，一次函数y＝x+1图象的“倍值点”为（1，2）．若关于x的二次函数y=(m-1)x2+mx+14m的图象上有唯一的“倍值点”，则m＝15．（2025春•郑州）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度，在第一届青少年科技运动会上，某参赛小组在比赛场地从地面竖直向上发射水火箭，水火箭被发射后3s距离地面的高度最大，则最大的高度为（用含v0的式子表示）．三．解答题（共5小题）16．（2025•永寿县模拟）如图，已知二次函数L：y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）抛物线L′与L关于坐标原点对称，则在L′上是否存在点P，使得S△ABP＝S四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2025•泗阳县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们定义其“开口大小”如下：若存在一点P（x′，y′）在该抛物线上，满足x′﹣h＝y′﹣k≠0，其中（h，k）为抛物线的顶点，则称2|x′﹣h|为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数y＝3x2的顶点坐标为（0，0），在函数图象上取点P(13，13)，则有13-0=13-0（1）抛物线y＝x2+4的开口大小是；（2）对于抛物线y=12x2-3x+1（3）已知某抛物线的“标志点”为（﹣2，5），且开口大小为4，求该抛物线的解析式．18．（2025•越秀区三模）学习主题：探究电流最值课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习．学习素材：名称内容备注素材1用总长60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．课本例题素材2观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．1×100，2×99，3×98，4×97，…，99×2，100×1课本数学活动素材3串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．物理学知识研究步骤：1．画出电路图．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3．2．根据电路图连结实验器材，图略．3．闭合开关，在滑片从a端滑到b端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．解决问题：（1）在素材1中，当l＝时，场地的面积S最大；（2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由；（3）电流表A表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由．19．（2025•硚口区模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），连接AC，D是抛物线第一象限上的一点，连接AD交y轴于点E；过点B作BF∥AC交AD于点F．若F是DE的中点，求点D的横坐标；（3）如图（2），直线y＝t（t＞0）交抛物线于M，N两点，H（0，h）是y轴上的一点（h＜t），延长NH，MH分别交抛物线于P，Q两点，连接MP，NQ．设点M的横坐标为m（m＜0），若S△QNH＝4S△PMH，求m值．20．（2025•嵊州市模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m（m为常数）．（1）当m＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；（2）若点A（x1，y1），其中m﹣3≤x1≤m+1．①若y1的最大值是1，求m的值；②若点B（x2，y2）也在抛物线上，且x2＝2﹣3m，对于x1，x2，都有y1＜y2，求m的取值范围．

中考数学一轮复习二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025•太平区二模）关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0）【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】D【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的性质，包括图象过定点，开口方向，对称轴，最值等，需要根据二次函数的性质逐一判断即可．【解答】解：把（0，0）点代入，二次函数，发现﹣（0﹣2）2≠0，∴图象不经过原点，故A不正确；对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下，y＝﹣（x﹣2）2二次项系数a＝﹣1，∴图象开口向下，故B不正确；二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝h，y＝﹣（x﹣2）2中，h＝2，∴对称轴是直线x＝2，故C不正确；∵a＝﹣1＜0，二次函数开口向下，∴函数有最大值，当x＝h＝2时，y取最大值k＝0，即最高点是（2，0），故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的性质，包括图象过定点，开口方向，对称轴，最值等，熟练掌握二次函数顶点式性质是解题的关键．2．（2025•三原县二模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣3），（5，﹣3），有下列说法：①当x＜0时，y随x的增大而减小；②若点（0，m），（5，n）在该函数的图象上，则m＞n；③该函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线x＝3．其中说法正确的是（）A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】D【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再根据二次函数的图象与性质进行判断．【解答】解：由题意可得：1-b+c=-325+5b+c=-3解方程组可得：∴b=-4c=-8∴y＝x2﹣4x﹣8，①∵二次函数y＝x2﹣4x﹣8中a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵二次函数对称轴为x=-b∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故①正确；②∵点（0，m），（5，n）在该函数的图象上，当x＝0时，可得：m＝﹣8，当x＝5时，可得：n＝52﹣4×5﹣8＝﹣3，∴m＜n，故②错误；③二次函数y＝x2﹣4x﹣8＝（x﹣2）2﹣12，则顶点坐标为（2，﹣12），且图象开口向上，∴该函数的图象有最低点，故③正确；④∵二次函数y＝x2﹣4x﹣8的对称轴为x=-b2a=-故选：D．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是把点（﹣1，﹣3），（5，﹣3）的坐标代入二次函数y＝x2+bx+c．3．（2025•嵊州市模拟）如图，平面直角坐标系中有四个点E（﹣4，﹣4），F（﹣3，0），M（﹣2，﹣4），O（0，0），二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线y＝ax2+bx+c经过的三个点是（）A．E，F，M B．E，F，O C．E，M，O D．F，M，O【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】A【分析】依据题意，要使a最小，则a＜0，结合|a|越大，开口越小，故当a＜0时，开口小的那个a最小，结合图象即可判断得解．【解答】解：由题意，要使a最小，则a＜0．又如图，∵|a|越大，开口越小，∴当a＜0时，开口小的那个a最小．∴由图可知，过E、F、M三点的二次函数的a的值最小．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象和性质，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．4．（2025•衢州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（）A．3 B．2 C．0 D．1【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出s范围，进而选出符合条件的选项．【解答】解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下．对称轴为直线x=m-4+2-m2∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0，∴与点Q相比，点P更靠近对称轴，即2﹣（﹣1）＜|s﹣（﹣1）|，整理得|s+1|＞3．∴当s+1≥0时，有s+1＞3，解得s＞2；当s+1＜0时，有﹣（s+1）＞3，解得s＜﹣4．综上，s＞2或s＜﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标的特征，有一定难度，能够判断出两点离对称轴距离的大小是解题的关键．5．（2025•富锦市二模）小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为xcm的正方形，则盒子的容积V（单位：cm3）与x的函数关系式为（）A．V＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．V＝x（20﹣x）（15﹣x） C．V＝4x2（20﹣2x） D．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】二次函数的应用；运算能力．【答案】D【分析】根据长方体的体积公式即可得出答案．【解答】解：∵它的四个角都剪去一个边长为xcm的正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子，∴长为（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm，高为xcm，∴V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x．故选：D．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意确定长方体的长、宽、高，难度不大．6．（2025•青山湖区三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝bx2﹣ax的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质；二次函数的图象．【专题】函数及其图象；推理能力．【答案】B【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数y＝ax+b中a、b的正负情况与二次函数y＝bx2﹣ax中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：A、由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，故选项A错误，不符合题意；B、由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，故选项B正确，符合题意；C、由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，故选项C错误，不符合题意；D、由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项D错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．7．（2025•西安一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…﹣3m10﹣3…以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝﹣2；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣1和﹣3；④当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞﹣1．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】C【分析】由表格可知，抛物线的对称轴为直线x=-4+02=-2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，即该抛物线的开口向下；结合抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣1和﹣3；结合图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴为直线x=-4+02故结论②正确；由表格可知，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∴该抛物线的开口向下，故结论①不正确；由表格可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣1和﹣3，故结论③正确；∵该抛物线的开口向下，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（﹣3，0），∴当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞﹣1，故结论④正确．综上所述，正确的个数有3个．故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2025•富锦市二模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（2，3），且过点（0，1），则函数解析式为（）A．y=-12（x﹣2）2+3 B．y=12（x﹣2C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝2（x+2）2+3【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】A【分析】利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：由题知，因为抛物线的顶点坐标为（2，3），则令二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，将点（0，1）代入函数解析式得，4a+3＝1，解得a=-1所以二次函数的解析式为y=-1故选：A．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键．9．（2025•永寿县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；命题与定理．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，∵对称轴在y轴的左侧，∴-b2a∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：-b2a∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②错误；③∵抛物线过点（1，0），∴y＝a+b+c＝0，∵b＝2a，∴y＝3a+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），故④正确；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10．（2025•碑林区二模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：x…﹣5﹣3024…y…120﹣3521…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A．图象的开口向下 B．点（﹣4，5）在该函数图象上 C．当x＞2时，y的值随x的值增大而减小 D．函数的最小值为﹣3【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质逐一判断即可．【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣3，0）、（0，﹣3）、（2，5）代入得：9a-3b+c=0c=-3解得a=1b=2所以解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则抛物线开口向上，当x＝﹣4时，y＝5，即（﹣4，5）在该函数图象上，当x＜﹣1时，y的值随x的值增大而减小，函数的最小值为﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．二．填空题（共5小题）11．（2025•硚口区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）经过（﹣2，0），（m，0）两点，且2＜m＜3．下列五个结论：①b＜0；②b2﹣4ac＜0；③若抛物线经过点（﹣1，﹣1），则14④若关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，则2＜t＜3；⑤点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞12，x1＜x2，总有y其中正确的结论是①③⑤（填写序号）．【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】①③⑤．【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可．【解答】解：由题意可得：a＞0，0＜m﹣2＜1，0＜∴-b∴b＜0；故①正确；由题意可得：x＝﹣2，x＝m是方程ax2+bx+c＝0的两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0；故②错误；∵抛物线经过点（﹣1，﹣1），∴a﹣b+c＝﹣1，∵4a﹣2b+c＝0，解得b＝3a﹣1，∵0＜∴0＜∴0＜﹣b＜a；∴0＜1﹣3a＜a；解得14故③正确；∵关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，∴2ax2+（2b+c）x＜0，∴2ax2+（2b+c）x＝0的两个根为x＝0，x=-2b+c∵关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，∴t=-2b+c∵-b∴b＝a（2﹣m），∴c＝2b﹣4a＝﹣2amb＝a（2﹣m），∴t＝2m﹣2，∴m=t+2∵2＜m＜3，∴2＜∴2＜t＜4，故④错误；∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，抛物线的对称轴为-b2a=m-22，x1+∴x1+x解得m≤5∵2＜m＜3∴2＜故⑤正确，故答案为：①③⑤．【点评】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．12．（2025•南京模拟）在平面直角系xOy中，将抛物线C1：y＝ax2﹣2atx（a＞0）向右平移2个单位得到抛物线C2，点A(3t2，y1)在抛物线C1上，点B（x2，y2）在抛物线上，当t＝2a，5＜x2＜6时，总有，y1＞y2，则a【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】43【分析】先求得点A的坐标，进而求得C2的解析式，根据题意，分别求得x＝5和x＝6在C2上的函数值，即y2的值，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解．【解答】解：由题意可得：平移后，C2的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣2at（x﹣2），∵t＝2a，点A(32t，y1)在C1上，点B（x2，y2）在C2上，且∴点A的横坐标为xA=32得y1则代入t＝2a到C2的解析式，得y＝a（x﹣2）2﹣2a•2a•（x﹣2）＝a（x2﹣4x+4）﹣4a2（x﹣2）＝ax2﹣4ax+4a﹣4a2x+8a2＝ax2+（﹣4a﹣4a2）x+（4a+8a2），由题意可得：y2条件5＜x2＜6时，y2（x）的最大值小于y1，∵a＞0，∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得：当x＝5时，y2＝a•52+（﹣4a﹣4a2）•5+（4a+8a2）＝25a﹣20a﹣20a2+4a+8a2＝9a﹣12a2，当x＝6时，y2＝a•62+（﹣4a﹣4a2）•6+（4a+8a2）＝36a﹣24a﹣24a2+4a+8a2＝16a﹣16a2，∴9a-12a且a＞0．解不等式（1）：9a﹣12a2≤﹣3a3，3a3﹣12a2+9a≤0，3a（a2﹣4a+3）≤0，3a（a﹣1）（a﹣3）≤0，∵a＞0，∴a（a﹣1）（a﹣3）≤0．解得1≤a≤3．解不等式（2）：16a﹣16a2≤﹣3a3，即a（3a2﹣16a+16）≤0，∵a＞0，∴3a2﹣16a+16≤0，∴43∴43故答案为：43【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（2025春•青秀区）已知点A（﹣1，﹣1），点B（2，﹣1），如果抛物线y＝x2﹣2ax+a+1（a为实数）与线段AB（不含端点）只有一个交点，那么a的取值范围是a＞2或a＜﹣1．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】a＞2或a＜﹣1．【分析】当x＝﹣1，y＝3a+2，当x＝2时，y＝5﹣3a，当交点在线段AB之间时，那么3a+2＞﹣1且5﹣3a＜﹣1，或者当3a+2＜﹣1时，5﹣3a＞﹣1，从而解得答案．【解答】解：当x＝﹣1，y＝1+2a+a+1＝3a+2，当x＝2时，y＝4﹣4a+a+1＝5﹣3a，当交点在与线段AB（不含端点）之间时，当3a+2＞﹣1时，5﹣3a＜﹣1，解得a＞2；当3a+2＜﹣1时，5﹣3a＞﹣1，解得a＜﹣1，综上，a＞2或a＜﹣1，故答案为：a＞2或a＜﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于a的不等式组是解题的关键．14．（2025•工业园区一模）定义：如果一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图象的“倍值点”．例如，一次函数y＝x+1图象的“倍值点”为（1，2）．若关于x的二次函数y=(m-1)x2+mx+14m的图象上有唯一的“倍值点”，则m＝【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】43【分析】根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．【解答】解：由题意可知，（m﹣1）x2+mx+14m＝2整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）x+14m＝∵关于x的二次函数y=(m-1)x∴Δ＝（m﹣2）2﹣4×14m（m﹣1）＝0且m﹣1≠解得m=4故答案为：43【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式等，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．15．（2025春•郑州）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度，在第一届青少年科技运动会上，某参赛小组在比赛场地从地面竖直向上发射水火箭，水火箭被发射后3s距离地面的高度最大，则最大的高度为（﹣45+3v0）m（用含v0的式子表示）．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】（﹣45+3v0）m．【分析】直接把t＝3代入h＝﹣5t2+v0t中计算求解即可．【解答】解：∵水火箭被发射后3s距离地面的高度最大，在h＝﹣5t2+v0t中，当t＝3时，h＝﹣5×32+3v0＝（﹣45+3v0）m，故答案为：（﹣45+3v0）m．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．三．解答题（共5小题）16．（2025•永寿县模拟）如图，已知二次函数L：y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）抛物线L′与L关于坐标原点对称，则在L′上是否存在点P，使得S△ABP＝S四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线与x轴的交点；关于原点对称的点的坐标；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，(-1+342，【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出B（3，0），得到AB＝4，由题意可得抛物线L′的解析式为y＝x2+2x﹣3，设P（x，x2+2x﹣3），结合S△ABP＝S四边形ACDB，得出12【解答】解：（1）由题意可得：a-b-3a=0-3a=3解得a=-1b=2∴y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，作DE⊥x轴于E，连接BD，在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∴AB＝4，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），E（1，0），∴E（1，0），CO＝3，DE＝4，OE＝1，BE＝2，∵抛物线L′与L关于坐标原点对称，∴抛物线L′的解析式为y＝x2+2x﹣3，设P（x，x2+2x﹣3），∵S△ABP＝S四边形ACDB，则：S四边形∴12当x2+2x-3=92时，解得x=-1±34当x=-1+342时，y=(-1+342当x2+2x-3=-9此方程无实数解；∴符合条件的点P的坐标为：(-1+342，【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．17．（2025•泗阳县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们定义其“开口大小”如下：若存在一点P（x′，y′）在该抛物线上，满足x′﹣h＝y′﹣k≠0，其中（h，k）为抛物线的顶点，则称2|x′﹣h|为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数y＝3x2的顶点坐标为（0，0），在函数图象上取点P(13，13)，则有13-0=13-0（1）抛物线y＝x2+4的开口大小是2；（2）对于抛物线y=12x2-3x+1（3）已知某抛物线的“标志点”为（﹣2，5），且开口大小为4，求该抛物线的解析式．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；压轴题．【答案】（1）2；（2）存在，标志点P(5，-32)；（3【分析】（1）根据题意确定顶点坐标，再由标志点的定义得出x＝1，即可求解开口大小；（2）设标志点P1（x1，y1）则y1=1（3）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），根据题意得出|2+h|＝2，分两种情况分析：当2+h＞0时，当2+h＜0时，结合定义分别求解即可．【解答】解：（1）∵y＝x2+4，∴顶点坐标为（0，4），∵P（x'，y'）在该抛物线上，满足x'﹣h＝y'﹣k≠0，∴x'﹣0＝（x'）2+4﹣4，解得：x'＝1或x'＝0（舍去），当x'＝1时，y'＝1+4＝5，∴开口大小为：2×|1﹣0|＝2，故答案为：2；（2）设标志点P1（x1，y1），则y1∵y=1∴抛物线的顶点坐标为：(3，∵标志点P（x'，y'）在该抛物线上，满足'x﹣h＝y'﹣k≠0，∴x1整理得：x1解得：x1＝3（不符合题意，舍去）或x1＝5，当x1＝5时，y1∴标志点P(5，（3）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），∵开口大小为4，“标志点”为（﹣2，5），∴2|x'﹣h|＝2×|﹣2﹣h|＝4，∴|2+h|＝2，当2+h＞0时，2+h＝2，∴h＝0，此时﹣2﹣0＝5﹣k，解得：k＝7，∴抛物线的解析式为y＝ax2+7，将点（﹣2，5）代入得：5＝4a+7，解得：a=-1∴抛物线的解析式为y=-1当2+h＜0时，2+h＝﹣2，∴h＝﹣4，此时﹣2﹣（﹣4）＝5﹣k，解得：k＝3，∴抛物线的解析式为y＝a（x+4）2+3，将点（﹣2，5）代入得：5＝4a+3，解得：a=1∴抛物线的解析式为y=1综上可得：抛物线的解析式为y=12(x+4【点评】本题主要考查二次函数的性质，新定义的理解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．18．（2025•越秀区三模）【课题学习】学习主题：探究电流最值课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习．学习素材：名称内容备注素材1用总长60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．课本例题素材2观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．1×100，2×99，3×98，4×97，…，99×2，100×1课本数学活动素材3串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．物理学知识研究步骤：1．画出电路图．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3．2．根据电路图连结实验器材，图略．3．闭合开关，在滑片从a端滑到b端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．解决问题：（1）在素材1中，当l＝15时，场地的面积S最大；（2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由；（3）电流表A表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力．【答案】（1）15；（2）50×51和51×50的积最大，理由见解析；（3）存在，最小值为2A．【分析】（1）根据题意，矩形一边长l，则另一边长为30﹣l，则有S＝l（30﹣l）＝﹣（l﹣15）2+225，结合二次函数的性质即可获得答案；（2）设其中一个因数为x，则另一个因数为101﹣x，所以y＝x（101﹣x）＝﹣x2+101x（1≤x≤100，且为正整数），结合二次函数的性质即可获得答案；（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，总电流为I，则有I=UR总=50(2+x)(8-x)，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，再设W＝（2+x）（8﹣x）＝﹣（x【解答】解：（1）根据题意，矩形一边长l，则另一边长为60÷2﹣l＝30﹣l，所以，S＝l（30﹣l）＝﹣（l﹣15）2+225，所以，当l＝15，场地的面积S最大，最大为225平方米；故答案为：15；（2）50×51和51×50的积最大，理由如下：设其中一个因数为x，则另一个因数为101﹣x，则y＝x（101﹣x）＝﹣x2+101x（1≤x≤100，且为正整数），对称轴为x=-b2a=1012，因为x是正整数，且1所以x取50或51时，y最大为2550；（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，0≤x≤5，设总电流为I，则I=U由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，设W＝（2+x）（8﹣x）＝﹣（x﹣3）2+25，∵﹣1＜0，则抛物线W开口向下，且0≤x≤5，∴当x＝3时，W取最大值为25，此时I取最小值为5025=2A，两支路电阻分别为2+3＝5Ω和8﹣3＝5∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键．19．（2025•硚口区模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），连接AC，D是抛物线第一象限上的一点，连接AD交y轴于点E；过点B作BF∥AC交AD于点F．若F是DE的中点，求点D的横坐标；（3）如图（2），直线y＝t（t＞0）交抛物线于M，N两点，H（0，h）是y轴上的一点（h＜t），延长NH，MH分别交抛物线于P，Q两点，连接MP，NQ．设点M的横坐标为m（m＜0），若S△QNH＝4S△PMH，求m值．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；（2）点D的横坐标是4；（3）m＝﹣2．【分析】（1）由抛物线y＝x2﹣2x﹣3得，当y＝0时求出x1＝﹣1，x2＝3，当x＝0时，y＝3，从而可得A、B、C三点